黃金比 黃金比 名稱 黃金比例 種類 無理數 符號
φ φ -->
{\displaystyle \varphi }
位數 數列編號 A001622 連分數
1
+
1
1
+
1
1
+
1
1
+
1
1
+
⋱ ⋱ -->
{\displaystyle 1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+\ddots }}}}}}}}}
以此為根 的多項式或函數
x
2
− − -->
x
− − -->
1
=
0
{\displaystyle x^{2}-x-1=0}
值
φ φ -->
=
{\displaystyle \varphi =}
代數形式
1
+
5
2
{\displaystyle {\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}
二进制 1.10011110 0011 0111 0111 1001 … 十进制 1.61803398 8749 8948 4820 4586 … 十六进制 1.9E3779B9 7F4A 7C15 F39C C060 …
黃金比例 （英語：golden ratio ），又稱黃金比 、黄金分割比 [ 1] 黄金分割率 ，是數學常數 ，一般以希臘字母
φ φ -->
{\displaystyle \varphi }
phi ）表示[ 2] [ 3] [ 4]
a
+
b
a
=
a
b
=
def
φ φ -->
(
a
>
b
>
0
)
{\displaystyle {\frac {a+b}{a}}={\frac {a}{b}}\,{\stackrel {\text{def}}{=}}\,\varphi \quad (a>b>0)}
這也是黃金比一名的由來。无理数 ，準確值為
1
+
5
2
{\displaystyle {\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}
A001622
φ φ -->
{\displaystyle \varphi }
应用时一般取1.618，就像圆周率 在应用时取3.14159一样。
黄金比有严格的艺术感、和谐感，蕴藏丰富的美学价值，而且呈現於不少動物 和植物 的外觀。現今普遍很多工業產品、電子產品、建築物或藝術品 均應用了黄金比，使其更美觀。
黃金比例是屬於數學領域的專有名詞，但最後涵蓋的內容不只是有關數學領域的研究，根据目前的文獻探討，我們可以說，黃金比的發現和如何演進至今仍是個謎。但有研究指出公元前六世紀古希臘 的畢達哥拉斯學派 研究過正五邊形 和正十邊形 的作圖，因此現代數學家推斷當時畢達哥拉斯學派已經觸及甚至掌握了黃金比的一些規則，也發現無理數，但由於其數字崇拜的宗教信仰拒絶承認其存在。它側重於從數學關係去探討美的規律，並認為美就是和諧與比例，按照這種比例關係就可以組成美的圖案，這其實是一個數字的比例關係，即將一條線分成兩部份，長段與短段之比等於全長與長段之比，它們的比例大約是1.618比1，知名的費氏數列 也體現了這數學原則，按此種比例關係組成的任何事物都表現出其內部關係的和諧與均衡。
公元前四世紀，古希臘數學家歐多克索斯 第一個系統研究了這一問題，並建立起比例 理論。公元前300年前後歐幾里得 撰寫《幾何原本 》時吸收了歐多克索斯的研究成果，進一步系統論述了黃金比，成為最早的有關黃金比的論著（即中末比）[ 5]
中世紀後，黃金比被披上神秘的外衣，義大利數學家卢卡·帕喬利 稱中末比為神聖比例，並專門為此著書立說。德國天文學家约翰内斯·开普勒 稱神聖比例為黃金比。到19世紀黃金比一名才逐漸通行，而證據在於德國數學家马丁·欧姆 马克·巴尔 杰克·基弗
黃金分割 是根據黃金比例 ，將一條線分割成兩段。總長度a+b a a b 兩個數值
a
{\displaystyle a}
b
{\displaystyle b}
φ φ -->
{\displaystyle \varphi }
a
+
b
a
=
a
b
=
φ φ -->
{\displaystyle {\frac {a+b}{a}}={\frac {a}{b}}=\varphi }
一個得出
φ φ -->
{\displaystyle \varphi }
a
+
b
a
=
a
a
+
b
a
=
1
+
b
a
=
1
+
1
φ φ -->
{\displaystyle {\frac {a+b}{a}}={\frac {a}{a}}+{\frac {b}{a}}=1+{\frac {b}{a}}=1+{\frac {1}{\varphi }}}
於是：
1
+
1
φ φ -->
=
φ φ -->
{\displaystyle 1+{\frac {1}{\varphi }}=\varphi }
兩邊乘以
φ φ -->
{\displaystyle \varphi }
φ φ -->
+
1
=
φ φ -->
2
{\displaystyle \varphi +1=\varphi ^{2}}
即是
φ φ -->
2
− − -->
φ φ -->
− − -->
1
=
0
{\displaystyle {\varphi }^{2}-\varphi -1=0}
找出 該方程 的正解，
φ φ -->
=
1
+
5
2
=
1.6180339887
… … -->
{\displaystyle \varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}=1.6180339887\ldots }
黄金比奇妙之處在於其倒數 為自身減1，即0.618…＝1.618…－1，並時常稱為「黃金比例共軛」[ 6]
從上面的
1
+
1
φ φ -->
=
φ φ -->
{\displaystyle 1+{\frac {1}{\varphi }}=\varphi }
1
φ φ -->
=
φ φ -->
− − -->
1
{\displaystyle {\frac {1}{\varphi }}=\varphi -1}
0.618…的數值常用希臘字母
Φ Φ -->
{\displaystyle \Phi }
Φ Φ -->
=
1
φ φ -->
=
1
1.6180339887
… … -->
{\displaystyle \Phi ={1 \over \varphi }={1 \over 1.6180339887\ldots }}
Φ Φ -->
{\displaystyle \Phi }
φ φ -->
{\displaystyle \varphi }
藉由有限連分數或者斐波納契數列的比例中看出近似於黃金比例的倒數。 公式
φ φ -->
=
1
+
1
φ φ -->
{\displaystyle \varphi =1+{\frac {1}{\varphi }}}
連分數 [ 7]
φ φ -->
=
[
1
;
1
,
1
,
1
,
… … -->
]
=
1
+
1
1
+
1
1
+
1
1
+
⋱ ⋱ -->
{\displaystyle \varphi =[1;1,1,1,\dots ]=1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+\ddots }}}}}}}
而它的倒數是：
φ φ -->
− − -->
1
=
[
0
;
1
,
1
,
1
,
… … -->
]
=
0
+
1
1
+
1
1
+
1
1
+
⋱ ⋱ -->
{\displaystyle \varphi ^{-1}=[0;1,1,1,\dots ]=0+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+\ddots }}}}}}}
平方根 表示：
φ φ -->
=
1
+
1
+
1
+
1
+
.
.
.
{\displaystyle \varphi ={\sqrt {1+{\sqrt {1+{\sqrt {1+{\sqrt {1+...}}}}}}}}}
以三角函數 的特殊值表示[ 8]
φ φ -->
=
13
8
+
∑ ∑ -->
n
=
0
∞ ∞ -->
(
− − -->
1
)
(
n
+
1
)
(
2
n
+
1
)
!
(
n
+
2
)
!
n
!
4
(
2
n
+
3
)
.
{\displaystyle \varphi ={\frac {13}{8}}+\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{(n+1)}(2n+1)!}{(n+2)!n!4^{(2n+3)}}}.}
即是：
φ φ -->
=
1
+
2
sin
-->
(
π π -->
10
)
=
1
+
2
sin
-->
18
∘ ∘ -->
{\displaystyle \varphi =1+2\sin({\frac {\pi }{10}})=1+2\sin 18^{\circ }}
φ φ -->
=
1
2
csc
-->
(
π π -->
10
)
=
1
2
csc
-->
18
∘ ∘ -->
{\displaystyle \varphi ={1 \over 2}\csc({\frac {\pi }{10}})={1 \over 2}\csc 18^{\circ }}
φ φ -->
=
2
cos
-->
(
π π -->
5
)
=
2
cos
-->
36
∘ ∘ -->
{\displaystyle \varphi =2\cos({\frac {\pi }{5}})=2\cos 36^{\circ }}
φ φ -->
=
2
sin
-->
(
3
π π -->
10
)
=
2
sin
-->
54
∘ ∘ -->
.
{\displaystyle \varphi =2\sin({\frac {3\pi }{10}})=2\sin 54^{\circ }.}
黃金比的乘冪與費氏數列的關係
φ φ -->
n
=
F
n
− − -->
1
+
φ φ -->
F
n
{\displaystyle \varphi ^{n}=F_{n-1}+\varphi F_{n}}
(
1
− − -->
φ φ -->
)
n
=
F
n
+
1
− − -->
φ φ -->
F
n
{\displaystyle (1-\varphi )^{n}=F_{n+1}-\varphi F_{n}}
F
n
{\displaystyle F_{n}}
費氏數列 的第n 項[ 註 1] 與正切函數 的關係
tan
-->
2
x
=
− − -->
2
{\displaystyle \tan 2x=-2}
若且唯若
tan
-->
x
=
φ φ -->
{\displaystyle \tan x=\varphi }
− − -->
1
φ φ -->
{\displaystyle -{\frac {1}{\varphi }}}
#includes <iostream>
#includes <stdio.h>
using namespace std ;
int main () {
long b , c , d = 0 , e = 0 , f = 100 , i = 0 , j , N ;
cout << "請輸入黃金分割數位數 \n " ;
cin >> N ;
N = N * 3 / 2 + 6 ;
long * a = new long [ N + 1 ];
while ( i <= N ) a [ i ++ ] = 1 ;
for (; -- i > 0 ;
i == N - 6 ? printf ( " \r 0.61" ) : printf ( "%02ld" , e += ( d += b / f ) / f ),
e = d % f , d = b % f , i -= 2 )
for ( j = i , b = 0 ; j ; b = b / c * ( j -- * 2 - 1 ))
a [ j ] = ( b += a [ j ] * f ) % ( c = j * 10 );
delete [] a ;
cin . ignore ();
cin . ignore ();
return 0 ;
}
[ 9]
貴金屬分割即
n
+
n
2
+
4
2
{\displaystyle {\frac {n+{\sqrt {n^{2}+4}}}{2}}}
n
{\displaystyle n}
正整数 。
n
=
1
{\displaystyle n=1}
1
+
5
2
{\displaystyle {\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}
n
=
2
{\displaystyle n=2}
白银比 （
1
+
2
{\displaystyle 1+{\sqrt {2}}}
n
=
3
{\displaystyle n=3}
青铜比 （
3
+
13
2
{\displaystyle {\frac {3+{\sqrt {13}}}{2}}}
连分数 可表示为
n
+
1
n
+
1
n
+
1
n
+
1
⋱ ⋱ -->
=
[
n
;
n
,
n
,
n
,
n
,
… … -->
]
{\displaystyle n+{\cfrac {1}{n+{\cfrac {1}{n+{\cfrac {1}{n+{\cfrac {1}{\ddots }}}}}}}}=[n;n,n,n,n,\dots ]}
^ Summerson John, Heavenly Mansions: And Other Essays on Architecture (New York: W.W. Norton, 1963) p. 37. "And the same applies in architecture, to the rectangle s representing these and other ratios (e.g. the 'golden cut'). The sole value of these ratios is that they are intellectually fruitful and suggest the rhythms of modular design."
^ Livio, Mario. The Golden Ratio: The Story of Phi, The World's Most Astonishing Number . New York: Broadway Books. 2002 [2016-07-12 ] . ISBN 0-7679-0815-5存档 于2016-07-07）. ^ Piotr Sadowski. The knight on his quest: symbolic patterns of transition in Sir Gawain and the Green Knight . University of Delaware Press. 1996: 124 [2016-07-12 ] . ISBN 978-0-87413-580-0存档 于2016-07-07）. ^ Richard A Dunlap, The Golden Ratio and Fibonacci Numbers , World Scientific Publishing, 1997
^ Strogatz, Steven . Me, Myself, and Math: Proportion Control . New York Times . 2012-09-24 [2016-07-12 ] . （原始内容存档 于2016-02-12）. ^ Weisstein, Eric W. (编). Golden Ratio Conjugate . at MathWorld Wolfram Research, Inc. （英语） . ^ Max. Hailperin; Barbara K. Kaiser; Karl W. Knight. Concrete Abstractions: An Introduction to Computer Science Using Scheme . Brooks/Cole Pub. Co. 1998. ISBN 0-534-95211-9 ^ Brian Roselle, "Golden Mean Series" （页面存档备份 ，存于互联网档案馆 ）
^ "黄金分割数高精度计算.pdf" [永久失效連結
![{\displaystyle \varphi =[1;1,1,1,\dots ]=1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+\ddots }}}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/95682588ffee3530627c3a7b00ff08bbba6e97d4)
![{\displaystyle \varphi ^{-1}=[0;1,1,1,\dots ]=0+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+\ddots }}}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/165d255e32f4b9af1f9144f15302b147fc3fead2)
_-_The_Last_Supper_(1495-1498).jpg)
![{\displaystyle n+{\cfrac {1}{n+{\cfrac {1}{n+{\cfrac {1}{n+{\cfrac {1}{\ddots }}}}}}}}=[n;n,n,n,n,\dots ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e95c55de273af96c5fcd4a6cc7fc45fc1022d0f1)
