等角螺线

等角螺线、对数螺线或生长螺线是在自然界常见的螺线，在极坐标系 $(r,\theta )$ 中，这个曲线可以写为

r=ae^{b\theta }\,

或

\theta ={\frac {1}{b}}\ \ln \left({\frac {r}{a}}\right)\ ,

因此叫做“对数”螺线。

定理

等角螺线的臂的距离以几何级数递增。
设 $L$ 为穿过原点的任意直线，则 $L$ 与等角螺线的相交的角永远相等（故其名），而此值为 $\cot ^{-1}b$ 。
设 $C$ 为以原点为圆心的任意圆，则 $C$ 与等角螺线的相交的角永远相等，而此值为 $\tan ^{-1}b$ ，名为「倾斜度」
等角螺线是自我相似的；这即是说，等角螺线经放大后可与原图完全相同。
等角螺线的渐屈线和垂足曲线都是等角螺线。
从原点到等角螺线的任意点上的长度有限，但由那点出发沿等角螺线走到原点却需绕原点转无限次。这是由托里拆利发现的。

历史

等角螺线是由笛卡儿在1638年发现的。雅各布·伯努利后来重新研究之。他发现了等角螺线的许多特性，如等角螺线经过各种适当的变换之后仍是等角螺线。他十分惊叹和欣赏这曲线的特性，故要求死后将之刻在自己的墓碑上，并附词「纵使改变，依然故我」(eadem mutata resurgo)。但雕刻师误将阿基米德螺线（等速螺线）刻了上去。

自然现象

鹦鹉螺的贝壳像等角螺线
菊的种子排列成等角螺线
鹰以等角螺线的方式接近它们的猎物
昆虫以等角螺线的方式接近光源
蜘蛛网的构造与等角螺线相似
旋涡星系的旋臂差不多是等角螺线。银河系的四大旋臂的倾斜度约为 12°。
低氣壓(熱帶氣旋、溫帶氣旋等)的外觀像等角螺线

构造等角螺线

在複平面上定义一个複數 $z=a+bi$ ，其中 $a,b\neq 0$ ，那么连结 $z,z^{2},z^{3},\ldots$ 的曲线就是一条等角螺线。

若 $L$ 是复平面中的一条直线且不平行于实数或虚数轴，那么指数函数 $e^{z}$ 会将这些直线映像到以 0 为中心的等角螺线。
使用黄金矩形：

在平面上, 质点围绕原点逐渐离开, 相对于原点的角速度恒定, 且相对于原点的距离以等比例增长, 则其轨迹为等角螺线。这是因为 $r=ae^{b\theta },r'=ae^{b\theta '}$ ，则有 $r'/r=e^{b(\theta '-\theta )}$ 。

参见

引用

埃里克·韦斯坦因. Logarithmic Spiral. MathWorld.
Jim Wilson, Equiangular Spiral (or Logarithmic Spiral) and Its Related Curves （页面存档备份，存于互联网档案馆）, University of Georgia (1999)
Alexander Bogomolny, Spira Mirabilis - Wonderful Spiral （页面存档备份，存于互联网档案馆）, at cut-the-knot

外部链接

Spira mirabilis （页面存档备份，存于互联网档案馆）等角螺线的历史和数学

Read other articles:

Lingua etrusca

Etrusco †Parlato inEtruria Periodofine VIII secolo a.C. – I secolo d.C.[1] (50 d.C.) LocutoriClassificaestinta Altre informazioniScritturaAlfabeto etrusco Tipoagglutinante TassonomiaFilogenesiLingue tirreniche Lingua etrusca Codici di classificazioneISO 639-3ett (EN) Glottologetru1241 (EN) Manuale La lingua etrusca è stata una lingua tirrenica che fu parlata e scritta dagli Etruschi adottando l'alfabeto euboico di Calcide[2] probabilmente a Pithecusa nell'VIII secolo...

Mal Mesra Indah

Koordinat: 0°30′04″S 117°08′49″E / 0.50098°S 117.14682°E / -0.50098; 117.14682 Mal Mesra Indah Mal Mesra Indah adalah pusat perbelanjaan empat lantai yang pertama berdiri di tahun 1980an di Kota Samarinda terletak di Jalan K.H. Khalid, merupakan daerah tersibuk di Samarinda. Mal ini dimiliki oleh pengusaha lokal dengan perusahaan yang bernaung di bawah Grup Mesra, milik Haji Rusli. Lokasinya yang berada di pusat keramaian; yaitu di antara kawasan Citra Niag...

Символьный шрифт

Эту статью предлагается удалить.Пояснение причин и соответствующее обсуждение вы можете найти на странице Википедия:К удалению/8 июня 2022.Пока процесс обсуждения не завершён, статью можно попытаться улучшить, однако следует воздерживаться от переименований или немотив�...

Stadion Miejski im. Władysława Króla

Football stadium in Łódź, Poland Stadion Miejski im. Władysława KrólaStadion ŁKSLocationŁódź, PolandOwnerŁódź City CouncilCapacity18,029Field size105 m × 68 m (344 ft × 223 ft)SurfaceGrassOpened19242022TenantsŁKS Łódź Dynamo Kyiv (international matches) The Stadion Miejski im. Władysława Króla (English: Władysław Król Municipal Stadium), also known as the Stadion Miejski ŁKS (English: ŁKS Municipal Stadium), is a football stadium in Ł�...

Vakarel

Vakarel (Bulgarian: Вакарел) is a village, 41 km (25 mi) away from Sofia, the capital of Bulgaria. View of Vakarel Trakiya motorway Vakarel junction Vakarel Town hall Population: 1984 people. It is situated in the Sredna Gora mountains, within Ihtiman Municipality. The village is an important transport knot along the Sofia - Plovdiv railway route. The Trakiya motorway runs near Vakarel. Vakarel is 822 meters above sea level. About 1 km (1 mi) away from the village i...

Sidratul Muntaha

Bagian dari seriIslam Rukun Iman Keesaan Allah Malaikat Kitab-kitab Allah Nabi dan Rasul Allah Hari Kiamat Qada dan Qadar Rukun Islam Syahadat Salat Zakat Puasa Haji Sumber hukum Islam al-Qur'an Sunnah (Hadis, Sirah) Tafsir Akidah Fikih Syariat Sejarah Garis waktu Muhammad Ahlulbait Sahabat Nabi Khulafaur Rasyidin Khalifah Imamah Ilmu pengetahuan Islam abad pertengahan Penyebaran Islam Penerus Muhammad Budaya dan masyarakat Akademik Akhlak Anak-anak Dakwah Demografi Ekonomi Feminisme Filsafat...

العلاقات السعودية الكورية الجنوبية

العلاقات السعودية الكورية الجنوبية السعودية كوريا الجنوبية السفارات سفارة السعودية في كوريا الجنوبية السفير : سامي بن محمد السدحان العنوان : سيول، كوريا الجنوبية سفارة كوريا الجنوبية في السعودية السفير : بارك جوون يونغ العن...

Genetically modified food

Foods produced from organisms that have had changes introduced into their DNA Part of a series onGenetic engineering Genetically modified organisms Bacteria Viruses Animals Mammals Fish Insects Plants Maize/corn Rice Soybean Potato History and regulation History Regulation Substantial equivalence Cartagena Protocol on Biosafety Process Techniques Molecular cloning Recombinant DNA Gene delivery Transformation Transfection Transduction Genome editing TALEN CRISPR Applications Genetically...

Battle of Rastan (May 2012)

See also: Battle of Rastan (January–February 2012) 34°54′55″N 36°44′08″E / 34.91525°N 36.735485°E / 34.91525; 36.735485 Battle of Rastan (May 2012)Part of the Syrian Civil WarArtillery positioned north of Rastan, Syria. Smoke rising from building, 10 June 2012.Date14 May 2012LocationRastan, Homs Governorate, SyriaResult FSA victoryBelligerents Free Syrian Army Syrian Arab Republic Syrian Armed ForcesCommanders and leaders Col. Qassim Saadeddine[1]...

Partito Democratico della Sinistra

Questa voce o sezione sull'argomento politica è priva o carente di note e riferimenti bibliografici puntuali. Sebbene vi siano una bibliografia e/o dei collegamenti esterni, manca la contestualizzazione delle fonti con note a piè di pagina o altri riferimenti precisi che indichino puntualmente la provenienza delle informazioni. Puoi migliorare questa voce citando le fonti più precisamente. Segui i suggerimenti del progetto di riferimento. Partito Democratico della Sinistra Presidente...

Zimbabue

República de Zimbabue[nota 1]Republic of Zimbabwe (inglés) Estado miembro de la Unión AfricanaBandera Escudo Lema: Unity, Freedom, Work(inglés: «Unidad, libertad, trabajo») Himno: Ngaikomborerwe nyika yeZimbabwe(shona: «Bendecida sea la tierra de Zimbabue») Capital(y ciudad más poblada) Harare 17°49′45″S 31°03′08″E / -17.829166666667, 31.052222222222 Idiomas oficiales Inglés, Shona, Ndebele del Norte y otros 12 idiomasGentilicio Zimbabuens...

Arca Buddha Dipangkara

Arca Buddha Dipangkara Koleksi Museum Nasional No. Inv. 6057Nama sebagaimana tercantum dalamSistem Registrasi Nasional Cagar BudayaArca Buddha Dipangkara yang kini disimpan di Museum Nasional. Cagar budaya IndonesiaPeringkatNasionalKategoriBendaNo. RegnasCB.1523LokasikeberadaanJakarta Pusat, DKI JakartaNo. SKSK Menteri No.170/M/2018Tanggal SK9 Juli 2018Pemilik IndonesiaPengelolaMuseum NasionalKoordinat6°10′35″S 106°49′10″E / 6.1763968°S 106.8194014°E /...

مؤسسة إسبرانتو العالمية

مؤسسة إسبرانتو العالمية (بالإسبرانتو: Universala Esperanto-Asocio)‏ مؤسسة إسبرانتو العالمية‌ الاختصار (بالإسبرانتو: UEA)‏، و(بالفرنسية: AUE)‏ البلد هولندا تاريخ التأسيس 28 أبريل 1908 المؤسس هيكتور هودلر الوضع القانوني جمعية تطوعية اللغات الرسمية إسبرانتو ...

فيلم

لمعانٍ أخرى، طالع فيلم (توضيح). فيلمصوّر إدوارد مويبريدج في عام 1887 سلسلة صور ضوئية لإنتاج مقطع قصير ليكون فلمًا ويُعدّ من أوائل الطرق قبل وجود طريقة مناسبة لإعادة عرض المحتوى المتحرك.معلومات عامةالصنف الفني عمل سمعي بصري — moving image (en) — عمل فني مرئي — سلسلة الفرع ا...

Bejeweled 2

An editor has performed a search and found that sufficient sources exist to establish the subject's notability. Please help improve this article by adding citations to reliable sources. Unsourced material may be challenged and removed.Find sources: Bejeweled 2 – news · newspapers · books · scholar · JSTOR (April 2024) (Learn how and when to remove this message) 2004 puzzle video game 2004 video gameBejeweled 2Developer(s)PopCap GamesOberon Media (Xbox ...

Hiroki Itō (calciatore 1999)

Hiroki ItōItō allo Stoccarda nel 2021Nazionalità Giappone Altezza186 cm Peso78 kg Calcio RuoloDifensore, centrocampista Squadra Bayern Monaco CarrieraGiovanili Júbilo Iwata Squadre di club1 2018 Júbilo Iwata1 (0)2019→ Nagoya Grampus2 (0)2020-2021 Júbilo Iwata57 (4)2021-2024 Stoccarda85 (2)[1]2024- Bayern Monaco0 (0) Nazionale 2015 Giappone U-171 (0)2016-2017 Giappone U-186 (2)2018-2019 Giappone U-2013 (1)2018 Giappone U-233 (0)2022- Gi...

Nether Headon

Human settlement in EnglandNether HeadonHeadon Manor FarmNether HeadonLocation within NottinghamshirePopulation253 (2011 Census) with Headon, Upton and Stokeham[1]OS grid referenceSK 74802 77743Civil parishHeadon cum UptonDistrictBassetlawShire countyNottinghamshireRegionEast MidlandsCountryEnglandSovereign stateUnited KingdomPost townRetfordPostcode districtDN22Dialling code01777UK ParliamentNewark List of places UK England Nottinghamshire 53�...

Shuangliu Square station

Metro station in Chengdu, China Shuangliu Square双流广场General informationLocationShuangliu District, Chengdu, SichuanChinaOperated byChengdu Metro LimitedLine(s) Line 3Platforms2 (1 island platform)HistoryOpened26 December 2018Services Preceding station Chengdu Metro Following station Dongshengtowards Chengdu Medical College Line 3 Sanlibatowards Shuangliu West Station Shuangliu Square (Chinese: 双流广场) is a station on Line 3 of the Chengdu Metro i...

Liste des monarques d'Angleterre

Cet article concerne les monarques d'Angleterre avant 1707. Pour les monarques de Grande-Bretagne, puis du Royaume-Uni, voir Liste des monarques britanniques. « Roi d'Angleterre » redirige ici. Pour l'actuel souverain britannique, voir Charles III (roi du Royaume-Uni). Roi ou reine d'Angleterre, roi des Anglais Les armes des monarques d'Angleterre à partir de Richard Cœur de Lion : de gueules à trois léopards d'or armés et lampassés d'azur. Au fil du temps, il se c...

Konrad-Adenauer-Stiftung

Konrad-Adenauer-Stiftung (KAS) Rechtsform Eingetragener Verein Gründung 1955 Sitz Berlin[1] Zweck „Die Konrad-Adenauer-Stiftung leistet einen Beitrag, um Frieden, Freiheit und Wohlstand in Europa und in der Welt zu sichern und zu mehren“[2] Vorsitz Norbert Lammert (Vorstand), Wolfgang Schüssel (Kuratorium) Geschäftsführung Michael Thielen (Generalsekretär)[3] Umsatz 197.555.501 Euro (2018) Beschäftigte 556 (Inland)1293 (weltweit)[4] Website www.kas.d...