圆锥曲线（英語：conic section），又稱圓錐截痕、圓錐截面、二次平面曲线，是数学、幾何學中透过平切圆锥（嚴格為一个正圆锥面和一个平面完整相切）得到的曲线，包括圆，椭圆，抛物线，双曲线及一些退化类型。

圆锥曲线在約西元前200年時就已被命名與研究，其發現者為古希臘的數學家阿波羅尼奥斯，當时阿波羅尼阿斯已对它们的性质做過系统性的研究。

圆锥曲线应用最广泛的定义为（椭圆，抛物线，双曲线的统一定义）：动点到一定点（焦点）的距离与其到一定直线（准线）的距离之比为常数（離心率${\displaystyle e}$）的点的集合是圆锥曲线。对于${\displaystyle 0<e<1}$得到椭圆，对于${\displaystyle e=1}$得到抛物线，对于${\displaystyle e>1}$得到双曲线。

设${\displaystyle F}$为定点，${\displaystyle l}$为定直线，${\displaystyle e}$为正常数，称满足${\displaystyle {\frac {|PF|}{|Pl|}}=e}$的动点${\displaystyle P}$的轨迹为圆锥曲线。

其中${\displaystyle F}$为其焦点，${\displaystyle l}$为准线，${\displaystyle e}$为离心率。

由此可知，圆锥曲线的极坐标参数方程为${\displaystyle \rho =e(d-\rho \cos \theta )}$或${\displaystyle \rho ={\frac {ed}{1\pm e\cos \theta }}}$（正负号由所选焦点与定直线所处的位置不同而引起）。 其中${\displaystyle \theta }$为${\displaystyle PF}$与极轴的夹角，${\displaystyle d}$为定直线${\displaystyle x=d}$，即准线到焦点的距离。

将参数方程转换成直角坐标方程易得，

当${\displaystyle e=1}$时，曲线为抛物线。

当${\displaystyle e\neq 1}$时，

当${\displaystyle 0<e<1}$时，曲线为椭圆。

当${\displaystyle e>1}$时，曲线为双曲线。

圆锥曲线	方程	離心率（e）	半焦距（c）	半正焦弦（ℓ）	焦点准线距离（p）
圓	${\displaystyle x^{2}+y^{2}=a^{2}\,}$	${\displaystyle 0\,}$	${\displaystyle 0\,}$	${\displaystyle a\,}$	${\displaystyle \infty }$
橢圓	${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1}$	${\displaystyle {\sqrt {1-{\frac {b^{2}}{a^{2}}}}}}$	${\displaystyle {\sqrt {a^{2}-b^{2}}}}$	${\displaystyle {\frac {b^{2}}{a}}}$	${\displaystyle {\frac {b^{2}}{\sqrt {a^{2}-b^{2}}}}}$
拋物線	${\displaystyle y^{2}=4ax\,}$	${\displaystyle 1\,}$	${\displaystyle -\,}$	${\displaystyle 2a\,}$	${\displaystyle 2a\,}$
雙曲線	${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1}$	${\displaystyle {\sqrt {1+{\frac {b^{2}}{a^{2}}}}}}$	${\displaystyle {\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}$	${\displaystyle {\frac {b^{2}}{a}}}$	${\displaystyle {\frac {b^{2}}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}}$

椭圆，圆：当平面只与圆锥面一侧相交，交截线是闭合曲线的时候，且不过圆锥顶点，结果为椭圆。如果截面与圆锥面的对称轴垂直，结果为圆。

抛物线：截面仅与圆锥面的一条母线平行，结果为抛物线。

双曲线：截面与圆锥面两侧都相交，且不过圆锥顶点，结果为双曲线。

在平面通过圆锥的顶点的时候，有一些退化情况。交截线可以是一个直线、一个点、或一对直线。

椭圆上的点到两个焦点的距离和等于长轴长（2a）。

抛物线上的点到焦点的距离等于该点到准线的距离。

双曲线上的点到两个焦点的距离之差的绝对值等于貫轴长（2a）。

对于椭圆和双曲线，可以采用两种焦点-准线组合，每个都给出同样完整的椭圆或双曲线。从中心到准线的距离是${\displaystyle a/e\ }$，这里的${\displaystyle a\ }$是椭圆的半长轴，或双曲线的半实轴。从中心到焦点的距离是${\displaystyle ae\ }$。

在圆的情况下，${\displaystyle e=0}$且准线被假想为离中心无限远。这时声称圆由距离是到L的距离的e倍的所有点组成是没有意义的。

圆锥曲线的离心率因此是对它偏离于圆的程度的度量。

对于一个给定的${\displaystyle a\ }$，${\displaystyle e\ }$越接近于1，半短轴就越小。

在笛卡尔坐标系内，二元二次方程的圖像可以表示圓錐曲線，并且所有圓錐曲線都以這種方式引出。方程有如下形式

${\displaystyle Q(x,y)=Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0}$

此處參數${\displaystyle A\,}$，${\displaystyle B\,}$和${\displaystyle C\,}$不得皆等於${\displaystyle 0\ }$。

上述方程可以使用矩陣表示爲^[1]

${\displaystyle \left[{\begin{matrix}x&y\end{matrix}}\right]\left[{\begin{matrix}A&B/2\\B/2&C\end{matrix}}\right]\left[{\begin{matrix}x\\y\end{matrix}}\right]+\left[{\begin{matrix}D&E\end{matrix}}\right]\left[{\begin{matrix}x\\y\end{matrix}}\right]+F=0}$

亦可以寫作

${\displaystyle \left[{\begin{matrix}x&y&1\end{matrix}}\right]\left[{\begin{matrix}A&B/2&D/2\\B/2&C&E/2\\D/2&E/2&F\end{matrix}}\right]\left[{\begin{matrix}x\\y\\1\end{matrix}}\right]=0}$

這是在射影幾何中使用的齊次形式的一個特例。 (参见齐次坐标)

下文中記${\displaystyle A_{33}=\left[{\begin{matrix}A&B/2\\B/2&C\end{matrix}}\right]}$，記${\displaystyle A_{Q}={\begin{bmatrix}A&B/2&D/2\\B/2&C&E/2\\D/2&E/2&F\end{bmatrix}}}$。

藉由${\displaystyle A_{Q}}$，我們可以判定圓錐曲線是否退化。

• 若${\displaystyle \det(A_{Q})=0}$，則圓錐曲線${\displaystyle Q}$退化。
• 若${\displaystyle \det(A_{Q})\neq 0}$，則圓錐曲線${\displaystyle Q}$未退化。

若圓錐曲線未發生退化，則^[2]

• 若 ${\displaystyle \det(A_{33})>0}$, 方程表示一個橢圓；
  • 對於橢圓，當${\displaystyle (A+C)\det(A_{Q})<0}$時，${\displaystyle Q}$爲一個實橢圓；當${\displaystyle (A+C)\det(A_{Q})>0}$時${\displaystyle Q}$爲一個虛橢圓。（例如，${\displaystyle 2x^{2}+y^{2}+10=0}$沒有任何實值解，是一個虛橢圓）
  • 特別的，若${\displaystyle A=C}$ ，${\displaystyle B=0}$且${\displaystyle D^{2}+E^{2}-4AF>0\,}$，作爲橢圓的特殊情況，${\displaystyle Q}$表示一個圓。
• 若 ${\displaystyle \det(A_{33})=0}$，${\displaystyle Q}$表示一條拋物線；
• 若 ${\displaystyle \det(A_{33})<0}$，${\displaystyle Q}$表示一條雙曲線；
  • 若${\displaystyle A+C=0}$ ，${\displaystyle Q}$表示一條直角雙曲線。

若圓錐曲線發生退化，則

• 若${\displaystyle \det(A_{33})>0}$，作爲橢圓的退化，${\displaystyle Q}$爲一個點。
• 若${\displaystyle \det(A_{33})=0}$，作爲拋物線的退化，${\displaystyle Q}$爲兩條平行直線。
  • 若${\displaystyle D^{2}+E^{2}>4(A+C)F}$，${\displaystyle Q}$爲兩條不重合的平行直線。
  • 若${\displaystyle D^{2}+E^{2}=4(A+C)F}$，${\displaystyle Q}$爲兩條重合的平行直線。（特別的，此時${\displaystyle A_{Q}}$的秩爲1）
  • 若${\displaystyle D^{2}+E^{2}<4(A+C)F}$，${\displaystyle Q}$直線不存在與實平面中。
• 若${\displaystyle \det(A_{33})<0}$，作爲雙曲線的退化，${\displaystyle Q}$爲兩條相交直線。（同時，也是雙曲線的漸近線）

在此處的表達中，${\displaystyle A}$和${\displaystyle B}$爲多項式係數，而非半長軸${\displaystyle A}$和半短軸${\displaystyle B}$。

矩陣${\displaystyle A_{Q}}$、${\displaystyle A_{33}}$的行列式，以及${\displaystyle A+C}$（${\displaystyle A_{33}}$的跡）在任意的旋轉和座標軸的交換中保持不變。^{[2][3][4] [5]:60–62頁} 常數項${\displaystyle F}$以及${\displaystyle D^{2}+E^{2}}$僅在旋轉中保持不變。^{[5]:60–62頁}

${\displaystyle Q}$的離心率可被寫作關於${\displaystyle Q}$係數的函數。^[6] 若 ${\displaystyle \det(A_{33})=0}$，${\displaystyle Q}$爲 拋物線，其離心率爲1。其它情況下，假設${\displaystyle Q}$表達一個未退化的橢圓或雙曲線，那麼

${\displaystyle e={\sqrt {\frac {2{\sqrt {(A-C)^{2}+B^{2}}}}{\eta (A+C)+{\sqrt {(A-C)^{2}+B^{2}}}}}},}$

此處若${\displaystyle \det(A_{Q})}$爲負則${\displaystyle \eta =1}$；若${\displaystyle \det(A_{Q})}$爲正則${\displaystyle \eta =-1}$。

此外，離心率${\displaystyle e}$也是下述方程的一個正根^[5]:89頁

${\displaystyle \Delta e^{4}+[(A+C)^{2}-4\Delta ]e^{2}-[(A+C)^{2}-4\Delta ]=0,}$

此處 ${\displaystyle \Delta =\det(A_{33})}$ 。對於橢圓或拋物線，該方程只有一個正根，即其離心率；對於雙曲線，其有兩個正根，其中的一個爲其離心率。

對於橢圓或雙曲線，${\displaystyle Q}$可用變換後的變量${\displaystyle x',y'}$表示爲如下所示的標準形式^[7]

${\displaystyle {\frac {x'^{2}}{-S/\lambda _{1}^{2}\lambda _{2}}}+{\frac {y'^{2}}{-S/\lambda _{1}\lambda _{2}^{2}}}=1,}$

或等價的

${\displaystyle {\frac {x'^{2}}{-S/\lambda _{1}\Delta }}+{\frac {y'^{2}}{-S/\lambda _{2}\Delta }}=1,}$

此處，${\displaystyle \lambda _{1}}$和${\displaystyle \lambda _{2}}$爲${\displaystyle A_{33}}$的特徵值，也即下述方程的兩根：

${\displaystyle \lambda ^{2}-(A+C)\lambda +(AC-(B/2)^{2})=0}$

同時，${\displaystyle S=\det(A_{Q})}$，${\displaystyle \Delta =\lambda _{1}\lambda _{2}=\det(A_{33})}$。

透過座標變換，各種類型的圓錐曲線都可以表示爲其標準形式：

方程式	圆	椭圆	抛物线	双曲线
标准方程式	${\displaystyle {x^{2}}+{y^{2}}=a^{2}\ }$	${\displaystyle {x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over b^{2}}=1\ }$	${\displaystyle y^{2}=4ax\,}$	${\displaystyle {x^{2} \over a^{2}}-{y^{2} \over b^{2}}=1\ }$
参数方程式	${\displaystyle a\cos \theta ,a\sin \theta \,}$	${\displaystyle a\cos \theta ,b\sin \theta \,}$	${\displaystyle at^{2},2at\,}$	${\displaystyle a\sec \theta ,b\tan \theta \,}$或 ${\displaystyle \pm a\cosh u,b\sinh u\,}$

圆锥曲线的半正焦弦（semi-latus rectum）通常指示为${\displaystyle \ell }$，是从单一焦点或两个焦点中的一个，到圆锥曲线自身的，沿着垂直于主轴（长轴）的直线度量的距离。它有关于半长轴${\displaystyle a}$，和半短轴${\displaystyle b}$，通过公式${\displaystyle a\ell =b^{2}\ }$或${\displaystyle \ell =a(1-e^{2})\ }$。

在极坐标系中，圆锥曲线有一个焦点在原点，如果有另一个焦点的话它在正x轴上，给出自方程

${\displaystyle r={\ell \over (1-e\cos \theta )}}$，

或者，

${\displaystyle {\frac {1}{r}}={\frac {1}{\ell }}(1-e\cos \theta )}$，

如上，对于${\displaystyle e=0}$得到一个圆，对于${\displaystyle 0<e<1}$得到椭圆，对于${\displaystyle e=1}$得到抛物线，对于${\displaystyle e>1}$得到双曲线。

在齐次坐标下圆锥曲线可以表示为：

${\displaystyle A_{1}x^{2}+A_{2}y^{2}+A_{3}z^{2}+2B_{1}xy+2B_{2}xz+2B_{3}yz=0\;}$

或表示为矩阵：

${\displaystyle {\begin{bmatrix}x&y&z\end{bmatrix}}.{\begin{bmatrix}A_{1}&B_{1}&B_{2}\\B_{1}&A_{2}&B_{3}\\B_{2}&B_{3}&A_{3}\end{bmatrix}}.{\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}=0}$

矩阵${\displaystyle M={\begin{bmatrix}A_{1}&B_{1}&B_{2}\\B_{1}&A_{2}&B_{3}\\B_{2}&B_{3}&A_{3}\end{bmatrix}}}$叫做“圆锥曲线矩阵”。

${\displaystyle \Delta =det(M)={\begin{vmatrix}A_{1}&B_{1}&B_{2}\\B_{1}&A_{2}&B_{3}\\B_{2}&B_{3}&A_{3}\end{vmatrix}}}$叫做圆锥曲线的行列式。如果${\displaystyle \Delta =0}$则这个圆锥曲线被称为退化的，这意味着圆锥曲线是两个直线的联合（两相交直线，两平行直线或两重合直线）或一点。。

例如，圆锥曲线${\displaystyle {\begin{bmatrix}x&y&z\end{bmatrix}}.{\begin{bmatrix}1&0&0\\0&-1&0\\0&0&0\end{bmatrix}}.{\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}=0}$退化为两相交直线：${\displaystyle \{x^{2}-y^{2}=0\}=\{(x+y)(x-y)=0\}=\{x+y=0\}\cup \{x-y=0\}}$。

类似的，圆锥曲线有时退化为两重合直线（两直线重合成一条）: ${\displaystyle \{x^{2}+2xy+y^{2}=0\}=\{(x+y)^{2}=0\}=\{x+y=0\}\cup \{x+y=0\}=\{x+y=0\}}$。

${\displaystyle \delta ={\begin{vmatrix}A_{1}&B_{1}\\B_{1}&A_{2}\end{vmatrix}}}$被称为圆锥曲线的判别式。如果${\displaystyle \delta =0}$则圆锥曲线是抛物线，如果${\displaystyle \delta <0}$则是双曲线，如果${\displaystyle \delta >0}$则是椭圆。如果${\displaystyle \delta >0}$且${\displaystyle A_{1}=A_{2}}$，圆锥曲线是圆；如果${\displaystyle \delta <0}$且${\displaystyle A_{1}=-A_{2}}$，它是直角双曲线。可以证明在複射影平面${\displaystyle \mathbb {CP} ^{2}}$中，两个圆锥曲线共有四个点（如果考虑重根），所以永不多于4个交点并总有1个交点（可能性：4个不同的交点，2个单一交点和1个双重交点，2个双重交点，1单一交点和1个三重交点，1个四重交点）。如果存在至少一个重根${\displaystyle >1}$的交点，则两个圆锥曲线被称为相切的。如果只有一个四重交点，两个圆锥曲线被称为是共振的。

进一步的，每个直线与每个圆锥曲线相交两次。如果两交点是重合成一点，则这个线被称为切线。因为所有直线交圆锥曲线两次，每个圆锥曲线有两个点在无穷远（与无穷远线的交点）。如果这些点是实数的，圆锥曲线必定是双曲线；如果它们是虚共轭，圆锥曲线必定是椭圆，如果圆锥曲线有双重点在无穷远，则它是抛物线。如果在无穷远的点是${\displaystyle (1,i,0)}$和${\displaystyle (1,-i,0)}$，则圆锥曲线是圆。如果圆锥曲线有一个实数点和一个虚数点在无穷远，或它有两个不共轭的虚数点，它不是抛物线、不是椭圆、不是双曲线。

1. ^ Brannan, Esplen & Gray 1999，第30頁 harvnb模板錯誤: 無指向目標: CITEREFBrannanEsplenGray1999 (幫助)
2. ^ ^{2.0 2.1} Protter & Morrey 1970，第326頁 harvnb模板錯誤: 無指向目標: CITEREFProtterMorrey1970 (幫助)
3. ^ Wilson & Tracey 1925，第153頁 harvnb模板錯誤: 無指向目標: CITEREFWilsonTracey1925 (幫助)
4. ^ Pettofrezzo, Anthony, Matrices and Transformations, Dover Publ., 1966, p. 110.
5. ^ ^{5.0 5.1 5.2} Spain, Barry, Analytical Conics, Dover, 2007 (originally published 1957 by Pergamon Press).
6. ^ Ayoub, Ayoub B., "The eccentricity of a conic section," The College Mathematics Journal 34(2), March 2003, 116–121.
7. ^ Ayoub, A. B., "The central conic sections revisited", Mathematics Magazine 66(5), 1993, 322–325.

• Conic sections（页面存档备份，存于互联网档案馆） at Special plane curves（页面存档备份，存于互联网档案馆）.
• 埃里克·韦斯坦因. Conic Section. MathWorld. 
• 埃里克·韦斯坦因. Conic Section Directrix. MathWorld. 
• 埃里克·韦斯坦因. Focus. MathWorld. 
• Determinants and Conic Section Curves
• Occurrence of the conics. Conics in nature and elsewhere.