三角形

三角形（英語： Triangle）
	三角形
邊	3
頂點	3
施萊夫利符號	{3}（正三角形時）
鮑爾斯縮寫; （verse-and-dimensions的wikia：Bowers acronym）	trig
面積	有各種求面積的公式；; 見#面積一節
內角和	一百八十度
	查; 论; 编;

三角形，又稱三邊形（英語： Triangle），是由三条线段顺次首尾相连，或不共線的三點兩兩連接，所组成的一个闭合的平面几何图形，是最基本和最少邊的多边形。

一般用大写英语字母 $A$ 、 $B$ 和 $C$ 为三角形的顶点标号；用小写英语字母 $a$ 、 $b$ 和 $c$ 表示边；用 $\alpha$ 、 $\beta$ 和 $\gamma$ 給角標號，又或者以 $\angle ABC$ 這樣的顶点标号来表示。

分类

以角度分類


锐角三角形	钝角三角形	直角三角形

锐角三角形

銳角三角形的所有內角均為銳角。

钝角三角形

鈍角三角形是其中一角為鈍角的三角形，其余兩角均小於90°。

直角三角形

有一个角是直角（90°）的三角形为直角三角形。成直角的两条边称为「直角邊」（cathetus），直角所对的边是「斜邊」（hypotenuse）；或最長的邊稱為「弦」，底部的一邊稱作「勾」（又作「句」），另一邊稱為「股」。斜邊乘上斜邊上的高÷2=勾股相乘÷2=此直角三角形面積（ch=ab）

三角函数

直角三角形各邊與角度的關係，可以三角比表示。

以邊長分類


不等邊三角形	等邊三角形	等腰三角形

不等邊三角形

三條邊邊長皆不相等的三角形稱為不等邊三角形。

等邊三角形

等邊三角形（又称正三角形），为三边相等的三角形。其三個內角相等，均為60°。它是銳角三角形的一種。设其边长是 $a$ ，则其面積公式為 ${\frac {a^{2}{\sqrt {3}}}{4}}$ 。

等邊三角形是正四面體、正八面體和正二十面體這三個正多面體面的形狀。六個边长相同的等邊三角形可以拼成一個正六邊形。

等腰三角形

等腰三角形是三条边中有两条边相等（或是其中兩隻內角相等）的三角形。等腰三角形中的两条相等的边被称为「腰」，而另一条边被称为「底边」，两条腰交叉组成的那个点被称为「顶点」，它们组成的角被称为「顶角」。

等边三角形和等腰直角三角形是等腰三角形的特殊形式。

令其底边是 $b$ ，腰是 $a$ ，则其面積公式為 ${\frac {1}{4}}{b{\sqrt {4a^{2}-b^{2}}}}$ 等腰三角形的对应高，角平分线和中线重合。

退化三角形

退化三角形是指面積為零的三角形。满足下列条件之一的三角形即可称为退化三角形：三个内角的度数为(180°,0°,0°)或(90°,90°,0°)；三边其中一条边的长度为0；一条边的长度等于另外两条之和。有人认为退化三角形并不能算是三角形，這是由於它介乎於三角不等式之間，在一些資料中已否定了其中一條邊等於其餘兩條邊之和的情況。

勒洛三角形

勒洛三角形（英語：Reuleaux triangle），也譯作萊洛三角形或弧三角形，又被稱為劃粉形或曲邊三角形，是除了圓形以外，最簡單易懂的勒洛多邊形，一個定寬曲線。將一個曲線圖放在兩條平行線中間，使之與這兩平行線相切，則可以做到：無論這個曲線圖如何運動，只要它還是在這兩條平行線內，就始終與這兩條平行線相切。這個定義由十九世紀的德國工程師弗朗茨·勒洛（英语：Franz Reuleaux）命名。

一般性质

三角不等式

三角边長不等式
三角形两边之和大于第三边，两边之差的绝对值小于第三边。如果兩者相等，则是退化三角形。
三角內外角不等式
三角形任意一个外角大于不相邻的一个内角。

角度

三角形外角
三角形兩內角之和，等於第三角的外角。
三角形內角和
在歐幾里德平面內，三角形的內角和等於180°。

勾股定理

勾股定理，又稱畢氏定理或毕达哥拉斯定理。其斷言，若直角三角形的其中一邊 $c$ 為斜邊，即 $c$ 的對角 $\gamma =90^{\circ }$ ，則

a^{2}+b^{2}=c^{2}

。

勾股定理的逆定理亦成立，即若三角形滿足

a^{2}+b^{2}=c^{2}

，

則

\gamma =90^{\circ }

正弦定理

設 $R$ 为三角形外接圓半径，則

{\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {b}{\sin \beta }}={\frac {c}{\sin \gamma }}=2R

餘弦定理

對於任意三角形：

a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cdot \cos \alpha ,

b^{2}=a^{2}+c^{2}-2ac\cdot \cos \beta ,

c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cdot \cos \gamma .

勾股定理是本定理的特殊情况，即当角 $\alpha =90^{\circ }\,$ 时， $\cos \alpha =0$ ，于是 $a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cdot \cos \alpha$ 化简为 $a^{2}=b^{2}+c^{2}$ 。

全等及相似

全等三角形

三角形具有穩定性，若二個三角形有以下的邊角關係確定後，它的形狀、大小就不會改變，二個三角形即為全等三角形。全等三角形的判斷準則有以下幾種：

SSS（Side-Side-Side，邊、邊、邊）：各三角形的三條邊的長度都對應地相等。
SAS（Side-Angle-Side，邊、角、邊）：各三角形的其中兩條邊的長度都對應地相等，且兩條邊夾著的角都對應地相等。
ASA（Angle-Side-Angle，角、邊、角）：各三角形的其中兩個角都對應地相等，且兩個角夾著的邊都對應地相等。
RHS（Right Angle-Hypotenuse-Side，直角、斜邊、邊）：在直角三角形中，斜邊及另外一條直角邊對應地相等。^[1]
AAS（Angle-Angle-Side，角、角、邊）：各三角形的其中兩個角都對應地相等，且其中一組對應角的對邊也對應地相等。

SSA（Side-Side-Angle、邊、邊、角）不能保证两个三角形全等，除非該角大於等於90°，此時可以保證全等。^[2]^:34^[3]

相似三角形

AA（Angle-Angle，角、角）：各三角形的其中兩個角的都對應地相等。（或稱AAA（Angle-Angle-Angle，角、角、角））
三邊成比例（3 sides proportional）：各三角形的三條邊的長度都成同一比例。
兩邊成比例且夾角相等（ratio of 2 sides, inc.∠）：各三角形的兩條邊之長度都成同一比例，且兩條邊之夾角都對應地相等。（或稱 2 sides proportional, inc. ∠ equal）

特殊線段

三角形中有著一些特殊線段，是三角形研究的重要對象。

中線（median）：三角形一边中点与这边所对頂点的连线段。
高线（altitude）：从三角形一个顶点向它的对边所作的垂线段。
角平分线（angle bisector）：平分三角形一角、一个端点在这一角的对边上的线段。
垂直平分線（perpendicular bisector）：通過三角形一边中点与該边所垂直的线段，又稱中垂线。

以上特殊線段，每個三角形均有三條，且三線共點。

中线长度

设在 $\Delta ABC\,$ 中，若三边 $a$ 、 $b$ 、 $c\,$ 的中線分别为 $m_{a}$ 、 $m_{b}$ 、 $m_{c}$ ，则：

m_{a}={\sqrt {{\frac {1}{2}}b^{2}+{\frac {1}{2}}c^{2}-{\frac {1}{4}}a^{2}}}

m_{b}={\sqrt {{\frac {1}{2}}a^{2}+{\frac {1}{2}}c^{2}-{\frac {1}{4}}b^{2}}}

m_{c}={\sqrt {{\frac {1}{2}}a^{2}+{\frac {1}{2}}b^{2}-{\frac {1}{4}}c^{2}}}

高线长度

设在 $\Delta ABC\,$ 中，連接三个顶点 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 上的高分別记作 $h_{a}$ 、 $h_{b}$ 、 $h_{c}$ ，則：

h_{a}={\frac {2{\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}}{a}}

h_{b}={\frac {2{\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}}{b}}

h_{c}={\frac {2{\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}}{c}}

其中 $s={\frac {a+b+c}{2}}$ 。

角平分线长度

设在 $\Delta ABC\,$ 中，若三个角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 的角平分线分别为 $t_{a}$ 、 $t_{b}$ 、 $t_{c}$ ，则：

t_{a}={\frac {1}{b+c}}{\sqrt {\left(b+c+a\right)\left(b+c-a\right)bc}}

t_{b}={\frac {1}{a+c}}{\sqrt {\left(a+c+b\right)\left(a+c-b\right)ac}}

t_{c}={\frac {1}{a+b}}{\sqrt {\left(a+b+c\right)\left(a+b-c\right)ab}}

三角形的心

三角形的內心(Incenter) 、外心(Circumcenter)、垂心(Orthocenter) 及形心(Centroid)稱為三角形的四心，定義如下：

名称	定义	备注
內心	三个內角的角平分线的交點	該點為三角形內切圓的圓心。
外心	三條邊的中垂線的交點	該點為三角形外接圓的圓心。
垂心	三条高线的交點
形心（重心）	三条中线的交點	被交点划分的线段比例为1:2（靠近角的一段较长）。

关于三角形的四心，有这样的一首诗：

“

內心全靠角平分，

外心中點垂線伸，
垂心垂直畫三高，
形心角連線中心。

”

垂心（蓝）、形心（黄）和外心（绿）能連成一線，且成比例1:2，稱為歐拉線，與九點圓的圓心（紅）四點共線，為垂心和形心線段的中點。

連同以下的旁心，合稱為三角形的五心：

名称	定义	图示	备注
旁心	外角的角平分线的交點		有三个，为三角形某一边上的旁切圆的圆心。

外接圆和内切圆半径

設外接圆半径為 $R$ ，内切圆半径為 $r$ ，則：

R={\frac {abc}{\sqrt {\left(a+b+c\right)\left(b+c-a\right)\left(a+c-b\right)\left(a+b-c\right)}}}={\frac {abc}{4\triangle }}

r={\frac {\sqrt {\left(a+b+c\right)\left(b+c-a\right)\left(a+c-b\right)\left(a+b-c\right)}}{2\left(a+b+c\right)}}={\frac {\triangle }{s}}

其中 $\triangle$ 為三角形面積； $s$ 為三角形半周長， $s={\frac {a+b+c}{2}}$

面積

基本公式

三角形的面積 $A$ 是底邊 $b$ 與高 $h$ 乘積的一半，即：

A={\frac {1}{2}}bh

，

其中的高是指底邊與對角的垂直距離。

證明

從右圖可知，將兩個全等三角形相拼，可得一平行四邊形。而將該平行四邊形分割填補，正好能得到一個面積等於 $bh$ 的長方形。因此原來的三角形面積為

A={\frac {1}{2}}bh

。

證畢。

已知兩邊及其夾角

設 $a$ $b$ 為已知的兩邊， $\gamma$ 為該兩邊的夾角，則三角形面積是：

A={\frac {1}{2}}ab\sin {\gamma }

。

證明

觀察右圖，根據正弦的定義：

\sin \gamma ={\frac {h}{a}}

。

因此：

h=a\sin \gamma

。

將此式代入基本公式，可得：

A={\frac {1}{2}}b(a\sin \gamma )={\frac {1}{2}}ab\sin {\gamma }

。

證畢。

已知兩角及其夾邊

$\beta$ 、 $\gamma$ 為已知的兩角， $a$ 為該兩角的夾邊，則三角形面積是：

A={\frac {a^{2}\sin \beta \sin \gamma }{2\sin(\beta +\gamma )}}

。

證明

從正弦定理可知：

{\begin{aligned}{\frac {b}{\sin \beta }}&={\frac {a}{\sin \alpha }}\\b&={\frac {a\sin \beta }{\sin \alpha }}\\\end{aligned}}

代入 $A={\frac {1}{2}}ab\sin \gamma$ ，得：

A={\frac {a^{2}\sin \beta \sin \gamma }{2\sin \alpha }}

。

注意到 $\alpha +\beta +\gamma =180^{\circ }$ ，因此：

{\begin{aligned}A&={\frac {a^{2}\sin \beta \sin \gamma }{2\sin[180^{\circ }-(\beta +\gamma )]}}\\&={\frac {a^{2}\sin \beta \sin \gamma }{2\sin(\beta +\gamma )}}\\\end{aligned}}

證畢。

已知三邊長

海龍公式，其表示形式為：

A={\sqrt {s\left(s-a\right)\left(s-b\right)\left(s-c\right)}}

，

其中 $s$ 等於三角形的半周長，即：

s={\frac {a+b+c}{2}}

秦九韶亦求過類似的公式，稱為三斜求積法：

A={\sqrt {{\frac {1}{4}}{\left[c^{2}a^{2}-\left({\frac {c^{2}+a^{2}-b^{2}}{2}}\right)^{2}\right]}}}

也有用幂和来表示的公式：

{\begin{aligned}A&={\frac {1}{4}}{\sqrt {(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}-2(a^{4}+b^{4}+c^{4})}}\\&={\frac {1}{4}}{\sqrt {2(a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+a^{2}c^{2})-(a^{4}+b^{4}+c^{4})}}\\\end{aligned}}

^{[註 1]}

證明

將海倫公式略為變形，知

16A^{2}=[(a+b)+c][(a+b)-c]\times [c+(a-b)][c-(a-b)]

多次使用平方差公式，得

{\begin{aligned}16A^{2}&=[(a+b)^{2}-c^{2}]\times [c^{2}-(a-b)^{2}]\\&=[2ab+(a^{2}+b^{2}-c^{2})]\times [2ab-(a^{2}+b^{2}-c^{2})]\\&=(2ab)^{2}-(a^{2}+b^{2}-c^{2})^{2}\\&=4a^{2}b^{2}-(a^{4}+b^{4}+c^{4}+2a^{2}b^{2}-2b^{2}c^{2}-2a^{2}c^{2})\\&=(2a^{2}b^{2}+2b^{2}c^{2}+2a^{2}c^{2})-(a^{4}+b^{4}+c^{4})\\&=2(a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+a^{2}c^{2})-(a^{4}+b^{4}+c^{4})\\\end{aligned}}

等號兩邊開根號，再同除以4，得

A={\frac {1}{4}}{\sqrt {2(a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+a^{2}c^{2})-(a^{4}+b^{4}+c^{4})}}

亦可用Cayley–Menger行列式表示的公式：

16\cdot A^{2}=-{\begin{vmatrix}0&a^{2}&b^{2}&1\\a^{2}&0&c^{2}&1\\b^{2}&c^{2}&0&1\\1&1&1&0\\\end{vmatrix}}

基於海伦公式在三角形擁有非常小的角度時並不數值穩定，有一個變化的計法。設 $a\geq b\geq c$ ，三角形面積為：

A={\frac {1}{4}}{\sqrt {[a+(b+c)][c-(a-b)][c+(a-b)][a+(b-c)]}}

。

證明

設 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 為三角形三條邊， $\alpha$ 、 $\beta$ 、 $\gamma$ 為相應邊的對角。從餘弦定理可知：

\cos \gamma ={\frac {a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}}

以畢氏三角恆等式可得：

\sin \gamma ={\sqrt {1-\cos ^{2}\gamma }}={\frac {\sqrt {4a^{2}b^{2}-(a^{2}+b^{2}-c^{2})^{2}}}{2ab}}

。

將此式代入 $A={\frac {1}{2}}ab\sin {\gamma }$ ，得：

A={\frac {1}{4}}{\sqrt {4a^{2}b^{2}-(a^{2}+b^{2}-c^{2})^{2}}}

。

因式分解及簡化後可得：

A={\frac {1}{4}}{\sqrt {\left(a+b+c\right)\left(a+b-c\right)\left(a+c-b\right)\left(b+c-a\right)}}

代入 $s={\frac {a+b+c}{2}}$ ，即可證畢。

已知坐标系中三顶点坐标

由 $(x_{1},y_{1})$ 、 $(x_{2},y_{2})$ 及 $(x_{3},y_{3})$ 三个顶点构成的三角形，其面积可用行列式的絕對值表示：

A=\left|{\frac {1}{2}}{\begin{vmatrix}x_{1}&y_{1}&1\\x_{2}&y_{2}&1\\x_{3}&y_{3}&1\end{vmatrix}}\right|

證明

无论三角形的顶点位置如何，该三角形总可以用一个直角梯形（或矩形）和两个直角三角形面积的和差来表示，而在直角坐标系中，已知直角梯形（或矩形）和直角三角形的顶点的坐标，该三角形的面积容易求出，即用上述的行列式表示。

若三個頂點設在三維座標系上，即由 $(x_{1},y_{1},z_{1})$ 、 $(x_{2},y_{2},z_{2})$ 及 $(x_{3},y_{3},z_{3})$ 三个顶点构成三角形，其面積等於各自在主平面上投影面積的畢氏和，即：

A={\frac {1}{2}}{\sqrt {{\begin{vmatrix}x_{1}&y_{1}&1\\x_{2}&y_{2}&1\\x_{3}&y_{3}&1\end{vmatrix}}^{2}+{\begin{vmatrix}y_{1}&z_{1}&1\\y_{2}&z_{2}&1\\y_{3}&z_{3}&1\end{vmatrix}}^{2}+{\begin{vmatrix}z_{1}&x_{1}&1\\z_{2}&x_{2}&1\\z_{3}&x_{3}&1\end{vmatrix}}^{2}}}

已知周界及內切圓或外接圓半徑

設三角形三邊邊長分別為 $a$ 、 $b$ 及 $c$ ，三角形半周長（ ${\frac {a+b+c}{2}}$ ）為 $s$ ，內切圓半徑為 $r$ ，則：

A=sr

若設外接圓半徑為 $R$ ，則：

A={\frac {abc}{4R}}

證明

內切圓半徑公式

根據右圖，設 ${\overline {AB}}=c$ ， ${\overline {AC}}=b$ ， ${\overline {BC}}=a$ ，則三角形面積可表示為：

{\begin{aligned}A&={\frac {1}{2}}ar+{\frac {1}{2}}br+{\frac {1}{2}}cr\\&={\frac {r(a+b+c)}{2}}\\&=rs\end{aligned}}

外接圓半徑公式

根據正弦定理：

{\begin{aligned}{\frac {c}{\sin \gamma }}&=2R\\\sin \gamma &={\frac {c}{2R}}\\\end{aligned}}

因此：

{\begin{aligned}A&={\frac {1}{2}}ab\sin \gamma \\&={\frac {1}{2}}ab\left({\frac {c}{2R}}\right)\\&={\frac {abc}{4R}}\end{aligned}}

已知兩邊向量

設從一角出發，引出兩邊的向量為 $\mathbf {a}$ 及 $\mathbf {b}$ ，三角形的面積為：

A={\frac {1}{2}}|\mathbf {a} \times \mathbf {b} |

證明

根據向量積定義， $|\mathbf {a} \times \mathbf {b} |=|\mathbf {a} ||\mathbf {b} |\sin \gamma$ ，其中 $\gamma$ 是兩支向量的夾角。

因此：

{\frac {1}{2}}|\mathbf {a} \times \mathbf {b} |={\frac {1}{2}}|\mathbf {a} ||\mathbf {b} |\sin \gamma =A

證畢。

半角定理

在三角形 $ABC\,$ 中，三个角的半角的正切和三边有如下关系：

{\begin{aligned}\tan {\frac {A}{2}}&={\sqrt {\dfrac {(a+c-b)(a+b-c)}{(a+b+c)(b+c-a)}}}\\\tan {\frac {B}{2}}&={\sqrt {\dfrac {(a+b-c)(b+c-a)}{(a+b+c)(a+c-b)}}}\\\tan {\frac {C}{2}}&={\sqrt {\dfrac {(b+c-a)(a+c-b)}{(a+b+c)(a+b-c)}}}\\\end{aligned}}

證明

以正弦及餘弦之比表示正切：

\tan {\frac {A}{2}}={\frac {\sin {\frac {A}{2}}}{\cos {\frac {A}{2}}}}

因为

\sin {\frac {A}{2}}>0

\tan {\frac {A}{2}}>0

所以

\sin {\frac {A}{2}}={\sqrt {\frac {1-\cos {A}}{2}}}={\sqrt {{\frac {1}{2}}\left(1-{\frac {b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}}\right)}}

={\sqrt {\frac {a^{2}-{\left(b-c\right)}^{2}}{4bc}}}

={\sqrt {\frac {\left(a+b-c\right)\left(a+c-b\right)}{4bc}}}

而

\cos {\frac {A}{2}}={\sqrt {\frac {1+\cos {A}}{2}}}={\sqrt {{\frac {1}{2}}\left(1+{\frac {b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}}\right)}}

={\sqrt {\frac {{\left(b+c\right)}^{2}-a^{2}}{4bc}}}

={\sqrt {\frac {\left(b+c+a\right)\left(b+c-a\right)}{4bc}}}

所以

{\begin{aligned}\tan {\frac {A}{2}}&={\frac {\sin {\frac {A}{2}}}{\cos {\frac {A}{2}}}}\\&={\frac {\sqrt {\cfrac {(a+b-c)(a+c-b)}{4bc}}}{\sqrt {\cfrac {(b+c+a)(b+c-a)}{4bc}}}}\\&={\sqrt {\frac {(a+b-c)(a+c-b)}{(b+c+a)(b+c-a)}}}\end{aligned}}

同理可得

\tan {\frac {B}{2}}={\sqrt {\dfrac {(a+b-c)(b+c-a)}{(a+b+c)(a+c-b)}}}

\tan {\frac {C}{2}}={\sqrt {\dfrac {(b+c-a)(a+c-b)}{(a+b+c)(a+b-c)}}}

其他有关三角形的定理

註釋

^ 應用實例，如外森比克不等式的證明

參考資料

^ P.F.Man,C.M.Yeung,K.H.Yeung,Y.F.Kwok,H.Y.Cheung,MATHEMATICS in Action SECOND EDITION 1B (Published by Longman Hong Kong Education): pp:9.25
^ 黃德華. 「課堂學習研究」提升「本科知識」和「教學內容知識」之探究：判定「全等三角形」新發現. 臺灣數學教師. 2016, 37 (2): 17–49 [2022-01-26]. doi:10.6610/TJMT.20160629.01. （原始内容存档于2022-01-26）. ⋯⋯SSO（O 是一鈍角）也是判断全等三角形的正確條件
^ Mironychev, Alexander F. SAS and SSA Conditions for Congruent Triangles. Journal of Mathematics and System Science. 2018, 8 (2): 59–66 [2022-01-26]. doi:10.17265/2159-5291/2018.02.003. （原始内容存档于2022-01-26）.

參看

[4] 應用實例，如外森比克不等式的證明

[1] P.F.Man,C.M.Yeung,K.H.Yeung,Y.F.Kwok,H.Y.Cheung,MATHEMATICS in Action SECOND EDITION 1B (Published by Longman Hong Kong Education): pp:9.25

[2] 黃德華. 「課堂學習研究」提升「本科知識」和「教學內容知識」之探究：判定「全等三角形」新發現. 臺灣數學教師. 2016, 37 (2): 17–49 [2022-01-26]. doi:10.6610/TJMT.20160629.01. （原始内容存档于2022-01-26）. ⋯⋯SSO（O 是一鈍角）也是判断全等三角形的正確條件

[3] Mironychev, Alexander F. SAS and SSA Conditions for Congruent Triangles. Journal of Mathematics and System Science. 2018, 8 (2): 59–66 [2022-01-26]. doi:10.17265/2159-5291/2018.02.003. （原始内容存档于2022-01-26）.

[1]

[2]

[3]

[註 1]