定理(英語:Theorem)是經過受邏輯限制的證明為真的陈述。一般來說,在數學中,只有重要或有趣的陳述才叫定理。證明定理是數學的中心活動。一个定理陈述一个给定类的所有(全称)元素一种不变的关系,这些元素可以是无穷多,它们在任何时刻都无区别地成立,而没有一个例外。(例如:某些 a {\displaystyle a} 是 x {\displaystyle x} ,某些 a {\displaystyle a} 是 y {\displaystyle y} ,就不能算是定理)。
猜想是相信為真但未被證明的數學敘述,或者叫做命题,當它經過證明後便是定理。猜想是定理的來源,但並非唯一來源。一個從其他定理引伸出來的數學敘述可以不經過成為猜想的過程,成為定理。
如上所述,定理需要某些邏輯框架,繼而形成一套公理(公理系統)。同時,一個推理的過程,容許從公理中引出新定理和其他之前發現的定理。
在命題邏輯,所有已證明的敘述都稱為定理。
定理一般都有许多條件。然後有結論——一個在條件下成立的數學敘述。通常寫作「若條件,則結論」。用符號邏輯來寫就是條件→結論。而當中的證明不視為定理的成分。
若存在某敘述為 A → → --> B {\displaystyle A\rightarrow B} ,其逆敘述就是 B → → --> A {\displaystyle B\rightarrow A} 。逆敘述成立的情況是 A ↔ ↔ --> B {\displaystyle A\leftrightarrow B} ,否則通常都是倒果為因,不合常理。若果敘述是定理,其成立的逆敘述就是逆定理。
逻辑语言中的定理表示的是一个公式集合,并且该公式集合中的每一个公式都代表着知识的一个片段,由此我们可以给定理一个更准确的表达(这里所说的定理指的是在一阶逻辑中的定理,通常来说任意一个命题集合往往不一定是定理)。定理在逻辑中的定义︰
这个定理(或这个命题集合)我们记作 T {\displaystyle T} ,这些建立于语言集合 L {\displaystyle L} 上的命题必须符合如下属性:
比如一个永真命题集合是一个定理,这个永真命题集合被包含在所有建立在语言集合 L {\displaystyle L} 上的定理中。此外,我们说一个定理是另外一个定理 T {\displaystyle T} 的扩展(extension),前提是该定理包含定理 T {\displaystyle T} 。
有一个命题集合 A {\displaystyle A} ,我们將一个包含 A {\displaystyle A} 的集合记作 Th ( A ) {\displaystyle {\mbox{Th}}(A)} ,那麽 Th ( A ) = { φ φ --> | A ⊨ ⊨ --> φ φ --> } {\displaystyle {\mbox{Th}}(A)=\{\ \varphi \ \ |\ \ A\vDash \varphi \ \}} 。显而易见 A ⊨ ⊨ --> Th ( A ) {\displaystyle A\vDash {\mbox{Th}}(A)} ,所以 Th ( A ) {\displaystyle {\mbox{Th}}(A)} 是一个定理。比如我们有一个集合 G {\displaystyle G} , G {\displaystyle G} 有三个基于语言 L {\displaystyle L} 上的命题,其中 L = { e , f } {\displaystyle L=\{e,f\}} , e {\displaystyle e} 是常数符号, f {\displaystyle f} 是函数符号。三个命题如下:
那么如果有 Th ( G ) = { φ φ --> | G ⊨ ⊨ --> φ φ --> } {\displaystyle {\mbox{Th}}(G)=\{\ \varphi \ \ |\ \ G\vDash \varphi \ \}} ,則 Th ( G ) {\displaystyle {\mbox{Th}}(G)} 是 G {\displaystyle G} 的定理。当然,如果 A {\displaystyle A} 和 B {\displaystyle B} 是两个命题集合且满足 A ⊆ ⊆ --> B {\displaystyle A\subseteq B} ,那么 Th ( A ) ⊆ ⊆ --> Th ( B ) {\displaystyle {\mbox{Th}}(A)\subseteq {\mbox{Th}}(B)} 。
我们说一个定理 T {\displaystyle T} 是完整的(Complete),当且仅当对于和 T {\displaystyle T} 一样构建在同样语言集合上的所有命题 φ φ --> {\displaystyle \varphi } ,要么 φ φ --> ∈ ∈ --> T {\displaystyle \varphi \in T} ,要么 ¬ ¬ --> φ φ --> ∈ ∈ --> T {\displaystyle \lnot \varphi \in T} 。
不是所有的定理是完整的。比如 Th ( Φ Φ --> ) {\displaystyle {\mbox{Th}}(\Phi )} 一个空集合 { Φ Φ --> } {\displaystyle \{\Phi \}} 的定理是所有真命题集合,但是 Th ( Φ Φ --> ) {\displaystyle {\mbox{Th}}(\Phi )} 不是完整的。假如有命題 Ψ Ψ --> = ∃ ∃ --> x ∃ ∃ --> y ( x ≠ ≠ --> y ) {\displaystyle \Psi =\exists x\exists y(x\neq y)} ,对于 Ψ Ψ --> {\displaystyle \Psi } 来说,它既不是永真命题,也不是永假命题,它是一个可满足式的命题,也就是说 Th ( Φ Φ --> ) ⊭ ⊭ --> Ψ Ψ --> {\displaystyle {\mbox{Th}}(\Phi )\nvDash \Psi } 且 Th ( Φ Φ --> ) ⊭ ⊭ --> ¬ ¬ --> Ψ Ψ --> {\displaystyle {\mbox{Th}}(\Phi )\nvDash \lnot \Psi } 。因此 Ψ Ψ --> ∉ ∉ --> Th ( Φ Φ --> ) {\displaystyle \Psi \notin {\mbox{Th}}(\Phi )} ,所以我们说 Th ( Φ Φ --> ) {\displaystyle {\mbox{Th}}(\Phi )} 不是完整的。 一个定理 T {\displaystyle T} 称作是稳健的(Consistante),当且仅当 ∀ ∀ --> φ φ --> ∈ ∈ --> T , ¬ ¬ --> φ φ --> ∉ ∉ --> T {\displaystyle \forall \varphi \in T,\ \lnot \varphi \notin T} 。我们说对所有的解释(Interpretation) I {\displaystyle I} , Th ( I ) {\displaystyle {\mbox{Th}}(I)} 是一个定理,并且 Th ( I ) {\displaystyle {\mbox{Th}}(I)} 既是稳健的又是完整的。
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