文氏图 (英語:Venn diagram ),或译温氏图 、Venn圖 [ 1] 、范恩圖 [ 2] 、维恩圖 、维恩图解 、范氏圖 、韦恩图 、卞氏圖表 [ 3] 等,是在集合论 (或者类的理论 )数学分支中,在不太严格的意义下用以表示集合 (或类 )的一种图解 。它们用于展示在不同的事物群组(集合)之间的数学 或逻辑 联系,尤其适合用来表示集合(或)类之间的“大致关系”,它也常常被用来帮助推导(或理解推导过程)关于集合运算(或类运算)的一些规律。
起源
剑桥大学 冈维尔与凯斯学院 餐厅的彩色玻璃窗
约翰·维恩 是19世纪英国 的哲学家 和数学家 ,他在1881年发明了文氏图。
例子
集合A, B和C
在文氏图法中,如果有论域 ,则以一个矩形 框(的内部区域)表示论域;各个集合 (或类)就以圆 /椭圆 (的内部区域)来表示。两个圆/椭圆相交,其相交部分表示两个集合(或类)的公共元素,两个圆/椭圆不相交(相离或相切,而实际上在文氏图中相切是没有什么意义的,因为文氏图是以图形的内部区域来表示的 )则说明这两个集合(或类)没有公共元素。
集合A和B
比如黃色的圆圈(集合A )可以表示两足的所有活物。蓝色的圆圈(集合B )可以表示会飞的所有活物。黃色和蓝色的圆圈交叠的区域(叫做交集 )包含会飞且 两足的所有活物──比如鹦鹉。(把每个单独的活物类型想像为在这个图中的某个点 )。
人和企鹅會在橙色圆圈中不与蓝色圆圈交叠的部分中。蚊子有六足并且会飞,所以蚊子的点可以在蓝色圆圈中不与橙色圆圈交叠的部分中。不是两足并且不会飞的东西(比如鲸和响尾蛇)可以表示为在这两个圆圈之外的点。在技术上,上面的文氏图可以解释为"集合A 和集合B 之间的联系,它们可以有一些(但不是全部)的元素是公共的"。
集合A 和B 的组合区域叫做集合A 和B 的并集 。在这个个例中并集包含要么两足、要么会飞、要么两足并且会飞的所有东西。圆圈交叠暗示着两个集合的交集非空──就是说在事实上有 活物同时 在黃色和蓝色圆圈中。
文氏图与其它的图示法一样,它不能准确表示一个集合(或类)中到底有哪些元素。
类似的图
欧拉图 可能在外观上同文氏图是一致的。它们之间的区别只在於它们的应用领域中,就是说在被分割的全集的类型中。欧拉图展示对象 的特定集合,文氏图的概念更一般的适用于可能的联系。文氏图和欧拉图没有合并的原因可能是,欧拉 的版本是早在100多年前就出现了的,欧拉已经有了足够多的成就了,而維恩只留下了这么一个图。
在欧拉图和文氏图之间的区别只是在想法上,欧拉图要展示特定集合之间的联系,而文氏图要包含所有可能的组合。下面是欧拉图的一个例子:
集合A, B和C
在这个例子中,一个集合完全在另一个集合内部。我们说集合A 是在世界中能找到的所有的不同类型的奶酪,集合B 是在世界中能找到的所有食物。从这个图中,你可以看出所有奶酪都是食物,但是不是所有食物都是奶酪。进一步的说,集合C (比如说金属造物)与集合B 没有公共元素(集合的成员),从此我们可以在逻辑上断言没有奶酪是金属造物(或者反过来说)。在形式上,上述的图可以在数学上解释为"集合A 是集合B 的真子集,而集合C 和集合B 没有公共元素"。
或解释为一个三段论 :
所有A s是K s
没有C s是K s
所以,没有C s是A s
所以,没有A s是C s
扩展到更多个集合
維恩的四集合文氏圖
維恩的五集合文氏圖
維恩的使用橢圓的四集合文氏圖
歷來有許多把文氏图推广到多个集合的嘗試。維恩使用椭圆达到了四个集合但从未满意他的五集合解法。在一个世纪之後,才找到了一种能满足維恩關於對稱性的非正式要求。這是A·W·F·爱德华兹 在设计彩色玻璃 窗以缅怀維恩的時候,所得出的‘齿轮’方法:[ 4]
Edwards的三集合文氏图
Edwards的四集合文氏图
Edwards的五集合文氏图
Edwards的六集合文氏图
在大眾文化中
在美國電視劇 生活大爆炸 (The Big Bang Theory)S1E14中,Leonard不小心買下了巨型時光機 ,他納悶道:誰會用800元就賣出一台全尺寸的時間機器?
Sheldon回答:在文氏圖中,那是位於「不再想要時間機器」和「需要800元」兩個集合的交接區域。
還有生活大爆炸S9E23中,Sheldon和Penny正在玩字卡遊戲來拓展對方的知識圈,其中Sheldon拿出文氏圖的卡片讓Penny說是什麼,Penny答對並說道:我會記得是因為我當時心想,他何時才會停止解釋這個圖?
参见
参考文献
外部链接