星形多邊形

兩種星形多邊形
{5/2}	\|5/2\|
正五角星{5/2}是一種星形多邊形，有五個頂點和互相相交的邊，其可以對應到一個凹十邊形\|5/2\|。
小星形十二面體	鑲嵌

在幾何學中，星形多邊形是一種外觀有數個向外凸起的非凸多邊形。目前幾何學上尚未有一個廣泛被接受的星形多邊形定義，目前較常見的定義為存在頂點不和相鄰頂點連接的多邊形^[1]^[2]，或者從一般多邊形透過截角或延長邊並使其相交所形成的形狀^[3]。目前有被從多個角度進行研究的星形多邊形只有星形正多邊形。數學家布蘭科·格倫鮑姆（英语：Branko Grünbaum）指出了兩種由克卜勒提出的定義：一種是具有自相交稜的星形正多邊形，且自相交的稜不產生新的頂點，另一種是等邊的簡單凹多邊形^[5]。

命名

星形多邊形一般有許多向外突出的角，一般依照其向外突出之角的數量命名，如五角星，部分文獻將之稱為一個芒，整體形狀以芒數命名，如五芒星^[6]與六芒星^[7]。

簡單等邊星形多邊形

若一星形多邊形是一個簡單多邊形或邊不相交的多邊形，則該星形多邊形不可能為星形正多邊形，因為若將星形正多邊形的相交邊移除，則其不再正多邊形，但可以形成等邊多邊形。這類等邊多邊形通常由2個落在半徑不同的圓上之頂點交錯連接構成。數學家布蘭科·格倫鮑姆（英语：Branko Grünbaum）在其著作《Tilings and Patterns》中將這類多邊形以符號 $|x|$ 表示由星形多邊形 $\{x\}$ 移除相交線段後構成的星形多邊形，例如星形多邊形 $\{{\frac {n}{d}}\}$ 移除位於內部的線段後的結果計為 $|{\frac {n}{d}}|$ 或 $\{n\alpha \}$ 表達一個內角 $\alpha <180(1-{\frac {2}{n}})$ 度的n角星^[5]。

簡單等邊星形多邊形
\|n/d\| {n_α}	{3_30°}	{6_30°}	\|5/2\| {5_36°}	{4_45°}	\|8/3\| {8_45°}	\|6/2\| {6_60°}	{5_72°}
α	30°		36°	45°		60°	72°
β	150°	90°	72°	135°	90°	120°	144°
等邊星形多邊形
對應的星形正多邊形	{12/5}		{5/2}	{8/3}		2{3} 星形圖（英语：Star figure）	{10/3}

星形正多邊形

{5/2}	{7/2}	{7/3}...

星形正多邊形包括五角星和八角星等等，n角星的施萊夫利符號為{n/m}，其中m是小於n/2且和n互質的正整數。托馬斯·布拉德華是最早系統性地對星形正多邊形的研究的學者，後來约翰内斯·开普勒也做了類似的研究。^[8]

參見

星形多面體

參考文獻

^ 星型多角形は特殊な図形か (PDF). fzk.ed.shizuoka.ac.jp. [2019-11-11]. （原始内容存档 (PDF)于2019-11-11）.
^ 志凌資訊劉緻儀. 跟我學CorelDRAW X7向量彩繪創意. 碁峰資訊股份有限公司. 2014. ISBN 9789863473107.
^ 五角星形. shuxuele.com. [2019-11-11]. （原始内容存档于2019-11-11）.
^ Grünbaum, B.（英语：Branko Grünbaum）, G.C. Shephard; Tilings and Patterns, New York: W. H. Freeman & Co., (1987), ISBN 0-7167-1193-1
^ ^5.0 ^5.1 Grünbaum & Shephard 1987,^[4] section 2.5
^ 高柳茜. 丸にとらわれたお星さま!？ファンタジックで美しい数学～星型正n角形k点飛ばしにおける面積の一般化公式を導く～. milive.jp. [2019-11-11]. （原始内容存档于2019-11-11）.
^ 羅東六芒星超美主燈！「歡樂宜蘭年」讓你有走迷宮感覺. 東森新聞雲. 2019-02-12 [2019-11-11]. （原始内容存档于2021-05-16）.
^ Coxeter, Introduction to Geometry, second edition, 2.8 Star polygons p.36-38

查论编几何学术语
点	頂點交點中點角同界角極值點最值點臨界點驻点鞍點
直线和曲线	线段射线直线切线（主）法线副法線曲线圆锥曲线双曲线抛物线正弦曲線蚌线蜗线螺线（阿基米德螺线、等角螺线……）摆线（最速降線問題）悬链线曳物线漸開線渐屈线渐近线测地线邊周界弦弧矢垂直平分線代數曲線椭圆曲线超橢圓星形线三尖瓣线方圓形勒洛三角形
平面圖形	圆（广义圆）椭圆扇形弓形环形多边形三角形四邊形五边形六边形多边形正多边形梯形平行四边形菱形矩形正方形鷂形卵形线梭形星形五角星六角星
立體圖形	多面体正多面體四面體長方體立方體平行六面体棱柱反棱柱棱锥棱台圆柱体圆锥圆台椭球（長球體、扁球體）球體球缺球冠球台準線母線
曲面	二次曲面旋轉曲面抛物面雙曲面马鞍面球面橢球面類球面环面莫比乌斯带流形黎曼曲面
高維空間	超平面超面超曲面胞多胞形超球體超方形超立方體克莱因瓶四維柱體柱
圖形關係	相似全等對稱平行垂直相交相切相離镜像旋转反演截面缩放
三角形關係	相似三角形全等三角形
量	距离长度周长弧长高度面积表面積体积容積角度曲率撓率離心率凹凸性有向曲面可展曲面直紋曲面
作圖	尺直尺三角尺圆规尺规作图二刻尺作圖
分支	平面幾何立体几何三角学解析几何微分几何拓扑学图论摺紙數學欧几里得几何非欧几里得几何（双曲几何、球面幾何……）分形
理論	定理公理定义數學證明
分类主题共享资源专题

查论编多边形
1–10邊	一角形二角形三角形正三角形直角三角形等腰三角形不等邊三角形四邊形正方形矩形菱形鷂形梯形平行四边形五边形六边形七边形八边形九邊形十边形
11–20邊	十一边形十二边形十三边形十四边形十五边形十六边形十七边形十八边形十九邊形二十邊形
21–100邊（部分的）	二十一邊形（日语：二十一角形）二十二邊形（日语：二十二角形）二十三邊形（英语：Icositrigon）二十四邊形三十邊形（英语：Triacontagon）四十邊形（西班牙语：Tetracontágono）五十邊形（西班牙语：Pentacontágono）六十邊形（日语：六十角形）七十邊形（日语：七十角形）八十邊形（日语：八十角形）九十邊形（日语：九十角形）一百邊形（西班牙语：Hectágono）
>100邊	二百五十七邊形一千邊形一萬邊形（英语：Myriagon）六萬五千五百三十七邊形十萬邊形（匈牙利语：Százezerszög）一百萬邊形四十二億九千四百九十六萬七千二百九十五邊形無限邊形超無限邊形
複多邊形	複八邊形莫比烏斯-坎特八邊形
其他	空多胞形零角形扭歪無限邊形
星形多邊形	五角星六角星七角星八角星九角星十角星十一角星十二角星無限角星
分類	凸多邊形凹多邊形星形多邊形正多边形退化多邊形基本多边形簡單多邊形複雜多邊形扭歪多邊形複多邊形星狀多邊形等边多边形等角多邊形平行多邊形圓外切多邊形圓內接多邊形可作图多边形雙心多邊形

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