Share to: share facebook share twitter share wa share telegram print page

六边形

正六邊形
一個正六邊形
類型正多邊形
對偶正六邊形(本身)
6
頂點6
對角線9
施萊夫利符號{6}
t{3}
考克斯特符號英语Coxeter–Dynkin diagramnode_1 6 node 
node_1 3 node_1 
對稱群二面體群 (D6), order 2×6
面積
內角120°
內角和720°
特性圓內接多邊形等邊多邊形等角多邊形等邊圖形

幾何學中,六邊形是指有六條邊和六個頂點多邊形[1],其內角和為720度[2]。六邊形有很多種,其中對稱性最高的是正六邊形。正六邊形是一種可以使用尺規作圖的六邊形,也可以拼滿平面,因此自然界中可以找到許多正六邊形的結構,如蜂巢[3]玄武岩[4]分子結構[5]。另外,正六邊形也可以構成一些高對稱性的多面體,如截角二十面體巴克明斯特富勒烯分子結構就是這種形狀。

六邊形依照其類角的性質可以分成凸六邊形和非凸六邊形,其中凸六邊形代表所有內角的角度皆小於180度。非凸六邊形可以在近一步分成凹六邊形和星形六邊形,其中星形六邊形表示邊自我相交的六邊形。

正六邊形

正六邊形是每條邊等長、每個角相等的六邊形,在施萊夫利符號中可以用來表示[6]。正六邊形亦可以將正三角形透過截角變換來構造,即切去正三角形的三個頂點,因此正六邊形在施萊夫利符號中亦可以寫為 。但若截角深度太深或太淺都會產生一種具有兩個不同邊長的六邊形。

一個利用尺规作图構造正六邊形的逐步動畫,這個方法由歐幾里得的幾何原本第四卷第15章給出[7]。六邊形之所以為可作圖多邊形是因為邊長,是2個費馬數的乘積。
若已給定六邊形的其中一邊AB的邊長,就分別以A和B為圓心、半徑AB畫弧,其交點M就是這個正六邊形的外接圓圓心。畫出外接圓後依序將AB線段複製到到圓周上,則可以繪製出正六邊形

正六邊形是一個同時具有邊可遞和點可遞特性的六邊形,是一種雙心多邊形,這意味著它同時具有內切圓外接圓

正六邊形邊的長度與其外接圓半徑相等,且等於邊心距的倍,其中,邊心距與內切圓半徑相等。正六邊形的每個內角都是120度,且具有6次的旋轉對稱性(階數為6的旋轉對稱性)和6軸對稱性(有6個對稱軸的軸對稱性),組成了D6二面體群的對稱性。正六邊形最長的對角線是兩側頂點的對角線,其長度恰好為邊長的兩倍,因此若有一個三角形其中一個頂點位於六邊形幾何中心、其中一條邊與六邊形共用,則這個三角形是正三角形,且正六邊形可以分割成6個此三角形。

正六邊形是其中一種能夠密鋪平面的正多邊形,其餘兩種為正三角形和正方形。如同正方形和正三角形一樣,正六邊形可以經過重複的排列和組合,形成沒有空隙或重疊的幾何圖形,這種圖行每個頂點都是3個六邊形的公共頂點,並形成一個很緊密的二維空間充填,也因此大部分的蜂窩都會將其的每個蜂房做成六邊形,使其能夠有效地利用空間和建材[3]。另外,正三角形鑲嵌的沃羅諾伊圖是正六邊形鑲嵌。雖然具有等邊的特性,但並不常被當作等邊多邊形英语Equilateral polygon

參數

正六邊形的最大直徑是最大半徑或外接圓半徑的兩倍,其外接圓半徑與邊長等長。


正六邊形的面積為:
為外接圓半徑、為內接圓半徑、為外接圓直徑=六邊形對角長、為內接圓直徑=六邊形對邊長)

也可以利用其邊心距套用任意正多邊形公式求得:

正六边形可以单单用圆规直尺绘画。因为当正六边形内接于圆时,圆的半径刚好等于正六边形的边长,正六边形最长的对角线就等于圆的直径。中国古代对圆周和直径的关系有「周三径一」之说,可以视为采用正六边形为圆的近似图形求得的结果。

正六边形尺规作图

下面是正六边形的尺规作图,共三步。

  1. 畫一條水平線,通過此線上的任意點做一個
  2. 以該圓與線的交點为圆心,分別畫出與該圓半徑相同的圓,與該圓交於4點。
  3. 依顺序联结这4个点和該圓與水平線的交點即成正六邊形。

面积

正六边形

因為正六邊形由六個等邊三角形組成,所以:

正六邊形的面積=三角形面積×6=

這些等邊三角形的高是正六邊形內切圓半徑,即

六邊形的密鋪平面

有多種六邊形可以獨立密鋪平面,換句話說即該六邊形反覆拼接可以無空隙地填滿整個平面[8][9]

對稱性 p6m (*632) cmm (2*22) p2 (2222) p31m (3*3) pmg (22*) pg (××)
圖形
r12

i4

g2

d2

d2

p2

a1

扭歪六邊形

環己烷化學結構碳原子的位置形成了一個扭歪六邊形。
立方體皮特里多邊形是一個扭歪六邊形。

扭歪六邊形,又稱不共面六邊形,是指頂點並非完全共面的六邊形

多面體上的扭歪六邊形

立方體[10]

正八面體

皮特里多邊形

一些正扭歪六邊形來自於高维多胞體的皮特里多邊形

4D 5D

三角三角柱體柱英语3-3 duoprism

三角三角錐體錐英语3-3 duopyramid

正五胞體

多面體的截面

部分多面體具有六邊形的截面,例如立方體[11][13]正八面體[14]正十二面體[15]。在立方體中,六邊形的截面穿過對邊的中點[10][16][14]


立方體的正六邊形截面

自然中的六邊形

由於正六邊形具有高度對稱性,且可以無空隙地填滿整個平面,這種形狀稱為正六邊形鑲嵌,其頂點排佈英语vertex arrangement稱為六邊形網格(英語Hexagonal Grid[17]。以這些頂點為幾何中心的圓形可以構成二維空間中可能的圓形鑲嵌中最緊密的一種排佈[18],其牛頓數英语Kissing number[19]為6[20][21],也因此自然界經常出現許多正六邊形的結構,例如蜂巢[3]玄武岩[4]和一些化學物質的分子結構[5]

在太空中,亦有其他自然形成的六邊形,例如土星極區的雲層呈現六邊形,被稱為土星六邊形[22][23][24]

文化

由于法国的领土像一个六边形,因此法国人也经常用“六边形”(L'Hexagone)一词来指代法国。1988年发行的戴高乐1法郎硬币法语Pièce de 1 franc de Gaulle上,就印有代表法国的六边形。

參考文獻

  1. ^ Weisstein, Eric W. (编). Hexagon. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. (英语). 
  2. ^ Polygons - Hexagons. coolmath.com. [2016-08-26]. (原始内容存档于2016-09-03) (英语). 
  3. ^ 3.0 3.1 3.2 蜂窩--自然界最經濟有效的建築. [2016-08-26]. (原始内容存档于2020-10-16). 
  4. ^ 4.0 4.1 楊嵐雅. 澎湖玄武岩. 國立台灣大學. [2016-08-26]. (原始内容存档于2016-09-02). 
  5. ^ 5.0 5.1 Rocke, A. J. It Began with a Daydream: The 150th Anniversary of the Kekulé Benzene Structure. Angew. Chem. Int. Ed. 2015, 54: 46–50. doi:10.1002/anie.201408034. 
  6. ^ Wenninger, Magnus J., Polyhedron Models, Cambridge University Press: 9, 1974 [2016-08-25], ISBN 9780521098595, (原始内容存档于2016-01-02) .
  7. ^ 歐幾里得幾何原本》第四卷 第15章 BC 300
  8. ^ Tilings and Patterns, Sec. 9.3 Other Monohedral tilings by convex polygons
  9. ^ Tilings and Patterns, from list of 107 isohedral tilings, pp. 473–481
  10. ^ 10.0 10.1 ,Steinhaus, H. Mathematical Snapshots, 3rd ed. New York: Dover, 1999. p. 170 ISBN 978-0486409146
  11. ^ Gardner, M. "Mathematical Games: More About the Shapes that Can Be Made with Complex Dominoes." Sci. Amer. 203, 186-198, Nov. 1960.
  12. ^ 12.0 12.1 12.2 Holden, A. Shapes, Space, and Symmetry. New York: Dover, 1991. ISBN 978-0486268514
  13. ^ Holden 1991[12], p.23
  14. ^ 14.0 14.1 Holden 1991[12], p.22-23
  15. ^ Holden 1991[12], p.26-27
  16. ^ Cundy, H. and Rollett, A. "Hexagonal Section of a Cube." §3.15.1 in Mathematical Models, 3rd ed. Stradbroke, England: Tarquin Pub., p. 157, 1989. ISBN 978-0906212202
  17. ^ Weisstein, Eric W. (编). Hexagonal Grid. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. (英语). 
  18. ^ O. R. Musin. The problem of the twenty-five spheres. Russ. Math. Surv. 2003, 58: 794–795. doi:10.1070/RM2003v058n04ABEH000651. 
  19. ^ 從3個數學故事看概率論、拓撲學是如何影響我們的生活. ifun01.com. [2017-07-10]. (原始内容存档于2021-10-15). 
  20. ^ Mittelmann, Hans D.; Vallentin, Frank. High accuracy semidefinite programming bounds for kissing numbers. Experimental Mathematics. 2009, 19: 174–178. arXiv:0902.1105可免费查阅. 
  21. ^ See also Lemma 3.1 in Marathe, M. V.; Breu, H.; Hunt, H. B.; Ravi, S. S.; Rosenkrantz, D. J. Simple heuristics for unit disk graphs. Networks. 1995, 25 (2): 59. doi:10.1002/net.3230250205. 
  22. ^ Godfrey, D.A. A hexagonal feature around Saturn's north pole. Icarus. 1988, 76 (2): 335–356. Bibcode:1988Icar...76..335G. doi:10.1016/0019-1035(88)90075-9. 
  23. ^ Sanchez-Lavega, A.; Lecacheux, J.; Colas, F.; Laques, P. Ground-Based Observations of Saturn's North Polar Spot and Hexagon. Science. 1993, 260 (5106): 329–32. Bibcode:1993Sci...260..329S. PMID 17838249. S2CID 45574015. doi:10.1126/science.260.5106.329. 
  24. ^ Overbye, Dennis. Storm Chasing on Saturn. New York Times. August 6, 2014 [August 6, 2014]. (原始内容存档于2018-07-12). 
  25. ^ Saturn's Strange Hexagon. NASA. 2007-03-27 [2017-07-10]. (原始内容存档于2010-02-01). 
  26. ^ Cassini Images Bizarre Hexagon on Saturn. NASA. 2007-03-27 [2017-07-10]. (原始内容存档于2010-09-27). 
  27. ^ Godfrey, D. A. A hexagonal feature around Saturn's North Pole 76. Icarus: 335–356. 1988-11 [2020-09-30]. ISSN 0019-1035. doi:10.1016/0019-1035(88)90075-9. (原始内容存档于2017-08-09). 
  28. ^ Kepler, Johannes. De nive sexangula [The Six-sided Snowflake]. Oxford: Clarendon Press. 1966 [1611]. OCLC 974730. 
Read more information:

جزء من سلسلة حول الأنمي والمانغا أنمي أنمي التاريخ الصناعة رسوم متحركة أصلية للشبكة رسوم متحركة أصلية للفيديو الترجمة الدبلجة الشركات أطول المسلسلات مانغا مانغا التاريخ السوق الدولية مانغاكا (قائمة) دوجينشي المسح-ترجمة الناشرون السلسلات الأفضل مبيعاً أطول السلسلات مجموع

Julio Cortázar Julio Cortázar en 1967, retratado por Sara FacioInformación personalNombre de nacimiento Julio Florencio Cortázar ( escuchar)Nacimiento 26 de agosto de 1914Ixelles, Región de Bruselas-Capital, BélgicaFallecimiento 12 de febrero de 1984 (69 años)París, FranciaCausa de muerte Leucemia linfoide agudaSepultura Cementerio de Montparnasse Nacionalidad Argentina, francesaReligión AteísmoLengua materna EspañolFamiliaCónyuge Aurora Bernárdez (matr. 1953; …

فريد بلكاهية معلومات شخصية الميلاد 15 نوفمبر 1934[1][2]  مراكش  الوفاة 25 سبتمبر 2014 (79 سنة)   مراكش  مواطنة المغرب  الحياة العملية المدرسة الأم المدرسة الوطنية للفنون الجميلة  المهنة رسام  اللغة الأم الأمازيغية  اللغات العربية،  والأمازيغية  تعديل …

Music venue in Manhattan, New York This article has multiple issues. Please help improve it or discuss these issues on the talk page. (Learn how and when to remove these template messages) This article's tone or style may not reflect the encyclopedic tone used on Wikipedia. See Wikipedia's guide to writing better articles for suggestions. (October 2023) (Learn how and when to remove this template message) This article needs additional citations for verification. Please help improve this article …

Chiesa dell'ImmacolataFacciata dell'edificioStato Italia RegioneCampania LocalitàNapoli Coordinate40°51′01.44″N 14°15′58.32″E / 40.8504°N 14.2662°E40.8504; 14.2662Coordinate: 40°51′01.44″N 14°15′58.32″E / 40.8504°N 14.2662°E40.8504; 14.2662 ReligioneCattolica Arcidiocesi Napoli Inizio costruzioneXVII secolo CompletamentoXVII secolo Modifica dati su Wikidata · Manuale La chiesa dell'Immacolata è un ex edificio di culto di Napoli…

Штовхання ядра (чоловіки)на Чемпіонаті світу з легкої атлетики 2017Місце Олімпійський стадіонУчасників 33 з 21 країнРозкладКваліфікація 5 серпняФінал 6 серпняПризери01 ! Томас Волш02 ! Джо Ковач3 ! Стіпе Жунич← 2015 2019 → Переможна спроба Томаса Волша Чемпіонат світу з

شريان فرجي سطحي ظاهر تفاصيل يتفرع من شريان فخذي  معرفات ترمينولوجيا أناتوميكا 12.2.16.013   FMA 20738  UBERON ID 0007317  [عدل في ويكي بيانات ] تعديل مصدري - تعديل   شريان فرجي سطحي ظاهر (بالإنجليزية: Superficial external pudendal artery)‏‏ هو شريان يتفرعُ من شريان فخذي.[1] مساره هذا القسم ف

هذه المقالة يتيمة إذ تصل إليها مقالات أخرى قليلة جدًا. فضلًا، ساعد بإضافة وصلة إليها في مقالات متعلقة بها. (سبتمبر 2018) الرسم الكهربائي هو نوع من الرسم الفني الذي يعرض معلومات حول الطاقة والإضاءة والاتصال لمشروع هندسي أو معماري.[1] المكونات يتكون أي رسم عمل كهربائي من «خطوط…

الحيوية الحضرية (بالإنجليزية: Urban vitality) هي جودة المساحات في المدن التي تجذب أشخاص متنوعين من أجل ممارسة أنشطة مختلفة في فترات زمنية متنوعة.[1] توصف المناطق في المدينة ذات الحيوية العالية بالحيّة والنابضة بالحياة، وذات مقومات تجذب الناس للقيام بأنشطتهم أو التجول أو البقاء…

Bobby DarinDarin pada tahun 1959Informasi latar belakangNama lahirWalden Robert CassottoLahir(1936-05-14)14 Mei 1936AsalThe Bronx, New York, Amerika SerikatGenreBig band, rock and roll, pop tradisional, folkPekerjaanPenyanyi-penulis lagu, aktorInstrumenVokal, gitar, piano, drum, harmonika, xylophoneTahun aktif1956–1973LabelDecca, Atco, Capitol, Brunswick, Atlantic, Motown Walden Robert Casotto atau lebih dikenal dengan nama Bobby Darin (14 Mei 1936 – 20 Desember 1973), merupaka…

List of events ← 1883 1882 1881 1884 in the United States → 1885 1886 1887 Decades: 1860s 1870s 1880s 1890s 1900s See also: History of the United States (1865–1918) Timeline of United States history (1860–1899) List of years in the United States 1884 in the United States1884 in U.S. states States Alabama Arkansas California Colorado Connecticut Delaware Florida Georgia Illinois Indiana Iowa Kansas Kentucky Louisiana Maine Maryland Massachusetts Michigan Minnesota Mississippi Miss…

Dick CheneyPotret resmi, 2004Wakil Presiden Amerika Serikat ke-46Masa jabatan20 Januari 2001 – 20 Januari 2009PresidenGeorge W. BushPendahuluAl GorePenggantiJoe Biden Informasi pribadiLahir30 Januari 1941 (umur 82)Lincoln, Nebraska, Amerika SerikatPartai politikRepublikSuami/istriLynne Cheney (1964-sekarang)PekerjaanPengusahaTanda tanganSunting kotak info • L • B Richard Bruce Cheney (/ˈtʃeɪni/ CHAYN-ee; lahir 30 Januari 1941) adalah seorang pengusaha dan pol…

Versão em preto e brancoVersão em cores O Selo Nacional é um dos quatro símbolos oficiais da República Federativa do Brasil, conforme estabelece a Lei 5 700, de 1º de setembro de 1971 e a Constituição Federal em seu artigo 13, parágrafo primeiro. Os outros símbolos da República são a Bandeira Nacional, o Hino Nacional e o Brasão de Armas.[1][2] Histórico Um selo nacional de 1871 Período Imperial O uso de selo em documentos oficiais derivam do Império do Brasil, em que se usava o …

Artículo principal: Inmigración en El Salvador Italianos en El Salvador Italiani in El Salvador (en italiano) Tano, Ítalo-salvadoreño. inmigrantes italianos en San Salvador, durante el siglo XX.Pueblo de origenLugar de origen  Italia (especialmente del Settentrione y el Mezzogiorno)Población censal 3.327 ciudadanos italianos (2021)[1]​Población estimada [cita requerida]CulturaIdiomas Español Salvadoreño, italianoReligiones Predomina el catolicismoPrincipales ase…

У этого термина существуют и другие значения, см. Красная Горка. ДостопримечательностьКрасная Горка 55°22′32″ с. ш. 86°04′18″ в. д.HGЯO Страна  Россия Местоположение Рудничный район Дата основания 1991 Статус  Объект культурного наследия народов РФ регионально…

This article is about the municipality in West Bengal, India. For the district, see Cooch Behar district. For the princely state, see Cooch Behar State. City in West Bengal, IndiaCooch Behar Koch BiharCityTop: Cooch Behar Palace, bottom: skyline of the city in 2018Nickname: City of kingsCooch BeharLocation in West Bengal, IndiaShow map of West BengalCooch BeharCooch Behar (India)Show map of IndiaCoordinates: 26°19′27.084″N 89°27′3.6″E / 26.32419000°N 89.451000°E&…

African American mathematician Walter Richard Talbot (1909-1977)[1] was the fourth African American to earn a Ph.D. in Mathematics (Geometric Group Theory) from the University of Pittsburgh[2] and Lincoln University's youngest Doctor of Philosophy.[3] He was a member of Sigma Xi[4] and Pi Tau Phi.[5] In 1969 Talbot co-founded the National Association of Mathematics (NAM) at Morgan State University,[6] the organization which, nine years later honore…

American musician Angel OlsenOlsen performing live at Rockefeller in Oslo, Norway, 2020Background informationBirth nameAngelina Marie Carroll[1][2]Born (1987-01-22) January 22, 1987 (age 36)St. Louis, Missouri, U.S.OriginChicago, Illinois, U.S.GenresArt pop[3][4]indie folk[5]indie rock[6]alternative country[7]Occupation(s)Singer-songwritermusicianrecord producerInstrument(s)VocalsguitarkeyboardsYears active2009–presentLabelsJagjaguwa…

Carl Johann Maximowicz Carl Johann MaximowiczInformación personalNacimiento 1827Tula, RusiaFallecimiento 1891San PetersburgoSepultura Smolensky Lutheran Nacionalidad rusoEducaciónEducado en Universidad de Tartu Información profesionalÁrea botánicoAbreviatura en botánica Maxim.Miembro de Academia de Ciencias de RusiaReal Academia de las Ciencias de SueciaAcademia Estadounidense de las Artes y las Ciencias Distinciones Miembro de la Academia Estadounidense de las Artes y las CienciasPremio D…

This article uses bare URLs, which are uninformative and vulnerable to link rot. Please consider converting them to full citations to ensure the article remains verifiable and maintains a consistent citation style. Several templates and tools are available to assist in formatting, such as reFill (documentation) and Citation bot (documentation). (August 2022) (Learn how and when to remove this template message) Aerial view of Shoppers World Danforth in 2022 Shoppers World Danforth as of 2009 The …

Kembali kehalaman sebelumnya

Lokasi Pengunjung: 44.202.90.91