在代數幾何 中,一條代數曲線 是一維的代數簇 。最典型的例子是射影平面
P
2
{\displaystyle \mathbb {P} ^{2}}
上由一個齊次多項式
f
(
X
,
Y
)
{\displaystyle f(X,Y)}
定義的零點。
仿射曲線
定義在域
F
{\displaystyle F}
上的仿射代數曲線可以看作是
F
n
{\displaystyle F^{n}}
中由若干個
n
{\displaystyle n}
-元多項式
g
i
∈ ∈ -->
F
[
x
1
,
… … -->
,
x
n
]
{\displaystyle g_{i}\in F[x_{1},\ldots ,x_{n}]}
定義的公共零點,使得其维数 為一。
利用結式 ,我們可以將變數消至兩個,並化約到與之雙有理等價 的平面代數曲線
f
(
x
,
y
)
=
0
{\displaystyle f(x,y)=0}
,其中
f
∈ ∈ -->
F
[
x
,
y
]
{\displaystyle f\in F[x,y]}
,因此在探討曲線的雙有理幾何時僅須考慮平面曲線。
射影曲線
射影空間 中的曲線可視作仿射曲線的緊化 ,它們帶有更好的幾何性質。在以上考慮的方程
g
i
=
0
{\displaystyle g_{i}=0}
(
i
=
1
,
… … -->
,
n
− − -->
1
{\displaystyle i=1,\ldots ,n-1}
)中,我們作代換:
g
i
(
x
1
,
… … -->
,
x
n
)
⟶ ⟶ -->
(
X
0
)
deg
-->
g
i
g
i
(
X
1
X
0
,
… … -->
,
X
n
X
0
)
{\displaystyle g_{i}(x_{1},\ldots ,x_{n})\longrightarrow (X_{0})^{\deg g_{i}}g_{i}\left({\frac {X_{1}}{X_{0}}},\ldots ,{\frac {X_{n}}{X_{0}}}\right)}
遂得到
n
− − -->
1
{\displaystyle n-1}
個齊次多項式,它們在射影空間
P
F
n
{\displaystyle \mathbb {P} _{F}^{n}}
中定義一條曲線,此射影曲線與開集
U
0
:=
{
(
X
0
:
⋯ ⋯ -->
:
X
n
)
|
X
0
≠ ≠ -->
0
}
{\displaystyle U_{0}:=\{(X_{0}:\cdots :X_{n})|X_{0}\neq 0\}}
的交集同構於原曲線。射影曲線的例子包括
P
Q
3
{\displaystyle \mathbb {P} _{\mathbb {Q} }^{3}}
中的費馬曲線
X
n
+
Y
n
+
Z
n
=
0
{\displaystyle X^{n}+Y^{n}+Z^{n}=0}
,其上的有理點對應到費馬方程
X
n
+
Y
n
=
Z
n
{\displaystyle X^{n}+Y^{n}=Z^{n}}
的互素整數解。
代數函數域
代數曲線之研究可化約為不可約 代數曲線之研究,後者的範疇在雙有理等價 之意義下等價於代數函數域 範疇 。域
F
{\displaystyle F}
上的函數域
K
{\displaystyle K}
是超越次數 為一的有限型域擴張,換言之:存在元素
x
∈ ∈ -->
K
{\displaystyle x\in K}
使得
x
{\displaystyle x}
在
F
{\displaystyle F}
上超越 ,而且
K
/
F
(
x
)
{\displaystyle K/F(x)}
是有限擴張 。
以複數域
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
為例,我們可以定義複係數有理函數 域
C
(
x
)
{\displaystyle \mathbb {C} (x)}
。變元
x
,
y
{\displaystyle x,y}
對代數關係
y
2
=
x
3
− − -->
x
− − -->
1
{\displaystyle y^{2}=x^{3}-x-1}
生成的域
C
(
x
,
y
)
{\displaystyle \mathbb {C} (x,y)}
是一個橢圓函數 域,代數曲線
{
(
x
,
y
)
∈ ∈ -->
C
2
:
y
2
=
x
3
− − -->
x
− − -->
1
}
{\displaystyle \{(x,y)\in \mathbb {C} ^{2}:y^{2}=x^{3}-x-1\}}
給出它的一個幾何模型。
若基域
F
{\displaystyle F}
非代數封閉域 ,則函數域無法只由多項式的零點描述,因為此時存在無點的曲線。例如可取實數域
F
:=
R
{\displaystyle F:=\mathbb {R} }
並考慮其上的代數曲線
x
2
+
y
2
+
1
=
0
{\displaystyle x^{2}+y^{2}+1=0}
,此方程定義了一個
R
[
x
]
{\displaystyle \mathbb {R} [x]}
的有限擴張,因而定義了一個函數域,然而
{
(
x
,
y
)
∈ ∈ -->
R
2
:
x
2
+
y
2
+
1
=
0
}
=
∅ ∅ -->
{\displaystyle \{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}:x^{2}+y^{2}+1=0\}=\emptyset }
代數封閉域 上的代數曲線可以用代數簇 完整地描述,對於一般的基域或者環 上的曲線論,概形論 能提供較合適的框架。
複代數曲線與黎曼曲面
複射影曲線可以嵌入
n
{\displaystyle n}
維複射影空間
C
P
n
{\displaystyle \mathbb {C} P^{n}}
。複射影曲線在拓撲上為二維的對象,當曲線光滑時,它是個緊黎曼曲面 ,即一維的緊複流形 ,因而是可定向的二維緊流形 。這時該曲面的拓撲虧格 (直觀說就是曲面有幾個洞或把手)等同於曲線上由代數幾何學定義的虧格 。視這類曲線為黎曼曲面 ,則可以採複分析 手法加以研究。另一方面,黎曼 則證明了任何緊黎曼曲面都同構於一條複射影曲線。
於是我們有三個相互等價的範疇 :複數域上的不可約平滑射影曲線、緊黎曼曲面與
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
上的函數域。因此一維複分析 (包括位勢論 )、代數幾何 與域 論的方法此時能相互為用,這是高等數學裡很常見的現象。
奇點
判斷方式
曲線在一點
P
{\displaystyle P}
的平滑性可以用雅可比矩陣 判斷。以下考慮嵌於
P
n
{\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}
中的曲線:設該曲線由
n
− − -->
1
{\displaystyle n-1}
個
n
+
1
{\displaystyle n+1}
個變元的齊次多項式
g
1
,
… … -->
,
g
n
− − -->
1
{\displaystyle g_{1},\ldots ,g_{n-1}}
定義,若其雅可比矩陣
(
∂ ∂ -->
g
i
∂ ∂ -->
x
j
)
i
,
j
{\displaystyle \left({\frac {\partial g_{i}}{\partial x_{j}}}\right)_{i,j}}
在區線上一點
P
{\displaystyle P}
滿秩,則稱它
P
{\displaystyle P}
點光滑;反之則稱為奇點 。在一點的平滑性與多項式
g
1
,
… … -->
,
g
n
− − -->
1
{\displaystyle g_{1},\ldots ,g_{n-1}}
的選取無關,也與曲線的嵌入方式無關。
在平面射影曲線的例子,假設曲線
C
{\displaystyle C}
由齊次方程式
f
(
x
,
y
,
z
)
=
0
{\displaystyle f(x,y,z)=0}
定義,則
C
{\displaystyle C}
的奇點恰為
C
{\displaystyle C}
上使得
∇ ∇ -->
f
{\displaystyle \nabla f}
為零的點,即:
∂ ∂ -->
f
∂ ∂ -->
x
(
P
)
=
∂ ∂ -->
f
∂ ∂ -->
y
(
P
)
=
∂ ∂ -->
f
∂ ∂ -->
z
(
P
)
=
0
(
P
∈ ∈ -->
C
)
{\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}}(P)={\frac {\partial f}{\partial y}}(P)={\frac {\partial f}{\partial z}}(P)=0\quad (P\in C)}
在特徵非零的域上,一條代數曲線僅有有限個奇點;無奇點的曲線即平滑曲線 。奇點在雙有理映射下可能映為光滑點;事實上,奇點總是可藉著平面的拉開 映射或正規化 解消,由此得到的新平滑曲線仍雙有理等價於原曲線;然而對代數封閉域 上的射影曲線,其奇點總數則關係到曲線的幾何虧格 ,後者是個雙有理不變量。
奇點分類
x 3 = y 2
曲線的奇點 包括多重點 (這是曲線的自交點)及尖點 (如仿射曲線
x
3
=
y
2
{\displaystyle x^{3}=y^{2}}
之於原點
(
0
,
0
)
{\displaystyle (0,0)}
,見右圖)等等。一般來說,仿射平面曲線
f
(
x
,
y
)
=
0
{\displaystyle f(x,y)=0}
在一點
P
{\displaystyle P}
的奇點性質可以透過下述方式理解:
透過平移,不妨假設
P
=
(
0
,
0
)
{\displaystyle P=(0,0)}
。將多項式
f
(
x
,
y
)
{\displaystyle f(x,y)}
寫成
f
(
x
,
y
)
=
∑ ∑ -->
n
≥ ≥ -->
1
f
n
(
x
,
y
)
{\displaystyle f(x,y)=\sum _{n\geq 1}f_{n}(x,y)}
其中
f
n
(
x
,
y
)
{\displaystyle f_{n}(x,y)}
是
n
{\displaystyle n}
次齊次多項式 。直觀地想像,
f
(
x
,
y
)
=
0
{\displaystyle f(x,y)=0}
在原點附近的性狀僅決定於最低次的非零項,設之為
f
m
(
x
,
y
)
{\displaystyle f_{m}(x,y)}
。根據齊次性可以將之分解成
f
m
(
x
,
y
)
=
∏ ∏ -->
i
=
1
m
(
a
i
x
− − -->
b
i
y
)
{\displaystyle f_{m}(x,y)=\prod _{i=1}^{m}(a_{i}x-b_{i}y)}
換言之,曲線在原點附近將近似於
m
{\displaystyle m}
條(含重複)直線
a
i
x
− − -->
b
i
y
=
0
{\displaystyle a_{i}x-b_{i}y=0}
的聯集。上式中相異的直線數
r
{\displaystyle r}
稱作分支數 ,正整數
m
{\displaystyle m}
稱作平面曲線在該點的重數 ,此外還有一個內在的不變量
δ δ -->
P
:=
dim
-->
O
C
~ ~ -->
,
P
/
O
C
,
P
{\displaystyle \delta _{P}:=\dim {\mathcal {O}}_{{\tilde {C}},P}/{\mathcal {O}}_{C,P}}
,其中
C
~ ~ -->
→ → -->
C
{\displaystyle {\tilde {C}}\rightarrow C}
是該曲線的正規化 態射。資料[m, δ, r]能夠被用來分類奇點。例如一般尖點 對應到
[
2
,
1
,
1
]
{\displaystyle [2,1,1]}
,一般雙重點 對應到
[
2
,
1
,
2
]
{\displaystyle [2,1,2]}
,而一般n重點 則對應到
[
n
,
n
(
n
− − -->
1
)
2
,
n
]
{\displaystyle [n,{\frac {n(n-1)}{2}},n]}
。
各奇點的不變量δP 決定平面曲線
f
(
x
,
y
)
=
0
{\displaystyle f(x,y)=0}
的虧格:設
deg
-->
f
=
d
{\displaystyle \deg f=d}
,則有
g
=
1
2
(
d
− − -->
1
)
(
d
− − -->
2
)
− − -->
∑ ∑ -->
P
δ δ -->
P
,
{\displaystyle g={\frac {1}{2}}(d-1)(d-2)-\sum _{P}\delta _{P},}
對於在複數域上的平面曲線,John Milnor以拓撲方式定義了不變量μ,稱為Milnor數 :同樣假設
P
=
(
0
,
0
)
{\displaystyle P=(0,0)}
,在原點附近夠小的四維球
B
ϵ ϵ -->
:=
{
(
x
,
y
)
∈ ∈ -->
C
2
:
|
x
|
2
+
|
y
|
2
<
ϵ ϵ -->
}
{\displaystyle B_{\epsilon }:=\{(x,y)\in \mathbb {C} ^{2}:|x|^{2}+|y|^{2}<\epsilon \}}
內有
(
x
,
y
)
≠ ≠ -->
(
0
,
0
)
⇒ ⇒ -->
∇ ∇ -->
f
(
x
,
y
)
≠ ≠ -->
0
{\displaystyle (x,y)\neq (0,0)\Rightarrow \nabla f(x,y)\neq 0}
,此時有連續映射
∇ ∇ -->
f
(
x
,
y
)
:
B
ϵ ϵ -->
− − -->
{
(
0
,
0
)
}
→ → -->
B
ϵ ϵ -->
− − -->
{
(
0
,
0
)
}
{\displaystyle \nabla f(x,y):B_{\epsilon }-\{(0,0)\}\rightarrow B_{\epsilon }-\{(0,0)\}}
由於
B
ϵ ϵ -->
− − -->
{
(
0
,
0
)
}
{\displaystyle B_{\epsilon }-\{(0,0)\}}
同倫等價 於三維球面
S
3
{\displaystyle \mathbb {S} ^{3}}
,於是可定義μ為此映射的拓撲次數。μ與前述不變量的關係由下式表明:
μ μ -->
=
2
δ δ -->
− − -->
r
+
1
{\displaystyle \mu =2\delta -r+1}
事實上,
{
(
x
,
y
)
∈ ∈ -->
C
2
:
f
(
x
,
y
)
=
0
}
∩ ∩ -->
{
(
x
,
y
)
∈ ∈ -->
C
2
:
|
x
|
2
+
|
y
|
2
=
ϵ ϵ -->
}
{\displaystyle \{(x,y)\in \mathbb {C} ^{2}:f(x,y)=0\}\cap \{(x,y)\in \mathbb {C} ^{2}:|x|^{2}+|y|^{2}=\epsilon \}}
在ε夠小時是
{
(
x
,
y
)
∈ ∈ -->
C
2
:
|
x
|
2
+
|
y
|
2
=
ϵ ϵ -->
}
≅ ≅ -->
S
3
{\displaystyle \{(x,y)\in \mathbb {C} ^{2}:|x|^{2}+|y|^{2}=\epsilon \}\cong \mathbb {S} ^{3}}
中的一個環圈,稱作奇點環圈 ,它具有複雜的拓撲性質。例如:
x
3
=
y
2
{\displaystyle x^{3}=y^{2}}
在尖點附近的奇點環圈是三葉結 。
曲線的例子
有理曲線
域
F
{\displaystyle F}
上的有理曲線 是雙有理等價 於射影直線
P
F
1
{\displaystyle \mathbb {P} _{F}^{1}}
的曲線,換言之,其函數域同構於單變元有理函數域
F
(
t
)
{\displaystyle F(t)}
。當
F
{\displaystyle F}
代數封閉時,這也等價於該曲線之虧格為零,對一般的域則不然;實數域上由
x
2
+
y
2
+
1
=
0
{\displaystyle x^{2}+y^{2}+1=0}
給出的函數域虧格為零,而非有理函數域。
具體地說,一條有理曲線是能以有理函數參數化的曲線,例子請見條目有理正規曲線 。
任何
F
{\displaystyle F}
上有有理點的圓錐曲線 都是有理曲線。參數化的過程如下:過給定有理點
P
{\displaystyle P}
而斜率為
t
{\displaystyle t}
的直線交平面上一條二次曲線於兩點,就x坐標來說,交點的x坐標是一個二次多項式的根,其中一個屬於
F
{\displaystyle F}
的根已知,即
P
{\displaystyle P}
的x坐標;因此透過根與係數的關係得知另一根也屬於
F
{\displaystyle F}
,而且能表作
t
{\displaystyle t}
在
F
{\displaystyle F}
上的有理函數。y坐標的作法相同。
x 2 + xy + y 2 = 1
例 。考慮斜橢圓
E
:
x
2
+
x
y
+
y
2
=
1
{\displaystyle E:x^{2}+xy+y^{2}=1}
,其中
(
− − -->
1
,
0
)
{\displaystyle (-1,0)}
是有理點。畫一條過該點且斜率為t之直線
y
=
t
(
x
+
1
)
{\displaystyle y=t(x+1)}
,並帶入E的等式,於是得到:
x
=
1
− − -->
t
2
1
+
t
+
t
2
{\displaystyle x={\frac {1-t^{2}}{1+t+t^{2}}}}
。
y
=
t
(
x
+
1
)
=
t
(
t
+
2
)
1
+
t
+
t
2
{\displaystyle y=t(x+1)={\frac {t(t+2)}{1+t+t^{2}}}}
這就給出E的有理參數化,於是證明了E是有理曲線。
將此結果置於射影幾何的框架下,則能導出若干數論的結論。例如我們可在E中加入無窮遠點,得到射影曲線
X
2
+
X
Y
+
Y
2
=
Z
2
{\displaystyle X^{2}+XY+Y^{2}=Z^{2}\,\!}
以上參數化遂表為
X
=
1
− − -->
t
2
,
Y
=
t
(
t
+
2
)
,
Z
=
t
2
+
t
+
1
{\displaystyle X=1-t^{2},\quad Y=t(t+2),\quad Z=t^{2}+t+1\,\!}
若取
t
{\displaystyle t}
為整數,對應的
X
,
Y
,
Z
{\displaystyle X,Y,Z}
是不定方程
X
2
+
X
Y
+
Y
2
=
Z
2
{\displaystyle X^{2}+XY+Y^{2}=Z^{2}}
的整數解;若將
X
{\displaystyle X}
代以
− − -->
X
{\displaystyle -X}
,則此方程詮釋為θ=60°時的餘弦定理 ,藉此能描述所有一角為 60°且邊長均為整數的三角形,例如取
t
=
2
{\displaystyle t=2}
,就得到邊長分別為X=3, Y=8, Z=7的三角形。
橢圓曲線
橢圓曲線 可以定義為任意虧格等於一且給定一個有理點的代數曲線,它們都同構於平面上的三次曲線 。此時通常取無窮遠處的反曲點 為給定的有理點,這時該曲線可以寫作射影版本的Tate-魏爾施特拉斯 形式:
y
2
z
+
a
1
x
y
z
+
a
3
y
z
2
=
x
3
+
a
2
x
2
z
+
a
4
x
z
2
+
a
6
z
3
.
{\displaystyle y^{2}z+a_{1}xyz+a_{3}yz^{2}=x^{3}+a_{2}x^{2}z+a_{4}xz^{2}+a_{6}z^{3}.\,\!}
橢圓曲線帶有唯一的阿貝爾群 結構,使得給定有理點為單位元素,且加法為代數簇的態射,因而橢圓曲線構成一個阿貝爾簇 。在三次平面曲線的情形,三點和為零若且唯若它們共線。對於複數域上的橢圓曲線,此阿貝爾簇同構於
C
/
Λ Λ -->
{\displaystyle \mathbb {C} /\Lambda }
,其中的
Λ Λ -->
{\displaystyle \Lambda }
由相應的橢圓函數 給出。
虧格大於一的曲線
對虧格大於一的曲線,其性質與有理曲線與橢圓曲線有顯著不同。根據法爾廷斯定理 ,定義在數域上的這類曲線只有有限個有理點;若視為黎曼曲面 ,它們則帶有雙曲幾何 的結構。例子包括超橢圓曲線 、克萊因四次曲線 與一開始提到的費馬曲線 在
n
≥ ≥ -->
4
{\displaystyle n\geq 4}
的情形。
文獻
Egbert Brieskorn and Horst Knörrer, Plane Algebraic Curves , John Stillwell, trans., Birkhäuser, 1986
Claude Chevalley, Introduction to the Theory of Algebraic Functions of One Variable , American Mathematical Society, Mathematical Surveys Number VI, 1951
Hershel M. Farkas and Irwin Kra, Riemann Surfaces , Springer, 1980
Phillip A. Griffiths, Introduction to Algebraic Curves , Kuniko Weltin, trans., American Mathematical Society, Translation of Mathematical Monographs volume 70, 1985 revision
Robin Hartshorne, Algebraic Geometry , Springer, 1977
Shigeru Iitaka, Algebraic Geometry: An Introduction to the Birational Geometry of Algebraic Varieties , Springer, 1982
John Milnor, Singular Points of Complex Hypersurfaces , Princeton University Press, 1968
George Salmon, Higher Plane Curves , Third Edition, G. E. Stechert & Co., 1934
Jean-Pierre Serre, Algebraic Groups and Class Fields , Springer, 1988