三尖瓣线

三尖瓣线（tricuspoid）也稱為施泰纳曲線（Steiner curve），是有三個尖點的圆内螺线，是一個圓繞著直徑為其三倍的圓內側無滑動滾動時，圓上一點產生的一般旋轮线

三尖瓣线也可以指有三個頂點，之間用向內彎曲的曲線相連的封閉空間，因此三尖瓣线內的空間是非凸集合^[1]。

方程式

三尖瓣线可以用以下的參數方程表示：

x=(b-a)\cos(t)+a\cos \left({\frac {b-a}{a}}t\right)\,

y=(b-a)\sin(t)-a\sin \left({\frac {b-a}{a}}t\right)\,,

其中a是小圓的半徑，b是大圓（也就是小圓在其內側無滑動滾動）的半徑（此處b = 3a）。

在複變座標下可得

z=2ae^{it}+ae^{-2it}

上述的t可以消去，得到以下的笛卡爾座標下的方程

(x^{2}+y^{2})^{2}+18a^{2}(x^{2}+y^{2})-27a^{4}=8a(x^{3}-3xy^{2}),\,

因此三尖瓣线是四階的代數曲線，在極坐標下為

r^{4}+18a^{2}r^{2}-27a^{4}=8ar^{3}\cos 3\theta \,.

曲線有三個奇點，是對應 $t=0,\,\pm {\tfrac {2\pi }{3}}$ 的尖點。上述的參數式意味者曲線為有理曲線，也就表示其幾何虧格（英语：geometric genus）為零。

三尖瓣线的對偶曲線（英语：dual curve）為

x^{3}-x^{2}-(3x+1)y^{2}=0,\,

在原點有一個二重點，若進行一個虛軸上的旋轉y ↦ iy，曲線會變為下式，就可以看到其二重點

x^{3}-x^{2}+(3x+1)y^{2}=0\,

在實平面的原點上有二重點。

面積及周長

三尖瓣线的面積為 $2\pi a^{2}$ ，其中a為小圓的半徑，其面積是小圓面積的兩倍^[2]。

其周長為16a^[2]。

歷史

早在1599年時，伽利略·伽利莱及马兰·梅森就已開始研究常見的摆线，而奧勒·羅默在1674年研究齒輪的最佳外形時，也有用到摆线。李昂哈德·歐拉認為他是最早（1745年）將三尖瓣线應用在實際光學問題的人。

應用

三尖瓣线有應用在許多的數學領域中，舉例如下：

三維unistochastic（英语：unistochastic）矩陣複數特徵值的集合即為三尖瓣线。
SU(3)群裡所有酉矩阵的可能跡的集合會組成三尖瓣线。
二個三尖瓣线的交集會形成一群6階的複數Hadamard矩陣（英语：Complex Hadamard matrix）。
三角形的所有西姆松線的集合，其包絡線會是三尖瓣线。因為雅各布·施泰纳在1856年描述過此曲線的形狀及對稱性，因此此曲線稱為這稱為施泰纳三尖瓣线，^[3]。
三角形面積平分線的包絡線會是三尖瓣线，三個頂點是中線的中點。三尖瓣线的三邊是双曲线的弧^[4]^[1]。
三尖瓣线屬於掛谷集（英语：Kakeya set）中的掛谷針集合（Kakeya needle set，長度為1的針可以在其中旋轉360度），有科學家認為三尖瓣线是掛谷針問題（Kakeya needle problem，面積最小小的掛谷針集合）的解，後來發現不是。

参考资料

^ ^1.0 ^1.1 存档副本. [2017-10-24]. （原始内容存档于2017-11-21）.
^ ^2.0 ^2.1 Weisstein, Eric W. "Deltoid." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/Deltoid.html （页面存档备份，存于互联网档案馆）
^ Lockwood
^ Dunn, J. A., and Pretty, J. A., "Halving a triangle," Mathematical Gazette 56, May 1972, 105-108.

E. H. Lockwood. Chapter 8: The Deltoid. A Book of Curves. Cambridge University Press. 1961.
J. Dennis Lawrence. A catalog of special plane curves. Dover Publications. 1972: 131–134. ISBN 0-486-60288-5.
Wells D. The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Geometry. New York: Penguin Books. 1991: 52. ISBN 0-14-011813-6.
"Tricuspoid" at MacTutor's Famous Curves Index（页面存档备份，存于互联网档案馆）
"Deltoid" at MathCurve（页面存档备份，存于互联网档案馆）
Sokolov, D.D., Steiner curve, Hazewinkel, Michiel (编), 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4

Read other articles:

Robin Davis (sutradara)

Artikel ini sebatang kara, artinya tidak ada artikel lain yang memiliki pranala balik ke halaman ini.Bantulah menambah pranala ke artikel ini dari artikel yang berhubungan atau coba peralatan pencari pranala.Tag ini diberikan pada Desember 2023. Robin DavisLahir29 Maret 1943 (umur 80)Marseille, PrancisPekerjaanSutradara, penulis naskahTahun aktif1975-2006 Robin Davis (lahir 29 Maret 1943) adalah seorang sutradara dan penulis naskah asal Prancis. Ia menyutradarai 13 film antara 1975 ...

العلاقات الإكوادورية الإماراتية

العلاقات الإكوادورية الإماراتية الإكوادور الإمارات العربية المتحدة الإكوادور الإمارات العربية المتحدة تعديل مصدري - تعديل العلاقات الإكوادورية الإماراتية هي العلاقات الثنائية التي تجمع بين الإكوادور والإمارات العربية المتحدة.[1][2][3][4]...

Luiza Gega

Artikel ini sebatang kara, artinya tidak ada artikel lain yang memiliki pranala balik ke halaman ini.Bantulah menambah pranala ke artikel ini dari artikel yang berhubungan atau coba peralatan pencari pranala.Tag ini diberikan pada Desember 2022. Luiza GegaInformasi pribadiLahir5 November 1988 (umur 35)Dibër, AlbaniaTinggi159 m (521 ft 8 in)Berat45 kg (99 pon) (99 pon) OlahragaNegara AlbaniaOlahragaTrek dan lapanganLombaLari halang rintang 3000m Luiza Gega (...

Abad Tiongkok

Abad Tiongkok (Hanzi: 中国世纪) adalah sebuah neologisme yang mengklaim bahwa abad ke-21 akan didominasi oleh Republik Rakyat Tiongkok. Ini digunakan dalam pernyataan yang menyatakan bahwa ekonomi Republik Rakyat Tiongkok akan mengambil alih posisi ekonomi Amerika Serikat sebagai ekonomi terbesar dunia.[1][2] Referensi ^ China set to be largest economy. BBC News. 2006-05-22. ^ The Chinese Century. TIME Magazine. 2007-01-22. Diarsipkan dari versi asli tanggal 2009...

Первородный грех

Об экономическом термине см. Первородный грех (экономика). ХристианствоБиблия Ветхий Завет Новый Завет Евангелие Десять заповедей Нагорная проповедь Апокрифы Бог, Троица Бог Отец Иисус Христос Святой Дух История христианства Апостолы Хронология христианства Ран�...

Daftar Bupati Bojonegoro

Bupati BojonegoroLambang Kabupaten BojonegoroPetahanaAdriyanto, S.E., M.M., M.A., Ph.D.sejak 24 September 2023Masa jabatan5 tahunPejabat pertamaPangeran Mas ToemapelSitus webSitus Resmi Kabupaten Bojonegoro Berikut adalah Daftar Bupati Bojonegoro dari masa ke masa. No Bupati Mulai menjabat Akhir menjabat Prd. Ket. Wakil Bupati 1 Pangeran Mas Toemapel 1677 1705 1 — 2 Ki WirosentikoR. Tumenggung Surowidjojo 1705 1718 2 3 Ki SongkoR. Tumenggung Hario Matahun I 1718 1741 3 4 R. Tumenggung ...

Survivor 42

Season of television series Survivor 42Season 42Region 1 DVD coverPresented byJeff ProbstNo. of days26No. of castaways18WinnerMaryanne OketchRunner-upMike TurnerLocationMamanuca Islands, Fiji No. of episodes13ReleaseOriginal networkCBSOriginal releaseMarch 9 (2022-03-09) –May 25, 2022 (2022-05-25)Additional informationFilming datesMay 16 (2021-05-16) –June 10, 2021 (2021-06-10)Season chronology← PreviousSeason 41 Next →Season 43 List of episode...

Duško Tošić

Duško Tošić Duško Tošić ai tempi del Werder Brema. Nazionalità Jugoslavia Serbia e Montenegro (2003-2006) Serbia (dal 2006) Altezza 184 cm Peso 82 kg Calcio Ruolo Difensore Termine carriera 1º luglio 2021 Carriera Giovanili Proleter Zrenjanin-2002 OFK Belgrado Squadre di club1 2002-2006 OFK Belgrado80 (6)2006-2007 Sochaux40 (1)2007-2010 Werder Brema22 (0)2010 Portsmouth0 (0)2010→ QPR5 (0)2010-2011 Stella Rossa28 (2)2011-2012...

FIBA Women's Basketball World Cup

International women's basketball tournament For the men's tournament, see FIBA Basketball World Cup. FIBA Women's Basketball World CupCurrent season, competition or edition: 2026 FIBA Women's Basketball World CupSportBasketballFounded1953; 71 years ago (1953)First season1953No. of teams16CountryFIBA membersContinentFIBA (International)Most recentchampion(s) United States(11th title)Most titles United States(11 titles) The FIBA Women's Basketball World Cup, also...

Антитринитаризм

ХристианствоБиблия Ветхий Завет Новый Завет Евангелие Десять заповедей Нагорная проповедь Апокрифы Бог, Троица Бог Отец Иисус Христос Святой Дух История христианства Апостолы Хронология христианства Раннее христианство Гностическое христианство Вселенские соборы Н...

1st Cavalry Division Horse Cavalry Detachment

Ceremonial horse cavalry unit of the 1st Cavalry Division, US Army Horse Cavalry Detachment, 1st Cavalry DivisionActive1972 – PresentCountry United StatesBranch United States ArmyTypeCavalryRolePublic DutiesSize40Part of1st Cavalry DivisionGarrison/HQFort CavazosNickname(s)Horse Cavalry DetachmentMotto(s)Hot to Trot!Mascot(s)Doc Holliday (dog) [1]CommandersCurrentcommanderCaptain Michael C. GatesMilitary unit The Horse Cavalry Detachment, 1st Cavalry Division is a Uni...

Kuau-kerdil

Kuau kerdil Kuau-kerdil PalawanPolyplectron napoleonis Klasifikasi ilmiah Kerajaan: Animalia Filum: Chordata Kelas: Aves Ordo: Galliformes Famili: Phasianidae Genus: PolyplectronTemminck, 1813 Sinonim Polyplectrum (lapsus) Marga Polyplectron dari suku Phasianidae mencakup semua jenis kuau-kerdil. Hewan jantan memiliki variasi pola bulu yang menarik, sementara yang betina cenderung memiliki pola yang kurang bervariasi. Jenis-jenis Kuau-kerdil Palawan, Polyplectron napoleonis - dulu P. emphanu...

20 Ans

Artikel ini sebatang kara, artinya tidak ada artikel lain yang memiliki pranala balik ke halaman ini.Bantulah menambah pranala ke artikel ini dari artikel yang berhubungan atau coba peralatan pencari pranala.Tag ini diberikan pada Oktober 2016. 20 Ans (terjemahan Inggris: 20 tahun) adalah sebuah majalah bulanan Prancis untuk wanita muda. Didirikan tahun 1961. Diterbitkan oleh Excelsior hingga 2003, ketika diambil alih oleh Emap.[1] Pada bulan Juli 2006, sirkulasinya telah mencapai 250...

周處除三害 (電影)

周處除三害The Pig, The Snake and The Pigeon正式版海報基本资料导演黃精甫监制李烈黃江豐動作指導洪昰顥编剧黃精甫主演阮經天袁富華陳以文王淨李李仁謝瓊煖配乐盧律銘林孝親林思妤保卜摄影王金城剪辑黃精甫林雍益制片商一種態度電影股份有限公司片长134分鐘产地臺灣语言國語粵語台語上映及发行上映日期 2023年10月6日 (2023-10-06)（台灣） 2023年11月2日 (2023-11-02)（香�...

土库曼斯坦总统

土库曼斯坦总统土库曼斯坦国徽土库曼斯坦总统旗現任谢尔达尔·别尔德穆哈梅多夫自2022年3月19日官邸阿什哈巴德总统府（Oguzkhan Presidential Palace）機關所在地阿什哈巴德任命者直接选举任期7年，可连选连任首任萨帕尔穆拉特·尼亚佐夫设立1991年10月27日土库曼斯坦土库曼斯坦政府与政治国家政府土库曼斯坦宪法国旗国徽国歌立法機關（英语：National Council of Turkmenistan） ...

美国众议院

此條目需要补充更多来源。 (2021年7月4日)请协助補充多方面可靠来源以改善这篇条目，无法查证的内容可能會因為异议提出而被移除。致使用者：请搜索一下条目的标题（来源搜索：美国众议院 — 网页、新闻、书籍、学术、图像），以检查网络上是否存在该主题的更多可靠来源（判定指引）。美國眾議院 United States House of Representatives第118届美国国会众议院徽章众议院旗...

قائمة المناطق البيئية في الصحراء الغربية

يفتقر محتوى هذه المقالة إلى الاستشهاد بمصادر. فضلاً، ساهم في تطوير هذه المقالة من خلال إضافة مصادر موثوق بها. أي معلومات غير موثقة يمكن التشكيك بها وإزالتها. (يناير 2024) فيما يلي قائمة المناطق البيئية في الصحراء الغربية، وفقا للصندوق العالمي للطبيعة (WWF). المناطق البيئية الأر...

Філософія

Частина серії проФілософіяLeft to right: Plato, Kant, Nietzsche, Buddha, Confucius, AverroesПлатонКантНіцшеБуддаКонфуційАверроес Філософи Епістемологи Естетики Етики Логіки Метафізики Соціально-політичні філософи Традиції Аналітична Арістотелівська Африканська Близькосхідна іранська Буддій�...

83rd Infantry Division (Wehrmacht)

This article needs additional citations for verification. Please help improve this article by adding citations to reliable sources. Unsourced material may be challenged and removed.Find sources: 83rd Infantry Division Wehrmacht – news · newspapers · books · scholar · JSTOR (January 2016) (Learn how and when to remove this message) 83rd Infantry Division83. Infanterie-Division83. Infanterie Division Vehicle InsigniaActiveDecember 1939 – May 1945C...

عار الفسق

جزء من سلسلة مقالات حولالحقوق النسوية المرأة والأنثويةامرأة . أنوثة التاريخالاجتماعي: تاريخ المرأة . تاريخ نسوي . تاريخ الحركة النسوية . الجدول الزمني لحقوق المرأة حق الاقتراع: تصويت النساء . الجدول الزمني . نيوزيلندا . المملكة المتحدة . الولايات المتحدة موجات: الأولى . الثا�...

PROFILPELAJAR.COM