一条由滚动的圆所生成的摆线 在数学 中，摆线 （Cycloid）的定义为圆在一条直线上滚动时，圆边界上一定点所形成的轨迹。它是一般旋轮线 的一种，亦称圆滚线 。
摆线也是最速降线问题 和等时降落问题 的解。
摆线的研究最初开始于库萨的尼古拉 ，之后马兰·梅森 也有针对摆线的研究。1599年伽利略 为摆线命名。1634年吉勒斯·德·罗贝瓦勒 克里斯多佛·雷恩 也向人们指出摆线的长度是滾動圆的直径的四倍。在这一时期，伴随着许多发现，也出现了众多有关发现权的争议，甚至抹杀他人工作的现象，而因此摆线也被人们称作“几何学中的海伦”（The Helen of Geometers）。[ 1]
由半径为2的圆所生成的摆线 过原点半径为r的摆线参数方程为
x
=
r
(
t
− − -->
sin
-->
t
)
{\displaystyle x=r(t-\sin t)\,}
y
=
r
(
1
− − -->
cos
-->
t
)
{\displaystyle y=r(1-\cos t)\,}
在这里实参数t是在弧度制下，圆滚动的角度；摆线的第一道拱由参数t在(0, 2π)区间内的点组成。对每一个给出的t，圆心的坐标为(rt, r)。
通过替换解出t可以求的笛卡尔坐标方程 为
x
=
r
cos
− − -->
1
-->
(
1
− − -->
y
r
)
− − -->
y
(
2
r
− − -->
y
)
{\displaystyle x=r\cos ^{-1}\left(1-{\frac {y}{r}}\right)-{\sqrt {y(2r-y)}}}
也可寫成
cos
(
|
x
|
+
y
(
2
r
− − -->
y
)
r
)
+
y
r
=
1
{\displaystyle \cos \!\left({\frac {|x|+{\sqrt {y(2r-y)}}}{r}}\right)+{\frac {y}{r}}=1}
摆线也满足下面的微分方程 。
(
d
y
d
x
)
2
=
2
r
− − -->
y
y
.
{\displaystyle \left({\frac {dy}{dx}}\right)^{2}={\frac {2r-y}{y}}.}
一条由半径为r的圆所生成的拱形面积可以由下面的参数方程界定：
x
=
r
(
t
− − -->
sin
-->
t
)
,
{\displaystyle x=r(t-\sin t),\,}
y
=
r
(
1
− − -->
cos
-->
t
)
,
{\displaystyle y=r(1-\cos t),\,}
0
≤ ≤ -->
t
≤ ≤ -->
2
π π -->
.
{\displaystyle 0\leq t\leq 2\pi .\,}
微分，
d
x
d
t
=
r
(
1
− − -->
cos
-->
t
)
,
{\displaystyle {\frac {dx}{dt}}=r(1-\cos t),}
于是可以求得
A
=
∫ ∫ -->
x
=
0
x
=
2
π π -->
r
y
d
x
=
∫ ∫ -->
t
=
0
t
=
2
π π -->
r
2
(
1
− − -->
cos
-->
t
)
2
d
t
=
r
2
(
3
2
t
− − -->
2
sin
-->
t
+
1
2
cos
-->
t
sin
-->
t
)
|
t
=
0
t
=
2
π π -->
=
3
π π -->
r
2
.
{\displaystyle {\begin{aligned}A&=\int _{x=0}^{x=2\pi r}y\,dx=\int _{t=0}^{t=2\pi }r^{2}(1-\cos t)^{2}\,dt\\&=\left.r^{2}\left({\frac {3}{2}}t-2\sin t+{\frac {1}{2}}\cos t\sin t\right)\right|_{t=0}^{t=2\pi }\\&=3\pi r^{2}.\end{aligned}}}
弧形的长度可以由下面的式子计算出：
S
=
∫ ∫ -->
t
=
0
t
=
2
π π -->
(
d
y
d
t
)
2
+
(
d
x
d
t
)
2
d
t
=
∫ ∫ -->
t
=
0
t
=
2
π π -->
2
r
sin
-->
(
t
2
)
d
t
=
8
r
.
{\displaystyle {\begin{aligned}S&=\int _{t=0}^{t=2\pi }{\sqrt {\left({\frac {dy}{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {dx}{dt}}\right)^{2}}}\,dt\\&=\int _{t=0}^{t=2\pi }2r\sin \left({\frac {t}{2}}\right)\,dt\\&=8r.\end{aligned}}}
一些曲线同摆线紧密相关。当我们弱化定点只能固定在圆边界上时，我们得到了短擺線（curtate cycloid）和長擺線（prolate cycloid），兩者合稱為次擺線 （trochoid），前面的情形是定点在圆的内部，后者则是在圆外。次摆线则是上述三种曲线的统称。更进一步，如果我们让圆也沿着一个圆滚动而不是直线的话，我们会得到外摆线 （epicycloid，沿着圆的外部运动，定点在圆的边缘），内摆线 （hypocycloid，沿着圆内部滚动，定点在圆的边缘）以及外旋轮线 （epitrochoid）和内旋轮线 （hypotrochoid，定点可以在圆内的任一点包括边界。）
Cycloidal arches at the Kimbell Art Museum 在建筑物的设计方面，摆线曾被路易·卡恩 用来设计德克萨斯州沃思堡的建筑金贝尔艺术博物馆
^ 卡乔里, 弗洛里安 . 数学史. 纽约: 切尔西. 1999: 177. ISBN 978-0821821022
Wells D. The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Geometry. New York: Penguin Books. 1991: 445–47. ISBN 0-14-011813-6
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