45度的3個同界角
在幾何學 中,同界角 (英語:Coterminal angles )是指兩個有向角 (有標示起始邊與終邊的角)有著各自的角度量值(其量值可能相等),且共用同一對起始邊與終邊,即共享相同始邊和終邊的角度,但擁有不同的旋轉 量,就稱為同界角 [ 1] 。同界角擁有相同的三角函數 值,因此三角函數具有周期性 。每個角皆有無限多 個同界角 ,其量值可以為負 ,但必須是一個實數 。
性質
正轉 和逆轉 都可以得到相同的角 ,但他們擁有不同的旋轉量,圖中為45度和─ 315度
每個同界角皆差360度 ,換句話說,每360度就會出現一個同界角[ 2] 。每個同界角兩邊的向量 內積 與外積 皆有相同的值。此外,任何角都可以找到最小正同界角 和最大負同界角 。
同界角可以如下定義:
若有兩個角有相同的始邊 與終邊,則兩個角互為同界角
若兩角相差360度的整數 倍則兩個角互為同界角
同界角存在關係式:
θ θ -->
1
− − -->
θ θ -->
2
=
360
∘ ∘ -->
k
,
k
∈ ∈ -->
Z
{\displaystyle \theta _{1}-\theta _{2}=360^{\circ }k,\,k\in \mathbb {Z} }
亦可寫為:
θ θ -->
1
− − -->
θ θ -->
2
=
2
k
π π -->
,
k
∈ ∈ -->
Z
{\displaystyle \theta _{1}-\theta _{2}=2k\pi ,\,k\in \mathbb {Z} }
或:
sin
-->
θ θ -->
1
− − -->
sin
-->
θ θ -->
2
=
0
{\displaystyle \sin \theta _{1}-\sin \theta _{2}=0}
cos
-->
θ θ -->
1
− − -->
cos
-->
θ θ -->
2
=
0
{\displaystyle \cos \theta _{1}-\cos \theta _{2}=0}
與三角函數關係
從三角函數 的周期 可以發現,每間隔
2
π π -->
{\displaystyle 2\pi }
就會找到相同高度的點,該點即為同界角的三角函數值。
從反三角函數 圖形得知反餘弦 必得到最小正同界角 ,而反正弦 則有可能得到最小正同界角 或最大負同界角
從三角函數 的诱导公式 可以得知同界角的存在,下表指出,任何三角函數,只要位移為
2
π π -->
{\displaystyle 2\pi }
,就會得到相同的函數值,因此
θ θ -->
{\displaystyle \theta }
與
θ θ -->
+
2
π π -->
{\displaystyle \theta +2\pi }
互為同界角。
移位
π π -->
2
{\displaystyle {\frac {\pi }{2}}}
移位
π π -->
{\displaystyle \pi }
tan
{\displaystyle \tan }
和
cot
{\displaystyle \cot }
的周期
移位
2
π π -->
{\displaystyle 2\pi }
sin
{\displaystyle \sin }
、
cos
{\displaystyle \cos }
、
csc
{\displaystyle \csc }
和
sec
{\displaystyle \sec }
的周期
sin
-->
(
θ θ -->
+
π π -->
2
)
=
+
cos
-->
θ θ -->
cos
-->
(
θ θ -->
+
π π -->
2
)
=
− − -->
sin
-->
θ θ -->
tan
-->
(
θ θ -->
+
π π -->
2
)
=
− − -->
cot
-->
θ θ -->
cot
-->
(
θ θ -->
+
π π -->
2
)
=
− − -->
tan
-->
θ θ -->
sec
-->
(
θ θ -->
+
π π -->
2
)
=
− − -->
csc
-->
θ θ -->
csc
-->
(
θ θ -->
+
π π -->
2
)
=
+
sec
-->
θ θ -->
{\displaystyle {\begin{aligned}\sin(\theta +{\tfrac {\pi }{2}})&=+\cos \theta \\\cos(\theta +{\tfrac {\pi }{2}})&=-\sin \theta \\\tan(\theta +{\tfrac {\pi }{2}})&=-\cot \theta \\\cot(\theta +{\tfrac {\pi }{2}})&=-\tan \theta \\\sec(\theta +{\tfrac {\pi }{2}})&=-\csc \theta \\\csc(\theta +{\tfrac {\pi }{2}})&=+\sec \theta \end{aligned}}}
sin
-->
(
θ θ -->
+
π π -->
)
=
− − -->
sin
-->
θ θ -->
cos
-->
(
θ θ -->
+
π π -->
)
=
− − -->
cos
-->
θ θ -->
tan
-->
(
θ θ -->
+
π π -->
)
=
+
tan
-->
θ θ -->
cot
-->
(
θ θ -->
+
π π -->
)
=
+
cot
-->
θ θ -->
sec
-->
(
θ θ -->
+
π π -->
)
=
− − -->
sec
-->
θ θ -->
csc
-->
(
θ θ -->
+
π π -->
)
=
− − -->
csc
-->
θ θ -->
{\displaystyle {\begin{aligned}\sin(\theta +\pi )&=-\sin \theta \\\cos(\theta +\pi )&=-\cos \theta \\\tan(\theta +\pi )&=+\tan \theta \\\cot(\theta +\pi )&=+\cot \theta \\\sec(\theta +\pi )&=-\sec \theta \\\csc(\theta +\pi )&=-\csc \theta \end{aligned}}}
sin
-->
(
θ θ -->
+
2
π π -->
)
=
+
sin
-->
θ θ -->
cos
-->
(
θ θ -->
+
2
π π -->
)
=
+
cos
-->
θ θ -->
tan
-->
(
θ θ -->
+
2
π π -->
)
=
+
tan
-->
θ θ -->
cot
-->
(
θ θ -->
+
2
π π -->
)
=
+
cot
-->
θ θ -->
sec
-->
(
θ θ -->
+
2
π π -->
)
=
+
sec
-->
θ θ -->
csc
-->
(
θ θ -->
+
2
π π -->
)
=
+
csc
-->
θ θ -->
{\displaystyle {\begin{aligned}\sin(\theta +2\pi )&=+\sin \theta \\\cos(\theta +2\pi )&=+\cos \theta \\\tan(\theta +2\pi )&=+\tan \theta \\\cot(\theta +2\pi )&=+\cot \theta \\\sec(\theta +2\pi )&=+\sec \theta \\\csc(\theta +2\pi )&=+\csc \theta \end{aligned}}}
另外,從簡單的三角方程中,也可以找到同界角,例如:
考慮方程
cos
-->
(
θ θ -->
)
=
k
,
θ θ -->
{\displaystyle \cos(\theta )=k\,,\,\theta }
有無限多組解,其中
arccos
-->
(
k
)
{\displaystyle \arccos(k)}
為一個解且為最小正同界角 ,其餘解皆與
arccos
-->
(
k
)
{\displaystyle \arccos(k)}
或是-
arccos
-->
(
k
)
{\displaystyle \arccos(k)}
互為同界角。
但是有例外,如正切 和餘切 ,由於其週期 不為360度,如正切函數的周期為180 度 (即
π π -->
{\displaystyle \pi }
),因此相同的函數值未必互為同界角。
最小正同界角與最大負同界角
角的量與最小正同界角(黃)與最大負同界角(藍)的關係
同界角通常有無窮多個,因此在計算一些角度或三角函數抑或是一些週期函數的解時,會取最接近零的同界角。這類同界角又可以再分成最小正同界角與最大負同界角。其中,最小正同界角恆為正, 通常解某些具週期性的方程的主值時,是使用最小正同界角。最小正同界角 在0到
2
π π -->
{\displaystyle 2\pi }
(360度)之間的最小正同界角與原始角相同,當原始角為
2
π π -->
{\displaystyle 2\pi }
(360度)或
2
π π -->
{\displaystyle 2\pi }
(360度)的倍數時,最小正同界角為零;最大負同界角恆為負,在
− − -->
2
π π -->
{\displaystyle -2\pi }
(負360度)到0之間的最大負同界角與原始角相同。
參見
參考文獻
^ Neal, Karla V.; R. David Gustafson, Jeffrey D. Hughes. Coterminal angles . Precalculus, 1st ed.. Cengage Learning. : 第412頁. ISBN 1133712673 . (原始内容存档 于2019-10-18).
^ Slavin, Steve; Ginny Crisonino. Circle . Wiley Self-Teaching Guides第 155 卷. John Wiley & Sons. 2004-10-28: 第90頁. ISBN 0471680192 . (原始内容存档 于2019-11-06).