卡漢常數
卡漢常數 卡漢常數 種類 無理數 超越數 符號
C
{\displaystyle C}
位數 數列編號 A118227 連分數 [0;1,1,1,4,9,196,16641,...] 值
C
≈ ≈ -->
{\displaystyle C\approx }
無窮級數
C
=
∑ ∑ -->
i
=
0
∞ ∞ -->
(
− − -->
1
)
i
s
i
− − -->
1
{\displaystyle C=\sum _{i=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{i}}{s_{i}-1}}}
二进制 0.10100100 1011 0110 1000 1101 … 十进制 0.64341054 6288 3380 2618 2254 … 十六进制 0.A4B68DB6 35BC 6672 5E4C 48FA …
卡漢常數 （英語：Cahen's constant ）是一個用正負號交替的無窮級數 定義的常數，级数的各項是單位分數 ，分母為西爾維斯特數列 的各項減1：
C
=
∑ ∑ -->
(
− − -->
1
)
i
s
i
− − -->
1
=
1
1
− − -->
1
2
+
1
6
− − -->
1
42
+
1
1806
− − -->
⋯ ⋯ -->
≈ ≈ -->
0.64341054629.
{\displaystyle C=\sum {\frac {(-1)^{i}}{s_{i}-1}}={\frac {1}{1}}-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{6}}-{\frac {1}{42}}+{\frac {1}{1806}}-\cdots \approx 0.64341054629.}
若二項二項的考慮上述級數，可以將卡漢常數視為由西爾維斯特數列 偶數項為分母的正單位分數 形成的級數，卡漢常數的數列為其古埃及分數 的貪心法 分解：
C
=
∑ ∑ -->
1
s
2
i
=
1
2
+
1
7
+
1
1807
+
1
10650056950807
+
⋯ ⋯ -->
{\displaystyle C=\sum {\frac {1}{s_{2i}}}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{1807}}+{\frac {1}{10650056950807}}+\cdots }
此常數是由尤金·卡漢（Eugène Cahen）定義，也稱為卡漢-梅林積分（Cahen-Mellin integral），他最早觀察到此一級數(Cahen 1891 )。
卡漢常數已知是超越數 ，其著名之處是它是自然出現的超越數中，少數可以求得完整连分数 展開的數，若定義以下數列
1, 1, 2, 3, 14, 129, 25298, 420984147, ... （OEIS 數列A006279 ） 定義方式是由以下的遞迴關係式
q
n
+
2
=
q
n
2
q
n
+
1
+
q
n
{\displaystyle q_{n+2}=q_{n}^{2}q_{n+1}+q_{n}}
則卡漢常數的连分数展開可以表示如下：
[
0
,
1
,
q
0
2
,
q
1
2
,
q
2
2
,
… … -->
]
{\displaystyle [0,1,q_{0}^{2},q_{1}^{2},q_{2}^{2},\ldots ]}
Davison和Jeffrey Shallit曾用上述的連分數展開證明卡漢常數是超越數。
(Davison & Shallit 1991 ).
Cahen, Eugène, Note sur un développement des quantités numériques, qui présente quelque analogie avec celui en fractions continues, Nouvelles Annales de Mathématiques, 1891, 10 : 508–514 Davison, J. Les; Shallit, Jeffrey O., Continued fractions for some alternating series, Monatshefte für Mathematik, 1991, 111 (2): 119–126, doi:10.1007/BF01332350
![{\displaystyle [0,1,q_{0}^{2},q_{1}^{2},q_{2}^{2},\ldots ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c54801414e8076b8be7218de5aa4e3edca513ae4)
