N ⊆ ⊆ --> Z ⊆ ⊆ --> Q ⊆ ⊆ --> R ⊆ ⊆ --> C {\displaystyle \mathbb {N} \subseteq \mathbb {Z} \subseteq \mathbb {Q} \subseteq \mathbb {R} \subseteq \mathbb {C} }
正數 R + {\displaystyle \mathbb {R} ^{+}} 自然数 N {\displaystyle \mathbb {N} } 正整數 Z + {\displaystyle \mathbb {Z} ^{+}} 小数 有限小数 无限小数 循环小数 有理数 Q {\displaystyle \mathbb {Q} } 代數數 A {\displaystyle \mathbb {A} } 实数 R {\displaystyle \mathbb {R} } 複數 C {\displaystyle \mathbb {C} } 高斯整數 Z [ i ] {\displaystyle \mathbb {Z} [i]}
负数 R − − --> {\displaystyle \mathbb {R} ^{-}} 整数 Z {\displaystyle \mathbb {Z} } 负整數 Z − − --> {\displaystyle \mathbb {Z} ^{-}} 分數 單位分數 二进分数 規矩數 無理數 超越數 虚数 I {\displaystyle \mathbb {I} } 二次無理數 艾森斯坦整数 Z [ ω ω --> ] {\displaystyle \mathbb {Z} [\omega ]}
二元数 四元數 H {\displaystyle \mathbb {H} } 八元数 O {\displaystyle \mathbb {O} } 十六元數 S {\displaystyle \mathbb {S} } 超實數 ∗ ∗ --> R {\displaystyle ^{*}\mathbb {R} } 大實數 上超實數
雙曲複數 雙複數 複四元數 共四元數(英语:Dual quaternion) 超复数 超數 超現實數
質數 P {\displaystyle \mathbb {P} } 可計算數 基數 阿列夫數 同餘 整數數列 公稱值
規矩數 可定义数 序数 超限数 p進數 数学常数
圓周率 π π --> = 3.14159265 {\displaystyle \pi =3.14159265} … 自然對數的底 e = 2.718281828 {\displaystyle e=2.718281828} … 虛數單位 i = − − --> 1 {\displaystyle i={\sqrt {-{1}}}} 無限大 ∞ ∞ --> {\displaystyle \infty }
e {\displaystyle e} ,作为數學常數,是自然對數函數的底數,亦称自然常数、自然底数,或是歐拉數(Euler's number),以瑞士數學家歐拉命名;還有個較少見的名字納皮爾常數,用來紀念蘇格蘭數學家約翰·納皮爾引進對數。它是一个无限不循环小数,數值約是(小數點後20位, A001113):
第一次提到常數 e {\displaystyle e} ,是約翰·納皮爾於1618年出版的對數著作附錄中的一張表。但它沒有記錄這常數,只有由它為底計算出的一張自然對數列表,通常認為是由威廉·奧特雷德製作。第一次把 e {\displaystyle e} 看為常數的是雅各布·伯努利,他嘗試計算下式的值:
上式代表把1與無窮小相加,再自乘無窮多次。
已知的第一次用到常數 e {\displaystyle e} ,是萊布尼茨於1690年和1691年給惠更斯的通信,以 b {\displaystyle b} 表示。1727年歐拉開始用 e {\displaystyle e} 來表示這常數;而 e {\displaystyle e} 第一次在出版物用到,是1736年歐拉的《力學》(Mechanica)。雖然往後年日有研究者用字母 c {\displaystyle c} 表示,但 e {\displaystyle e} 較常用,終於成為標準。
用 e {\displaystyle e} 表示的原因確實不明,但可能因為 e {\displaystyle e} 是指數函數(exponential)一字的首字母。另一看法則稱 a , b , c , d {\displaystyle a,b,c,d} 有其他經常用途,而 e {\displaystyle e} 是第一個可用字母。
就像圓周率 π π --> {\displaystyle \pi } 和虛數單位i, e {\displaystyle e} 是數學中最重要的常數之一。它有幾種等價定義,下面列出一部分。
這些定義可證明是等價的,请参见文章指数函数的特征描述(英语:Characterizations of the exponential function)。
很多增長或衰減過程都可以用指數函數模擬。指數函數 e x {\displaystyle e^{x}} 的重要性在於,唯独该函數(或其常數倍,即 x ↦ ↦ --> k e x {\displaystyle x\mapsto ke^{x}} ,其中 k {\displaystyle k} 為任意常數)與自身導數相等。即:
x {\displaystyle x} 為複數時依然成立,因此根據 sin --> x {\displaystyle \sin x} 及 cos --> x {\displaystyle \cos x} 的泰勒級數,得出在數學中一條稱為歐拉公式的重要等式:
當 x = π π --> {\displaystyle x=\pi } 的特例是歐拉恆等式:
此式被理查德·費曼稱為「歐拉的寶石」。
即棣莫弗公式。
就像以下的展開式:
證明 e {\displaystyle e} 是無理數可以用反證法。假設 e {\displaystyle e} 是有理數,則可以表示成 a b {\displaystyle {\frac {a}{b}}} ,其中 a , b {\displaystyle a,b} 為正整數。以 e {\displaystyle e} 的無窮級數展開式可以得出矛盾。
考慮數字
以下將推導出 x {\displaystyle x} 是小於1的正整數;由於不存在這樣的正整數,得出矛盾,所以得證 e {\displaystyle e} 是無理數。
但是0與1之間(不含0與1)不存在有整數,故原先假設矛盾,得出 e {\displaystyle e} 為無理數。
視 n {\displaystyle n} 為存在的數值,所以用二項式定理可證出:
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