次分圆域是多项式 的分裂域,因此是有理数域的伽罗瓦扩域。这个扩张的次数: 等于 ,其中 是欧拉函数。 的所有伽罗瓦共轭是,其中 a 遍历模 n的简化剩余系(所有与 n 互质的剩余类)。同样地, 次分圆域的伽罗瓦群同构于模 n 的乘法群 ,其元素为
与正多边形的联系
高斯最早在研究尺规作正多边形问题时涉及到了分圆域的理论。这个几何问题实际上可以被转化为伽罗瓦理论下的叙述:对什么样的n,n次分圆域可以通过若干次的二次扩张得到?高斯发现正十七边形是可以用尺规作出的。更一般地说,对于一个素数 p,正p边形可以用尺规作出当且仅当 p 为费马素数。
与费马最后定理的联系
研究费马最后定理时,一个很自然的思路是将 分解为 的形式,其中的n 是一个奇素数。这样得到的一次因式都是 n 次分圆域中的代数整数。如果在 n 次分圆域中算术基本定理成立,代数整数的素数分解是唯一的,那么可以通过它来确定方程是否有非平凡解。
然而,对于一般的 n,这个结论是错误的。但是,库默尔找到了一个绕过这个困难的办法。他引进了“理想数”的概念,作为对素数概念的改良。他将代数整数的素数分解不唯一的概念量化为类数:hp,并证明了如果 hp 不能被 p 整除(这样的 p 被称为正规素数),那么费马的猜想对于 n = p 是成立的。此外,他给出了库默尔准则来判断素数是否是正规的。运用这个准则,库默尔检验了100以下的素数,除了三个“不正规”的:37、59和67。