数论

數論（英語：number theory）是纯粹数学的分支之一，主要研究整数的性質，被稱為「最純」的數學領域。

简介

數學是科學的皇后，數論是數學的皇后。^[1]^{[註 1]}
——卡尔·弗里德里希·高斯

正整数按乘法性质划分，可以分成質数、合数、1，質数產生了很多一般人能理解卻又懸而未解的問題，如哥德巴赫猜想、孿生質數猜想等。即，很多問題虽然形式上十分初等，事实上却要用到许多艰深的数学知识。这一领域的研究从某种意义上推动了数学的发展，催生了大量的新思想和新方法。數論除了研究整數及質數外，也研究一些由整數衍生的數（如有理數）或是一些廣義的整數（如代數整數）。

整数可以是方程式的解（丟番圖方程）。有些解析函數（如黎曼ζ函數）中包括了一些整數、質數的性質，透過這些函數也可以了解一些數論的問題。透過數論也可以建立實數和有理數之間的關係，並且用有理數來逼近實數（丟番圖逼近）。

历史

古代

數論早期也稱為「算術」（arithmetic）^{[註 2]}，而算術一詞則表示「基本運算」^{[註 3]}^[3]，在现代数论诞生前，早期铺垫有三大内容：

欧几里得证明质数无穷多。
寻找质数的埃拉托斯特尼筛法；欧几里得求最大公约数的辗转相除法。
公元420至589年（中国南北朝时期）的孙子定理。

中世纪

在中世紀早期，除了1175年至1200年住在北非和君士坦丁堡的数学家斐波那契有關等差数列的研究外，西欧在數論上沒有什麼進展。

中世纪数论主要是指15-16世纪由费马、梅森、欧拉、高斯、勒让德、黎曼、希尔伯特等人发展的数论。最早是在文藝復興的末期，對於古希臘著作的重新研究。主要的成因是因為丟番圖的《算術》（Arithmetica）一書的校正及翻譯為拉丁文，早在1575年Xylander曾試圖翻譯，但不成功，後來才由Bachet在1621年翻譯完成。

近代

費馬

皮埃爾·德·費馬（1601–1665）沒有著作出版，他在數論上的貢獻幾乎都在他寫給其他數學家的信上，以及書旁的空白處^[4]。費馬的貢獻幾乎沒有數論上的證明^[5]，不過費馬重覆的使用數學歸納法，並引入无穷递降法。

費馬最早的興趣是在完全數及相亲数，因此開始研究整數因數，這也開始1636年之後的數學研究，也接觸到當時的數學社群^[6]。他已在1643年研讀過巴歇（英语：Claude Gaspard Bachet de Méziriac）版本的丟番圖著作，他的興趣開始轉向丟番圖方程和平方數的和^[7]。

費馬在數論上的貢獻有：

費馬小定理 (1640)^[8]，若 $a$ 不是質數 $p$ 的倍數，則 $a^{p-1}\equiv 1{\pmod {p}}.$
若 $a$ 和 $b$ 互質，則 $a^{2}+b^{2}$ 無法被任何除4後同餘-1的質數整除^[9]，而且每個除4後同餘1的質數都可以表示為 $a^{2}+b^{2}$ .^[10]，這二個是在1640年證明的，在1649年他在寫給惠更斯的信上提到他用无穷递降法證明的第二個問題^[11]，費馬和福蘭尼可（英语：Frenicle）在其他平方形式上也有一些貢獻，不過其中有些錯誤及不嚴謹之處^[12]。
向英國的數學家提出了求解 $x^{2}-Ny^{2}=1$ 的挑戰（1657年），但在幾個月後就由Wallis及Brouncker證明^[13]。費馬認為他們的證明有效，但用了一個在其中未經證明的演算法，費馬自己是由无穷递降法找到證明。
發展許多找亏格0或1曲線上點的方法，作法類似丟番圖，有許多特殊的步驟，使用了切線法構建曲線，而不是用割線法^[14]。
證明 $x^{4}+y^{4}=z^{4}$ 不存在非尋常的正整數解。

費馬在1637年聲稱（費馬最後定理）證明了對於大於2的任意整數 $n$ ，不存在 $x^{n}+y^{n}=z^{n}$ 的非尋常的正整數解（目前已知唯一的证明是由數學家安德魯·懷爾斯及其學生理查·泰勒于1994年完成的證明），但只在一本丟番圖著作的旁邊寫到，而且他沒有向別人宣稱他已有了證明^[15]。

歐拉

歐拉（1707–1783）對數論的興趣最早是由他的朋友哥德巴赫所引發，讓他開始專注在費馬的一些研究上^[16]^[17]，在費馬沒有使當代的數學家注意此一主題後，歐拉的出現稱為「現代數論的重生」^[18]。歐拉數論的貢獻包括以下幾項^[19]：

費馬研究的證明，包括費馬小定理（歐拉延伸到非質數的模數），以及 $p=x^{2}+y^{2}$ 若且唯若 $p\equiv 1\;mod\;4$ ，這項研究可推導到所有整數都可以表示為四個平方數的證明（第一個完整證明是由約瑟夫·拉格朗日提出，費馬很快的也提出證明），和 $x^{4}+y^{4}=z^{2}$ 沒有非零整數解的證明，表示為費馬最後定理 $n=4$ 時成立，歐拉用類似方式證明了 $n=3$ 的情形。
佩爾方程，最早誤以為是歐拉證明^[20]，歐拉也寫了連分數和佩爾方程的關係^[21]。
二次式，繼費馬之後，歐拉繼續研究哪些質數可以表示為 $x^{2}+Ny^{2}$ ，其中有些顯示二次互反律的性質^[22] ^[23]^[24]。
丟番圖方程：歐拉研究一些虧格為0或1的丟番圖方程^[25]^[26]，特別的是他研讀丟番圖的著作，試圖要找到系統化的方法，但時機尚不成熟，幾何數論才剛形成而已^[27]。歐拉有注意到丟番圖方程和椭圆积分之間的關係^[27]。

分支

初等數論: 意指使用不超過高中程度的初等代數處理的數論問題，最主要的工具包括整數的整除性與同餘。重要的結論包括中國餘數定理、費馬小定理、二次互反律等等。

解析數論: 借助微積分及複分析的技術來研究關於整數的問題^[28]，主要又可以分為積性數論（英语：Multiplicative number theory）與加性數論兩類。積性數論藉由研究積性生成函數的性質來探討質數分佈的問題，其中質數定理與狄利克雷定理為這個領域中最著名的古典成果。加性數論則是研究整數的加法分解之可能性與表示的問題，華林問題是該領域最著名的課題。此外例如篩法、圓法等等都是屬於這個範疇的重要議題。
代數數論: 引申代數數的話題，關於代數整數的研究，主要的研究目標是為了更一般地解決不定方程的問題，而為了達到此目的，這個領域與代數幾何之間有相當關聯，比如類域論（class field theory）就是此間的顛峰之作。
算術代数幾何: 研究有理係數多變數方程組的有理點，其結構（主要是個數）和該方程組對應的代數簇的幾何性質之間的關係，有名的費馬最後定理、莫德爾猜想（法爾廷斯定理）、Weil猜想（英语：Weil conjectures）以及千禧年大獎難題中的貝赫和斯維訥通-戴爾猜想都屬此類。
幾何数论: 主要在於透過幾何觀點研究整數（在此即格子點）的分佈情形。最著名的定理為闵可夫斯基定理。
計算数论: 借助電腦的算法幫助數論的問題，例如素數測試和因數分解等和密碼學息息相關的話題。
超越数论: 研究數的超越性，其中對於歐拉常數與特定的黎曼ζ函數值之研究尤其令人感到興趣。
組合数论: 利用組合和機率的技巧，非構造性地證明某些無法用初等方式處理的複雜結論。這是由保罗·埃尔德什開創的思路。
模形式: 數學上一個滿足一些泛函方程與增長條件、在上半平面上的（複）解析函數。

應用

注释

^ 德语原文“Die Mathematik ist die Königin der Wissenschaften, und die Arithmetik ist die Königin der Mathematik.”
^ 1952年時數學家哈罗德·达文波特（英语：Harold Davenport）仍用「高等算術」一詞來表示數論，戈弗雷·哈羅德·哈代和愛德華·梅特蘭·賴特在1938年寫《數論介紹》簡介時曾提到「我們曾考慮過將書名改為《算術介紹》，某方面而言是更合適的書名，但也容易讓讀者誤會其中的內容」^[2]
^ 不過在20世紀的後半，有部份數學家仍會用「算術」一詞來表示數論。到20世紀初，才開始使用數論的名稱

參考資料

^ The Queen of Mathematics. [2014-09-30]. （原始内容存档于2014-10-06）.
^ Apostol, Tom M. An introduction to the theory of numbers. (Review of Hardy & Wright.) Mathematical Reviews (MathSciNet) MR0568909. American Mathematical Society. n.d. [2013-05-06]. （原始内容存档于2012-07-31）.
^ Heath, Thomas L. A History of Greek Mathematics, Volume 1: From Thales to Euclid. Oxford: Clarendon Press. 1921 [2016-02-28].
^ Weil 1984，第45–46頁.
^ Weil 1984，第118頁，數論比其他數學領域容易出現這様的情形（說明在Mahoney 1994，第284頁）
^ Mahoney 1994，第48, 53–54頁
^ Weil 1984，第53頁.
^ Tannery & Henry 1891，Vol. II, p. 209, Letter XLVI from Fermat to Frenicle, 1640, cited in Weil 1984，第56頁
^ Tannery & Henry 1891，Vol. II, p. 204, cited in Weil 1984，第63頁
^ Tannery & Henry 1891，Vol. II, p. 213.
^ Tannery & Henry 1891，Vol. II, p. 423.
^ Weil 1984，第80, 91–92頁.
^ Weil 1984，第92頁.
^ Weil 1984，Ch. II, sect. XV and XVI.
^ Weil 1984，第104頁.
^ Weil 1984，第2, 172頁.
^ Varadarajan 2006，第9頁.
^ Weil 1984，第2頁 and Varadarajan 2006，第37頁
^ Varadarajan 2006，第39頁 and Weil 1984，第176–189頁
^ Weil 1984，第174頁
^ Weil 1984，第183頁.
^ Varadarajan 2006，第44–47頁.
^ Weil 1984，第177–179頁.
^ Edwards 1983，第285–291頁.
^ Varadarajan 2006，第55–56頁.
^ Weil 1984，第179–181頁.
^ ^27.0 ^27.1 Weil 1984，第181頁.
^ Apostol, Tom M., Introduction to analytic number theory, Undergraduate Texts in Mathematics, New York-Heidelberg: Springer-Verlag, 1976, ISBN 978-0-387-90163-3, MR 0434929, Zbl 0335.10001