狄利克雷定理
狄利克雷定理是狄利克雷于1837年发表的数论中关于质数在同余类中分布的定理:对于任意互质正整数对,模同余的质数集合相对质数集合的密度为。
定理内容
狄利克雷定理表明:
- 若 互质,则
- 其中,为欧拉函数,为质数计数函数,为模同余集合中小于的质数个数。
质数在同余类中的分布
狄利克雷定理揭示了质数在同余类中的分布。
形象地说,在模同余类中,除去不包含或仅包含有限个质数的同余集合,质数的分布是大致均匀的。
- 以为例:共有共个模同余集合,其中同余集合不包含或只含有限个质数,剩下的质数近乎等概率地分布在同余集合中:
- 在不大于的质数中,质数在中的比率分别为和;
- 在不大于的质数中,质数在中的比率分别为和;
- 在不大于的质数中,质数在中的比率分别为和。
- 以为例:共有共个模同余集合,其中同余集合不包含或只含有限个质数,剩下的质数近乎等概率地分布在同余集合中:
- 不大于的质数中,质数在中的比率分别为和;
- 在不大于的质数中,质数在中的比率分别为和;
- 在不大于的质数中,质数在中的比率分别为和;
相關定理
- 歐幾里得證明了有無限個質數,即有無限多個質數的形式如。
- 算術級數的質數定理:若互質,則有
- 。
其中φ是歐拉函數。取,可得一般的質數定理。
- 林尼克定理說明了級數中最小的質數的範圍:算術級數中最小的質數少於,其中和均為常數,但這兩個常數的最小值尚未找到。
- 柴伯塔瑞夫密度定理是在狄利克雷定理在伽羅瓦擴張的推廣。
歷史
歐拉曾以,來證明質數有無限個。約翰·彼得·狄利克雷得以靈感,借助證明來證明算術級數中有無限個質數。這個定理的證明中引入了狄利克雷L函數,應用了一些解析數學的技巧,是解析數論的重要里程碑。
推廣
這個定理的一些推廣形式,但是都還只是未被證明的猜想而已,並不是定理。
參考
- T. M. Apostol (1976). Introduction to Analytic Number Theory. Springer-Verlag. ISBN 0-387-90163-9. Chapter 7
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