Символ Шлефли описывает каждое правильное замощение n-сферы, евклидова и гиперболического пространства. Символ Шлефли описания n-мерного многогранника равным образом описывает мозаику (n-1)-сферы. Вдобавок, симметрия правильного многогранника или замощения выражается как группа Коксетера, которые Коксетер обозначал идентично символам Шлефли, за исключением разграничения квадратными скобками, и эта нотация называется нотацией Коксетера[англ.]. Другой связанный символ — диаграмма Коксетера — Дынкина, которая представляет группу симметрии (без помеченных кружком узлов) и правильные многогранники или замощения с обведённым кружком первым узлом. Например, куб имеет символ Шлефли {4,3}, с его октаэдральной симметрией[англ.] [4,3] или , представляется диаграммой Коксетера .
Правильные многогранники сгруппированы по размерности, а затем по форме — выпуклые, невыпуклые и бесконечные. Невыпуклые виды используют те же вершины, что и выпуклые, но имеют пересекающиеся фасеты (грани максимальной размерности = размерности пространства – 1). Бесконечные виды замощают евклидово пространство на единицу меньшей размерности.
Бесконечные формы можно расширить до замощения гиперболического пространства. Гиперболическое пространство подобно обычному пространству, но параллельные прямые с расстоянием расходятся. Это позволяет вершинным фигурам иметь отрицательные угловые дефекты. Например, в вершине может сходиться семь правильных треугольников, лежащих на плоскости. Это нельзя осуществить на обычной (евклидовой) плоскости, но можно сделать при некотором масштабе на гиперболической плоскости.
Многогранники, удовлетворяющие более общему определению и не имеющие простых символов Шлефли, включают правильные косые многогранники и бесконечноугольные правильные косые многогранники с неплоскими фасетами или вершинными фигурами.
Таблица показывает сводку правильных многогранников по размерностям.
Конечные
Евклидовы
Гиперболические
Соединения
Разм.
Выпук- лые
Звёзд- чатые
Косые
Выпук- лые
Компак- тные
Звёзд- чатые
Параком- пактные
Выпук- лые
Звёзд- чатые
1
1
0
0
1
0
0
0
0
0
2
∞
∞
∞
1
1
0
0
∞
∞
3
5
4
?
3
∞
∞
∞
5
0
4
6
10
?
1
4
0
11
26
20
5
3
0
?
3
5
4
2
0
0
6
3
0
?
1
0
0
5
0
0
7
3
0
?
1
0
0
0
3
0
8
3
0
?
1
0
0
0
6
0
9+
3
0
?
1
0
0
0
*
0
* 1, если размерность имеет вид 2k − 1; 2, если размерность является степенью двойки; 0 в противном случае.
Не существует правильных звёздчатых замощений в евклидовом пространстве любой размерности.
Одномерное пространство
Диаграмма Коксетера — Дынкина представляет зеркальные "плоскости" как узлы, и помещает кружок вокруг узла, если точка не лежит на плоскости. Отрезок, { }, — это точка p и зеркальный образ точки p, а также отрезок между ними.
Одномерный многогранник (1-многогранник) — это замкнутый отрезок, ограниченный двумя конечными точками. 1-многогранник является правильным по определению и представляется символом Шлефли { }[1][2] или диаграммой Коксетера с единственным помеченным кружком узлом, . Норман Джонсон дал им название дайтел и символ Шлефли { } [3].
Будучи тривиальным в качестве многогранника, дайтел возникает в качестве рёбер многоугольников и многогранников[4]. Он используется в определении однородных призм (как в символе Шлефли { }×{p}) или в диаграмме Коксетера как прямое произведение отрезка и правильного многоугольника [5].
Двумерное пространство (многоугольники)
Двумерные многогранники называются многоугольниками. Правильные многоугольники имеют равные стороны и вписаны в окружность. Правильный p-угольник представляется символом Шлефли {p}.
Обычно только выпуклые многоугольники считаются правильными, но звёздчатые многоугольники наподобие пентаграммы можно также считать правильными. Они используют те же вершины, что и выпуклые формы, но соединение происходит другим путём, при котором окружность обходится более одного раза.
Звёздчатые многоугольники следует называть скорее невыпуклыми, чем вогнутыми, поскольку пересечение рёбер не образует новых вершин и все вершины находятся на окружности.
Правильный двуугольник {2} можно считать вырожденным правильным многоугольником. Он может существовать как невырожденный в некоторых неевклидовых пространствах, таких как поверхность сферы или тора.
Существует бесконечно много правильных звёздчатых многогранников в двумерном пространстве (т.е. многоугольников), символы Шлефли которых являются рациональными числами {n/m}. Они называются звёздчатыми многоугольниками и имеют то же самое расположение вершин[англ.], что и у выпуклого многоугольника.
В общем случае для любого натурального числа n и для всех m, таких, что m < n/2 и m, nвзаимно просты, существуют n-точечные правильные звёзды с символами Шлефли {n/m} (строго говоря, {n/m}={n/(n−m)}) .
Пример правильного пространственного зигзаг-многоугольника
Шестиугольник
Восьмиугольник
Десятиугольник
D3d, [2+,6]
D4d, [2+,8]
D5d, [2+,10]
{3}#{ }
{4}#{ }
{5}#{ }
{5/2}#{ }
{5/3}#{ }
В 4-мерном пространстве правильный пространственный многоугольник может иметь вершины на торе Клиффорда и связан с вращением Клиффорда[англ.]. В отличие от антипризматичных пространственных многоугольников, пространственные многоугольники двойного вращения могут иметь нечётное число сторон.
В трёхмерном пространстве правильный многогранник с символом Шлефли {p,q} и диаграммой Коксетера имеет правильные грани вида {p} и правильную вершинную фигуру {q}.
Вершинная фигура (многогранника) является многоугольником, получаемым соединением вершин, отстоящих на одно ребро от заданной вершины. Для правильных трёхмерных многогранников, эта вершинная фигура является всегда правильным (и планарным) многоугольником.
Существование правильного многогранника {p,q} ограничено неравенством, относящимся к угловому дефекту вершинной фигуры:
: Многогранник (существует в евклидовом 3-мерном пространстве)
: Евклидова плоская мозаика
: Замощение гиперболической плоскости
Перенумеровав перестановки, мы найдём 5 выпуклых форм, 4 звёздчатые формы и 3 плоских замощения, все с многоугольниками {p} и {q} из списка: {3}, {4}, {5}, {5/2} и {6}.
Вдобавок к мозаикам евклидова пространства существует бесконечное количество правильных гиперболических мозаик.
Как cферические мозаики эти звёздчатые формы перекрывают сферу несколько раз, что называется их плотностью. Для этих форм плотность равна 3 или 7. Рисунки мозаик показывают грани отдельных сферических многоугольников жёлтым цветом.
Для 4-мерных косых многогранников Коксетер предложил модифицированный символ Шлефли {l,m|n}, имеющих вершинную фигуру {l,m}, m l-угольников вокруг вершины с n-угольными дырами. Их вершинные фигуры являются пространственными многоугольниками, представляющими зигзаги между двумя плоскостями.
Для правильных косых многогранников, представленных символом {l,m|n}, выполняется равенство:
Вершинная фигура (4-мерного многогранника) является (3-мерным) многогранником, образованным соседними к данной вершине вершинами многогранника. Для правильных четырёхмерных многогранников эта вершинная фигура является правильным (3-мерным) многогранником.
Рёберной фигурой является многоугольник, образованный прилегающими к ребру гранями. Для правильных четырёхмерных многогранников рёберной фигурой всегда будет правильный многоугольник.
Существование правильных четырёхмерных многогранников ограничено существованием правильного многогранника . Для 4-мерных многогранников предлагается использовать название "полихор"[8][9]
Каждый вид может существовать в пространстве, зависящем от следующего выражения:
: Гиперсферические 3-мерные соты или 4-мерные многогранники
: евклидовы 3-мерные соты
: Гиперболические 3-мерные соты
Эти ограничения допустимы для 21 форм — 6 форм выпуклы, 10 не выпуклы, одна является евклидовыми 3-мерными сотами и 4 являются гиперболическими сотами.
Эйлерова характеристика четырёхмерного многогранника вычисляется по формуле
и равна нулю для всех видов.
Правильные 4-мерные диэдры (2 фасеты = 3-мерные грани) включают: {3,3,2}, {3,4,2}, {4,3,2}, {5,3,2}, {3,5,2}, {p,2,2} и их двойственные4-мерные осоэдры (2 вершины): {2,3,3}, {2,4,3}, {2,3,4}, {2,3,5}, {2,5,3}, {2,2,p}. Многогранники вида {2,p,2} являются одновременно 4-мерными диэдрами и осоэдрами. Существуют также формы {p,2,q}, которые имеют диэдральные ячейки и осоэдральные вершинные фигуры.
Людвиг Шлефли нашёл четыре из них и отбросил остальные шесть, поскольку не позволял нарушение эйлеровой характеристики на ячейках или вершинных фигурах (F+V−E=2). Эдмунд Гесс (Edmund Hess, 1843–1903) завершил список в своей книге Einleitung in die Lehre von der Kugelteilung mit besonderer Berücksichtigung ihrer Anwendung auf die Theorie der Gleichflächigen und der gleicheckigen Polyeder ([3], 1883) (Введение в учение о замощении сферы с учётом теории равногранных и равноугольных многогранников) .
Существует 4 несостоявшихся правильных звёздчатых перестановок многогранников: {3,5/2,3}, {4,3,5/2}, {5/2,3,4}, {5/2,3,5/2}. Их ячейки и вершинные фигуры существует, но они не покрывают гиперсферу конечным числом представлений.
Размерность пять и выше
В пятимерном пространстве[англ.] правильные многогранники можно обозначить как , где является типом 4-грани, является типом ячейки, является типом 2-грани, является фигурой грани, является рёберной фигурой, а является вершинной фигурой.
Вершинная фигура (5-мерного многогранника) является 4-мерным многогранником, образованным вершинами, соседними с данной вершиной.
Рёберная фигура[англ.] (5-мерного многогранника) является многогранником, образованным гранями вокруг каждого ребра.
Фигура грани[англ.] (5-мерного многогранника) является многогранником, образованным ячейками вокруг каждой грани.
Правильный 5-мерный многогранник существует, только если и являются правильными четырёхмерными многогранниками.
В зависимости от значения
получим тип пространства
: Сферическое 4-мерное замощение или 5-мерный многогранник
: евклидово 4-мерное замощение
: Гиперболическое 4-мерное замощение
Из этих ограничений получаем 3 выпуклых многогранника, нуль невыпуклых многогранников, 3 4-мерных замощения и 5 гиперболических 4-мерных замощений. Не существует невыпуклых правильных многогранников в пятимерном пространстве и выше.
Выпуклые
В размерностях 5 и выше существует только три вида выпуклых правильных многогранников [10].
Существуют также несобственные случаи, в которых некоторые числа в символе Шлефли равны 2. Например, {p,q,r,...2} является несобственным правильным сферическим многогранником в случае, если {p,q,r...} является правильным сферическим многогранником, и {2,...p,q,r} является несобственным правильным сферическим многогранником, когда {...p,q,r} является правильным сферическим многогранником. Такие многогранники можно использовать как фасеты, дающие формы вида {p,q,...2...y,z}.
Не существует невыпуклых правильных многогранников в размерностях 5 и выше.
Правильные проективные многогранники
Проективный правильный (n+1)-многогранник существует, если исходное правильное n-сферическое замощение {p,q,...} центрально симметрично. Такие многогранники называются полу-{p,q,...}, и содержат вполовину меньше элементов. Коксетер даёт им символ {p,q,...}/2, в то время как Макмуллен пишет {p,q,...}h/2, где h — число Кокстера.[11]
Правильные многоугольники с чётным числом сторон имеют полу-2n-угольные проективные многоугольники, {2p}/2.
Правильные проективные многогранники в четырёхмерном пространстве
В 4-мерном пространстве 5 из 6 выпуклых правильных многогранников образуют проективные 4-мерные многогранники. 3 специальных случая — это полудвадцатичетырёхъячейник, полушестисотъячейник и полустодвадцатиячейник.
Бесконечногранник[англ.] — это многогранник, имеющий бесконечное число фасет. n-бесконечногранник — это n-мерный бесконечногранник: 2-бесконечногранник = бесконечноугольник (апейрогон), 3-бесконечногранник = бесконечногранник в трёхмерном пространстве и т.д.
Существует два главных геометрических класса бесконечногранников:[12]
Правильные соты в n-мерном пространстве, полностью заполняющие n-мерное пространство.
Прямой апейрогон — это правильное замощение прямой с разделением её на бесконечно много равных отрезков. Он имеет бесконечно много вершин и рёбер. Его символ Шлефли равен {∞}, а диаграмма Коксетера — .
......
Апейрогоны на гиперболической плоскости, среди которых наиболее заметен правильный апейрогон {∞}, могут иметь кривизну, наподобие конечных многоугольников на евклидовой плоскости, и иметь вершины, лежащие на орициклах или гиперциклах.
Правильные апейрогоны со сходимостью на бесконечности имеют символ {∞} и существуют на орициклах, хотя в общем случае они могут существовать на гиперциклах.
Выше показаны два гиперболических апейрогона на диске Пуанкаре. На правом рисунке показаны перпендикулярные прямые, разделяющие фундаментальные области, отстоящие на расстояние λ друг от друга.
Пространственные бесконечноугольники
Косые апейрогоны в двумерном пространстве (плоскости) образуют зигзаг. Если зигзаг симметричен и однороден, апейрогон правильный.
Косые апейрогоны можно построить в пространстве любой размерности. В трёхмерном пространстве косые апейрогоны[англ.] образуют спираль и могут быть левыми или правыми.
Существует две несобственные правильные мозаики — {∞,2}, бесконечноугольный диэдр, полученный из двух апейрогонов, каждый из которых заполняет полуплоскость, и двойственная ей {2,∞} мозаика, бесконечноугольный осоэдр, который можно представить как бесконечное число параллельных прямых.
Не существует правильных замощений плоскости звёздчатыми многоугольниками. Существует бесконечно много пар чисел, для которых выполняется условие плоской мозаики (1/p + 1/q = 1/2), например, {8/3,8}, {10/3,5}, {5/2,10}, {12/5,12}, и т.д., но ни одна из этих звёзд не подходит для замощения.
Существует много различных путей представления гиперболической плоскости, включая дисковую модель Пуанкаре, в которой плоскость отображается в диск, как показано ниже. Следует рассматривать все многоугольные грани замощения как равносторонние, и многоугольники становятся меньше при приближению к краю диска вследствие применения проекции, что похоже на эффект фотокамеры c объективом «Рыбий глаз».
Существует бесконечно много плоских правильных 3-бесконечногранников как правильных мозаик гиперболической плоскости, имеющих вид {p,q}, где p+q<pq/2.
{3,7}, {3,8}, {3,9} ... {3,∞}
{4,5}, {4,6}, {4,7} ... {4,∞}
{5,4}, {5,5}, {5,6} ... {5,∞}
{6,4}, {6,5}, {6,6} ... {6,∞}
{7,3}, {7,4}, {7,5} ... {7,∞}
{8,3}, {8,4}, {8,5} ... {8,∞}
{9,3}, {9,4}, {9,5} ... {9,∞}
...
{∞,3}, {∞,4}, {∞,5} ... {∞,∞}
Примеры:
Сферические (Платоновы)/Евклидовы/гиперболические (диск Пуанкаре: компактные/паракомпактные/некомпактные) замощения с их символами Шлефли
Существует два бесконечных вида гиперболических мозаик, грани или вершинные фигуры которых являются звёздчатыми многоугольниками — {m/2, m} и их двойственные {m, m/2} с m = 7, 9, 11, .... Мозаики {m/2, m} являются звёздчатыми формами мозаик {m, 3}, в то время как двойственные мозаики {m, m/2} являются огранкой мозаик {3, m} и увеличениями[англ.] мозаик {m, 3}.
Схемы {m/2, m} и {m, m/2} продолжаются для нечётных m < 7 как многогранники: если m = 5, мы получим малый звёздчатый додекаэдр и большой додекаэдр, а при m = 3 мы получим тетраэдр. Другие два тела Кеплера — Пуансо (большой звёздчатый додекаэдр и большой икосаэдр) не имеют аналогов в правильных гиперболических мозаиках. Если m чётно, в зависимости от того, как мы выберем определение {m/2}, мы можем получить либо вырожденное покрытие другой мозаики или соединение мозаик.
12 "чистых" бесконечногранников в евклидовом 3-мерном пространстве на основе кубических сот, {4,3,4} [16]. Оператор Петри[англ.] π заменяет грани многоугольниками Петри. δ является двойственным оператором, обменивающим местами вершины и грани. φk является k-м оператором огранки. η является оператором взятия половины, а σ — взятием косой половины.
Правильный косой многоугольник
{4,6|4}
{6,4|4}
{6,6|3}
Существует тридцать правильных бесконечноугольников в евклидовом трёхмерном пространстве [17]. Они включают как перечисленные выше, так и 8 других "чистых" бесконечноугольников. Все они связаны с кубическими сотами {4,3,4}. Остальные имеют пространственные многоугольные грани: {6,6}4, {4,6}4, {6,4}6, {∞,3}a, {∞,3}b, {∞,4}.*3, {∞,4}6,4, {∞,6}4,4 и {∞,6}6,3.
Косые бесконечногранники в гиперболическом трёхмерном пространстве
Несобственные замощения евклидова трёхмерного пространства
Правильные соты {2,4,4}, в виде проекции на сферу.
Существует шесть несобственных правильных замощений, попарно основанных на трёх правильных евклидовых замощениях. Их ячейки и вершинные фигуры являются правильными осоэдрами {2,n}, диэдрами {n,2} и евклидовыми мозаиками. Эти несобственные правильные мозаики конструкционно связаны с призматическими однородными сотами операцией усечения. Они являются высокоразмерными аналогами бесконечноугольной мозаики порядка 2[англ.] и бесконечноугольного осоэдра[англ.].
Существует также 11 паракомпактных H3 сот (с бесконечными (евклидовыми) ячейками и/или вершинными фигурами): {3,3,6}, {6,3,3}, {3,4,4}, {4,4,3}, {3,6,3}, {4,3,6}, {6,3,4}, {4,4,4}, {5,3,6}, {6,3,5} и {6,3,6}.
Некомпактные решения существуют как лоренцевы группы Коксетера и могут быть визуализированы с помощью открытой области в гиперболическом пространстве (фундаментальный тетраэдрон, имеющий некоторые части недостижимыми ввиду бесконечности), и некоторые нарисованы ниже, показывая их пересечение с плоскостью. Все соты, не показанные в таблицах и не имеющие двойки в их символе Шлефли, являются некомпактными.
Не существует гиперболических звёздчатых сот в H3 — все формы с правильным звёздчатым многогранником в качестве ячейки, вершинной фигуры, или того и другого оказываются сферическими.
Четырёхмерное пространство (5-бесконечногранники)
Замощения евклидов 4-мерного пространства
Существует три вида бесконечных правильных (сот), которые могут заполнить евклидово четырёхмерное пространство:
Некомпактные решения существуют как лоренцевы группы Коксетера и могут быть визуализированы с помощью открытой области в гиперболическом пространстве (фундаментальный пятиячейник, имеющий некоторые части недостижимыми ввиду бесконечности). Все соты, не показанные в таблицах и не имеющие двойки в их символе Шлефли, являются некомпактными.
Пятимерное пространство (бесконечноугольные 6-многогранники)
Существуют только одни плоские правильные соты в евклидовом 5-мерном пространстве: ( перечислены выше как замощения) [19]
{4,3,3,3,4}
Существует пять плоских правильных сот гиперболического 5-мерного пространства, все паракомпактные: (перечислены выше как замощения)[20]
{3,3,3,4,3}, {3,4,3,3,3}, {3,3,4,3,3}, {3,4,3,3,4} и {4,3,3,4,3}
Замощение s евклидова 5-мерного пространства
Гиперкубические соты является единственным семейством правильных сот, которые могут замостить пространство любой размерности (пять и выше), образованные фасетами-гиперкубами, по четыре вокруг каждой (n-2)-мерной грани.
В E5 существуют также несобственные случаи {4,3,3,4,2}, {2,4,3,3,4}, {3,3,4,3,2}, {2,3,3,4,3}, {3,4,3,3,2} и {2,3,4,3,3}. В En, {4,3n−3,4,2} и {2,4,3n−3,4} являются всегда несобственными евклидовыми замощениями.
Замощения гиперболического 5-мерного пространства
Существует 5 правильных видов сот в H5, все паракомпактные. Они включают бесконечные (евклидовы) фасеты или вершинные фигуры: {3,4,3,3,3}, {3,3,4,3,3}, {3,3,3,4,3}, {3,4,3,3,4} и {4,3,3,4,3}.
Существует два некомпактных правильных замощения гиперболического пространстваразмерности 5 и выше и нет паракомпактных правильных замощений в гиперболическом пространстве размерности 6 и выше.
Поскольку не существует правильных звёздчатых n-многогранников для n ≥ 5, которые могли бы быть потенциальными ячейками или вершинными фигурами, не существует больше гиперболических звёздчатых сот в Hn для n ≥ 5.
Размерность 6 и выше (7-мерные бесконечногранники+)
Замощения гиперболического 6-мерного и выше пространства
Не существует правильных компактных или паракомпактных замощений гиперболического пространства размерности 6 или выше. Все целые неперчисленные значения дают некомпактное замощение гиперболического n-мерного пространства.
Для любого натурального числа n существует n-вершинный звёздчатый правильный многоугольник с символом Шлефли {n/m} для любого m < n/2 (строго говоря, {n/m}={n/(n−m)}), где m и n взаимно просты. Если m и n не взаимно просты, полученный многоугольник будет иметь n/m сторон. Новая фигура получается вращением этих n/m-угольников на одну вершину (влево), пока число вращений не достигнет числа n/m минус единица, и комбинацией этих повёрнутых фигур. В экстремальном случае, когда n/m равно 2, получим фигуру из n/2 отрезков. Такая фигура называется вырожденным звёздчатым многоугольником.
В других случаях, когда n и m имеют общий делитель, получим звёздчатый многоугольник с меньшим n и с ним можно скомбинировать версии, полученные вращением. Эти фигуры называются звёздчатыми фигурами, несобственными звёздчатыми многоугольниками или соединениями многоугольников. Для них часто используется то же обозначение {n/m}, хотя некоторые авторы, такие как Грюнбаум (1994), предпочитают (с некоторыми уточнениями) форму k{n} как более правильную, где, обычно, k = m.
Следующее усложнение возникает, когда мы соединяем два или более звёздчатых многоугольника, как, например, две пентаграммы, отличающиеся поворотом на 36° и вписанные в десятиугольник. Правильнее в этом случае писать в виде k{n/m}, в нашем случае 2{5/2}, а не использовать обычно используемое {10/4}.
Расширенная нотация Коксетера для соединения многоугольников имеет вид c{m,n,...}[d{p,q,...}]e{s,t,...}, в которой отражается, что d различных {p,q,...} вместе покрывают вершины {m,n,...} c раз и грани {s,t,...} e раз. Если не существует правильного {m,n,...}, первая часть записи удаляется, оставляя [d{p,q,...}]e{s,t,...}. Противоположный случай — если не существует правильного {s,t,...}. Двойственным к of c{m,n,...}[d{p,q,...}]e{s,t,...} является e{t,s,...}[d{q,p,...}]c{n,m,...}. Если c или e равно 1, их можно опускать. Для соединения многоугольников эта нотация сводится к {nk}[k{n/m}]{nk}. Например, гексаграмму можно записать как {6}[2{3}]{6}.
Соединения на евклидовой и гиперболической плоскостях
Существует восемнадцать двупараметрических семейств правильных соединений мозаик евклидовой плоскости. На гиперболической плоскости известны пять однопараметрических семейств и семнадцать изолированных случаев, но полнота этого списка ещё не доказана.
Семейства соединений евклидовой и гиперболической плоскостей 2 {p,p} (4 ≤ p ≤ ∞, p целое) аналогичны сферическим звёздчатым октаэдрам, 2 {3,3}.
Несколько примеров евклидовых и гиперболических правильных соединений
В 4-мерном пространстве существует тридцать два правильных соединения правильных многогранников, которые Коксетер перечислил в своей книге Regular Polytopes:[22]
Существует два различных соединения 75 тессерактов: одно использует те же вершины, что и стодвадцатиячейник, а другое использует те же вершины, что и шестисотъячейник. Отсюда следует, что соответствующие двойственные соединения 75 шестнадцатиячейников также различны.
Существует также четырнадцать частично правильных соединений, которые либо вершинно-транзитивны, либо ячеечно-транзитивны, но не одновременно. Семь вершинно-транзитивных частично правильных соединений являются двойственными семи ячейно-транзитивным частично правильным соединениям.
Частично правильные соединения как двойственные пары
Единственными правильными евклидовыми соединениями сот является бесконечное семейство соединений кубических сот, имеющих общие вершины и грани с другими кубическими сотами. Это соединение может иметь любое число кубических сот. Запись Коксетера — {4,3,4}[d{4,3,4}]{4,3,4}.
Соединения в пятимерном и выше пространствах
Нет правильных соединений в пятимерном и шестимерном пространствах. Известны три семимерных соединения (16, 240 и 480 7-симплексов[англ.]) и шесть восьмимерных (16, 240 и 480 октерактов или 8-ортоплексов[англ.]). Существует также одно соединение n-мерных симплексов в n-мерном пространстве, при условии, что n на единицу меньше степени двойки, а также два соединения (соединение n-мерных кубов и двойственное ему соединение n-мерных ортоплексов) в n-мерном пространстве, если n является степенью двойки.
Запись Коксетера для этих соединений (где αn = {3n−1}, βn = {3n−2,4}, γn = {4,3n−2}:
7-симплексы: cγ7[16cα7]cβ7, where c = 1, 15 или 30
8-ортоплексы: cγ8[16cβ8]
8-кубы: [16cγ8]cβ8
Общий случай (когда n = 2k and d = 22k − k − 1, k = 2, 3, 4, ...):
Симплексы: γn−1[dαn−1]βn−1
Ортоплексы: γn[dβn]
Гиперкубы: [dγn]βn
Соединение евклидовых сот
Известно бесконечное семейство правильных евклидовых соединений сот в размерностях пять и выше — соединение гиперкубических сот, разделяющих вершины и грани с другими гиперболическими сотами. Это соединение может иметь произвольное число гиперболических сот. Запись Коксетера для этих соединений — δn[dδn]δn where δn = {∞} при n = 2 и {4,3n−3,4} при n ≥ 3.
Абстрактные многогранники
Понятие абстрактного многогранника возникло при попытке изучать многогранники без привязки их к геометрическому пространству, в котором они находятся. Они включают замощения сферического, евклидова и гиперболического пространств, замощения других многообразий и много других объектов, не имеющих хорошо определённой топологии, но, зато, характеризующихся их "локальной" топологией. Абстрактных многогранников существует бесконечно много в любой размерности. См. атлас для примеров. Некоторые заметные примеры абстрактных правильных многогранников, которые трудно найти где-либо, это одиннадцатиячейник, {3,5,3} и пятидесятисемиячейник[англ.], {5,3,5}, имеющие правильные проективные многогранники в качестве ячеек и вершинных фигур.
Элементами абстрактного многогранника являются его тело (максимальный элемент), грани, рёбра, вершины и нулевой многогранник (пустое множество). Эти абстрактные элементы могут быть отображены в обычное пространство или приняты как геометрические фигуры. Некоторые абстрактные многогранники имеют правильно построенную или правдоподобную реализацию, другие таковой не имеют. Флаг — это множество связанных элементов каждой размерности. Для четырёхмерного многогранника — это тело, грань, ребро этой грани, вершина ребра и нулевой многогранник. Говорят, что абстрактный многогранник является правильным, если его комбинаторные симметрии транзитивны на его флагах, то есть любой его флаг может быть переведён симметрией многогранника в любой другой. Абстрактные правильные многогранники являются активной областью исследований.
Пять таких правильных абстрактных многогранников, которые нельзя реализовать правдоподобно, были приведены Коксетером в его книге Regular Polytopes (1977), а затем в статье Уиллса (J. M. Wills) "The combinatorially regular polyhedra of index 2" (1987) [25]. Они топологически эквивалентны тороиду. Их построение путём расположения n граней около каждой вершины можно продолжать бесконечно, давая замощение гиперболической плоскости.
↑В английской литературе — skew polygon, буквально — косой многоугольник. В русской литературе прижился термин пространственный многоугольник, а термин косой многоугольник соответствует термину skew polyhedron (косой многогранник). В данной статье используется термин косой многогранник для размерностей 4 и выше.
↑Источник (неопр.). Дата обращения: 10 января 2016. Архивировано 29 ноября 2014 года.
↑В английском языке для многогранников используются следующие названия: polyhedra — трёхмерный многогранник, polychoron — четырёхмерный многогранник, polytope — многогранник размерности 5 и выше. В русском языке, как правило, для всех этих видов используется термин многогранник, иногда политоп.
↑Coxeter (1973) harvtxt error: якоря не существует: CITEREFCoxeter1973 (помощь), Таблица I: Regular polytopes, (iii) Три правильных многогранника для размерностей n (n>=5), стр. 294–295.
↑Garner, C. W. L. Regular Skew Polyhedra in Hyperbolic Three-Space. Canad. J. Math. 19, 1179–1186, 1967. [2]Архивная копия от 2 апреля 2015 на Wayback Machine Замечание: В статье говорится, что существует 32, но один самодвойственен, так что остаётся 31.
H. S. M. Coxeter. Proceedings of the International Congress of Mathematicians, 1954, Amsterdam, vol. III. — Amsterdam: North-Holland Publishing Co., 1956. — P. 155–169.. Перепечатано в H. S. M. Coxeter.Chapter 10, pp. 199–214 // The Beauty of Geometry: Twelve Essays. — Mineola, NY: Dover Publications, Inc., 1999. — ISBN 0-486-40919-8.. См., в частности, таблицы II,III,IV,V, стр. 212–213 книги The Beauty of Geometry.
H. S. M. Coxeter. Regular Polytopes. — 3rd. — Dover Publications, Inc., 1973.. См., в частности, таблицы I и II: Regular polytopes and honeycombs, стр. 294–296.
Norman W. Johnson. International Conference on Mathematics of Distances and Applications. — July 2–5, 2012, Varna, Bulgaria, 2012. — С. 85–95.
H. S. M. Coxeter. Regular Skew Polyhedra in Three and Four Dimensions // Proc. London Math. Soc.. — 1937. — Вып. 43. — С. 33–62.
Peter McMullen, Egon Schulte. Abstract Regular Polytopes. — Cambridge University Press, 2002. — Т. 92. — (Encyclopedia of Mathematics and its Applications). — ISBN 0-521-81496-0. — doi:10.1017/CBO9780511546686.
D. M. Y. Sommerville. An Introduction to the Geometry of n Dimensions. — New York: Dover Publications, Inc., 1958.. Переиздание 1930, издательства E. P. Dutton. См. главу X: The Regular Polytopes.
Katedral SirakusaKatedral Kelahiran Santa Perawan MariaItalia: Cattedrale della Natività di Maria Santissimacode: it is deprecated Katedral SirakusaLokasiSirakusa, SisiliaNegaraItaliaDenominasiGereja Katolik RomaArsitekturStatusKatedralStatus fungsionalAktifAdministrasiKeuskupanKeuskupan Agung Sirakusa Ukiran daun Acanthus di fasad barok Katedral Sirakusa (Duomo di Siracusa), yang secara resmi disebut Cattedrale metropolitana della Natività di Maria Santissima (Katedral Metropolitan Kelahir...
Eglfing. Eglfing adalah kota yang terletak di distrik Weilheim-Schongau di Bayern, Jerman. Kota Eglfing memiliki luas sebesar 16.16 km². Eglfing pada tahun 2006, memiliki penduduk sebanyak 970 jiwa. lbsKota dan kotamadya di Weilheim-Schongau Altenstadt Antdorf Bernbeuren Bernried am Starnberger See Böbing Burggen Eberfing Eglfing Habach Hohenfurch Hohenpeißenberg Huglfing Iffeldorf Ingenried Oberhausen Obersöchering Pähl Peißenberg Peiting Penzberg Polling Prem Raisting Rottenbuch ...
Ammar Abdulhamid عمار عبد الحميدAbdulhamid di FDDLahir30 Mei 1966 (umur 57)Damaskus, SuriahAlmamaterUniversity of Wisconsin–Stevens PointPekerjaanPengarang, Aktivis dan pemikirSuami/istriKhawla YusufAnakOula dan MouhanadSitus webammarabdulhamid.com Syrian Revolution Digest Ammar Abdulhamid (Arab: عمار عبد الحميدcode: ar is deprecated ; lahir 30 Mei 1966) adalah seorang pengarang, aktivis HAM, pembangkang politik, salah satu pendiri dan presiden Yayasan Tharwa...
This article includes a list of general references, but it lacks sufficient corresponding inline citations. Please help to improve this article by introducing more precise citations. (October 2010) (Learn how and when to remove this template message) Capitol View Manor is a small community in Southwest Atlanta that was named for the excellent view of the Georgia State Capitol building. Its boundaries include I-75/85 to the east, the Beltline to the north, Metropolitan Parkway to the west, and...
Sculpture by Auguste Rodin The Spirit of Eternal ReposeFrench: Le génie du repos éternelThe sculpture in the garden of the Musée RodinArtistAuguste RodinYear1899 to 1902TypeSculptureMediumBronze The Spirit of Eternal Repose (French: Le génie du repos éternel)[1] is a 1898–1899 sculpture of a sprite by French artist Auguste Rodin.[2] Houston The Museum of Fine Arts, Houston's Lillie and Hugh Roy Cullen Sculpture Garden has a bronze sculpture. The Houston Press called the...
English journalist and intellectual (1844–1909) Beckett in 1896. Arthur William à Beckett (25 October 1844 – 14 January 1909) was an English journalist and intellectual. Biography He was a younger son of Gilbert Abbott à Beckett and Mary Anne à Beckett, brother of Gilbert Arthur à Beckett and educated at Felsted School.[1] Besides fulfilling other journalistic engagements, Beckett was on the staff of Punch from 1874 to 1902, edited the Sunday Times 1891–1895, and the Naval a...
Version of the Christian devotion 'the Stations of the Cross' It has been suggested that this article be merged into Stations of the Cross. (Discuss) Proposed since March 2024. The Way of the Cross, celebrated at the Colosseum in Rome on Good Friday. Part of a series onDevotions to Jesusin the Catholic ChurchChrist in Majesty Devotions Holy Wounds Sacred Heart Holy Face Divine Mercy Eucharistic adoration Holy Name Holy Hour Acts of Reparation Stations of the Cross Precious Blood Infant of Pra...
Political philosophy and movement that upholds liberty as a core principle For other uses, see Libertarianism (disambiguation). Libertarians redirects here. For political parties, see List of libertarian political parties. Not to be confused with Liberalism. Part of a series onLibertarianism Concepts Abstention Age of consent reform Anti-authoritarianism Anti-capitalism Antimilitarism Anti-statism Class struggle Counter-economics Crypto-anarchism Decentralization Departurism Direct action Eco...
Type of computer This section possibly contains original research. Please improve it by verifying the claims made and adding inline citations. Statements consisting only of original research should be removed. (February 2016) (Learn how and when to remove this message) For stack machines in automata theory, see Pushdown automaton. In computer science, computer engineering and programming language implementations, a stack machine is a computer processor or a virtual machine in which the primar...
Chârost Chârost, tympan de l'église. Blason Administration Pays France Région Centre-Val de Loire Département Cher Arrondissement Bourges Intercommunalité Communauté de communes du Pays d’Issoudun Maire Mandat Ludo Coste 2020-2026 Code postal 18290 Code commune 18055 Démographie Gentilé Chârostais, Chârostaises Populationmunicipale 912 hab. (2021 ) Densité 83 hab./km2 Géographie Coordonnées 46° 59′ 37″ nord, 2° 07′ 01″ est Alt...
Cette liste présente les députés élus dans le département français de l'Essonne depuis sa création le 1er janvier 1968. XVIe législature (2022-2027) Article connexe : XVIe législature de la Cinquième République française. Consultez le détail des résultats des « Élections législatives de 2022 dans l'Essonne ». Carte électorale des circonscriptions en 2022. Liste des députés de l'Essonne lors de la seizième législature Circonscription Identité Parti Autres...
Typeface foundry Bitstream Inc.Company typePublicTraded asNasdaq: BITSIndustryType foundry, mobile phone web browsersFounded1981; 43 years ago (1981)FounderCherie ConeMatthew CarterMike Parker DefunctMarch 19, 2012 (2012-03-19)FateAcquired by MonotypeHeadquartersMarlborough, Massachusetts, United StatesKey peopleAmos Kaminski (Chairman and Interim CEO)Number of employees96[1] Bitstream Inc. was an American type foundry that produced digital t...
This article needs additional citations for verification. Please help improve this article by adding citations to reliable sources. Unsourced material may be challenged and removed.Find sources: Elamgulam Sree Dharma Shastha Temple – news · newspapers · books · scholar · JSTOR (January 2023) (Learn how and when to remove this message) Hindu temple in Kerala, India Elamgulam Sree Dharma Sastha Templeഇളങ്ങുളം ശ്രീധർമ്മ�...
Place of worship or a form of liturgy For other uses, see Chantry (disambiguation). A chantry is an ecclesiastical term that may have either of two related meanings:[1] a chantry service, a set of Christian liturgical celebrations for the dead (made up of the Requiem Mass and the Office of the Dead), or a chantry chapel, a building on private land, or an area in a parish church or cathedral reserved for the performance of these celebrations. In the Medieval Era through to the Age of E...
American basketball player For the basketball player who attended UConn, see Jalen Adams. Jaylen AdamsAdams with the Wisconsin Herd in 2019No. 2 – Sydney KingsPositionPoint guardLeagueNBLPersonal informationBorn (1996-05-04) May 4, 1996 (age 28)Hanover, Maryland, U.S.Listed height183 cm (6 ft 0 in)Listed weight84 kg (185 lb)Career informationHigh schoolMount St. Joseph(Baltimore, Maryland)CollegeSt. Bonaventure (2014–2018)NBA draft2018: undraftedPlayi...
In the United States Navy, officers have various ranks. Equivalency between services is by pay grade. United States Navy commissioned officer ranks have two distinct sets of rank insignia: On dress uniform a series of stripes similar to Commonwealth naval ranks are worn; on service khaki, working uniforms (Navy Working Uniform [NWU], and coveralls), and special uniform situations (combat utilities, flight suits, and USMC uniforms when worn by Navy officers assigned or attached to USMC units)...
كاثرين بوتر (بالإنجليزية: Katherine Anne Porter) معلومات شخصية الميلاد 15 مايو 1890 [1][2][3][4][5][6][7] الوفاة 18 سبتمبر 1980 (90 سنة) [1][2][3][4][5][6][7] سيلفر سبرينغ[8][9][10] مكان الدفن تكساس الإقامة فورت وورثسا�...
Портяк Василь ВасильовичНародився31 березня 1952(1952-03-31) або 1952[1]Кривопілля, Верховинський район, Станіславська область, Українська РСР, СРСРПомер2 березня 2019(2019-03-02) або 2019[1]Країна СРСР УкраїнаДіяльністьсценарист, прозаїк, кіносценаристГалузьпр�...
.svg)
.svg)
.svg){kind=small}
.svg)
.svg){kind=small}
.svg)
.svg){kind=small}
.svg)
.svg){kind=small}
.svg)
.svg)
.svg)
.svg)
.svg)
.svg)
.svg){kind=small}
.svg)
.svg)
.svg)
.svg){kind=small}
.svg)
.svg)
.svg)
.svg)
.svg)
.svg)
.svg)
.svg)
.svg)
.svg)
.svg){kind=small}
.svg)
.svg)
.svg)
.svg)
.svg){kind=small}
.svg)
.svg)
.svg)
.svg)
.svg)
.svg){kind=small}
.svg)
.svg)
.svg){kind=small}
.svg)
.svg)
.svg){kind=small}
.svg)
.svg)
.svg){kind=small}
.svg)
.svg)
.svg)
.svg)
.svg)
.svg)
.svg){kind=small}
.svg)
.svg){kind=small}
.svg)
.svg){kind=small}
.svg)
.svg)
.svg)
.svg)
.svg)
.svg)
.svg)
.svg)
.svg)
.svg)
.svg)
.svg)
.svg)
.svg)
.svg)
.svg)
.svg)
.svg)
.svg)
.svg)
.svg)
.svg)
.svg)
.svg)
.svg)
