Развёртка Пра́вильный стодвадцатияче́йник , или просто стодвадцатияче́йник [ 1] правильных многоячейников в четырёхмерном пространстве . Известен также под другими названиями: гекатоникосахор (от др.-греч. ἑκατόν εἴκοσι χώρος гипердодека́эдр (поскольку является четырёхмерным аналогом додекаэдра ), додекаплекс (то есть «комплекс додекаэдров»), полидодека́эдр . Двойственен шестисотячейнику .
Открыт Людвигом Шлефли в середине 1850-х годов[ 2] Символ Шлефли стодвадцатиячейника — {5,3,3}.
Все 9 его звёздчатых форм — правильные звёздчатые многоячейники. Из 10 правильных звёздчатых многоячейников лишь один не является звёздчатой формой стодвадцатиячейника.
Ограничен 120 трёхмерными ячейками — одинаковыми додекаэдрами . Угол между двумя смежными ячейками равен в точности
144
∘ ∘ -->
.
{\displaystyle 144^{\circ }.}
Его 720 двумерных граней — одинаковые правильные пятиугольники . Каждая грань разделяет 2 примыкающие к ней ячейки.
Имеет 1200 рёбер равной длины. На каждом ребре сходятся по 3 грани и по 3 ячейки.
Имеет 600 вершин. В каждой вершине сходятся по 4 ребра, по 6 граней и по 4 ячейки.
Стодвадцатиячейник можно разместить в декартовой системе координат так, чтобы:
координаты 24 его вершин были всевозможными перестановками чисел
(
0
;
0
;
± ± -->
2
;
± ± -->
2
)
;
{\displaystyle (0;0;\pm 2;\pm 2);}
координаты 64 вершин — всевозможными перестановками
(
± ± -->
1
;
± ± -->
1
;
± ± -->
1
;
± ± -->
5
)
;
{\displaystyle (\pm 1;\pm 1;\pm 1;\pm {\sqrt {5}});}
координаты 64 вершин — всевозможными перестановками
(
± ± -->
Φ Φ -->
− − -->
2
;
± ± -->
Φ Φ -->
;
± ± -->
Φ Φ -->
;
± ± -->
Φ Φ -->
)
,
{\displaystyle (\pm \Phi ^{-2};\pm \Phi ;\pm \Phi ;\pm \Phi ),}
Φ Φ -->
=
1
+
5
2
{\displaystyle \Phi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}
золотого сечения ; координаты 64 вершин — всевозможными перестановками
(
± ± -->
Φ Φ -->
− − -->
1
;
± ± -->
Φ Φ -->
− − -->
1
;
± ± -->
Φ Φ -->
− − -->
1
;
± ± -->
Φ Φ -->
2
)
;
{\displaystyle (\pm \Phi ^{-1};\pm \Phi ^{-1};\pm \Phi ^{-1};\pm \Phi ^{2});}
координаты 96 вершин — всевозможными чётными перестановками
(
0
;
± ± -->
Φ Φ -->
− − -->
2
;
± ± -->
1
;
± ± -->
Φ Φ -->
2
)
;
{\displaystyle (0;\pm \Phi ^{-2};\pm 1;\pm \Phi ^{2});}
координаты 96 вершин — всевозможными чётными перестановками
(
0
;
± ± -->
Φ Φ -->
− − -->
1
;
± ± -->
Φ Φ -->
;
± ± -->
5
)
;
{\displaystyle (0;\pm \Phi ^{-1};\pm \Phi ;\pm {\sqrt {5}});}
координаты остальных 192 вершин — всевозможными чётными перестановками
(
± ± -->
Φ Φ -->
− − -->
1
;
± ± -->
1
;
± ± -->
Φ Φ -->
;
± ± -->
2
)
.
{\displaystyle (\pm \Phi ^{-1};\pm 1;\pm \Phi ;\pm 2).}
Начало координат
(
0
;
0
;
0
;
0
)
{\displaystyle (0;0;0;0)}
трёхмерных гиперсфер .
Вид снаружи Вид изнутри
Если стодвадцатиячейник имеет ребро длины
a
,
{\displaystyle a,}
гиперобъём и трёхмерная гиперплощадь поверхности выражаются соответственно как
V
4
=
15
4
(
105
+
47
5
)
a
4
≈ ≈ -->
787,856
9810
a
4
,
{\displaystyle V_{4}={\frac {15}{4}}\left(105+47{\sqrt {5}}\right)a^{4}\approx 787{,}8569810a^{4},}
S
3
=
30
(
15
+
7
5
)
a
3
≈ ≈ -->
919,574
2753
a
3
.
{\displaystyle S_{3}=30\left(15+7{\sqrt {5}}\right)a^{3}\approx 919{,}5742753a^{3}.}
Радиус описанной трёхмерной гиперсферы (проходящей через все вершины многоячейника) при этом будет равен
R
=
1
2
(
10
+
3
2
)
a
≈ ≈ -->
3,702
4592
a
,
{\displaystyle R={\frac {1}{2}}\left({\sqrt {10}}+3{\sqrt {2}}\right)a\approx 3{,}7024592a,}
радиус внешней полувписанной гиперсферы (касающейся всех рёбер в их серединах) —
ρ ρ -->
1
=
1
2
(
15
+
2
3
)
a
≈ ≈ -->
3,668
5425
a
,
{\displaystyle \rho _{1}={\frac {1}{2}}\left({\sqrt {15}}+2{\sqrt {3}}\right)a\approx 3{,}6685425a,}
радиус внутренней полувписанной гиперсферы (касающейся всех граней в их центрах) —
ρ ρ -->
2
=
1
10
(
65
+
29
5
)
a
≈ ≈ -->
3,603
4146
a
,
{\displaystyle \rho _{2}={\sqrt {{\frac {1}{10}}\left(65+29{\sqrt {5}}\right)}}\;a\approx 3{,}6034146a,}
радиус вписанной гиперсферы (касающейся всех ячеек в их центрах) —
r
=
1
4
(
7
+
3
5
)
a
≈ ≈ -->
3,427
0510
a
.
{\displaystyle r={\frac {1}{4}}\left(7+3{\sqrt {5}}\right)a\approx 3{,}4270510a.}
Многоугольники Звёздчатые многоугольники Паркеты на плоскости Правильные многогранники сферические паркеты Многогранники Кеплера — Пуансо Соты Четырёхмерные многогранники
{3,3,3} {4,3,3} {3,3,4} {3,4,3} {5,3,3} {3,3,5}
