PROFILPELAJAR.COM

Правильный треугольник (равносторонний^[1], равноугольный) — треугольник, все стороны которого равны между собой, как следствие, все углы также равны и составляют 60°; дважды равнобедренный треугольник; правильный многоугольник с тремя сторонами, простейший из правильных многоугольников. Символ Шлефли — $\{3\}$ .

Правильный тетраэдр состоит из четырёх правильных треугольников.

В правильном треугольнике высоты также являются медианами и биссектрисами, их длина равна $({\sqrt {3}}/2)a$ , где $a$ — длина стороны.

Для правильного треугольника со стороной $a$ , радиусом вписанной окружности $r$ и радиусом описанной окружности $R$ имеют место соотношения:

r={\frac {\sqrt {3}}{6}}a

,

R={\frac {\sqrt {3}}{3}}a

,

R=2r

;

а площадь $S$ и периметр $P$ рассчитываются по формулам:

S={\frac {\sqrt {3}}{4}}a^{2}={\frac {3{\sqrt {3}}}{4}}R^{2}=3{\sqrt {3}}r^{2}={\frac {\sqrt {3}}{36}}P^{2}

,

P=3a=3{\sqrt {3}}R=6{\sqrt {3}}r

.

Теорема Вивиани: сумма расстояний от произвольной точки внутри равностороннего треугольника до его сторон постоянна и равна высоте треугольника. В правильном треугольнике окружность девяти точек совпадает со вписанной окружностью.

Правильными треугольниками можно замостить плоскость.

Группа движений (самосовмещений) плоскости, переводящих правильный треугольник в себя, состоит из 6 элементов: трёх поворотов на углы 0, $2\pi /3$ и $4\pi /3$ вокруг центроида, а также трёх симметрий относительно трёх прямых, на которых лежат биссектрисы треугольника (последние являются также его высотами и медианами).

На описанной окружности произвольного треугольника $\triangle ABC$ существуют ровно три точки такие, что их прямая Симсона касается окружности Эйлера треугольника $\triangle ABC$ , причём эти точки образуют правильный треугольник. Стороны этого треугольника параллельны сторонам треугольника Морлея. Если на каждой стороне произвольного треугольника построить по равностороннему треугольнику, то треугольник с вершинами в центрах равносторонних треугольников — тоже равносторонний (теорема Наполеона).

Теорема Помпею: для произвольной точки $M$ и равностороннего треугольника $\triangle ABC$ справедливы неравенства:

MA\leqslant MB+MC

,

MB\leqslant MA+MC

,

MC\leqslant MA+MB

,

при этом если $M$ расположена на описанной окружности, то неравенства обращатся в равенства.

Правильный сферический треугольник

Правильный сферический треугольник — сферический треугольник с равными сторонами. Для любого значения в интервале от 60° до 180° существует правильный сферический треугольник с равными этому значению углами.