Теорема Наполеона

Чертёж
Чертёж

Теорема Наполеона — утверждение евклидовой планиметрии о равносторонних треугольниках:

Если на каждой стороне произвольного треугольника построить по равностороннему треугольнику, то треугольник с вершинами в центрах равносторонних треугольников — тоже равносторонний

Треугольники могут быть построены внутрь (все) — утверждение сохранит силу.

Получаемый таким образом треугольник называют треугольником Наполеона (внутренним и внешним).

Теорема часто приписывается Наполеону Бонапарту (1769—1821). Возможно, однако, что её предложил У. Резерфорд в публикации 1825 года англ. The Ladies' Diary.[1]

Доказательства

Данная теорема может быть доказана несколькими способами. Один из них использует поворот и теорему Шаля (3 последовательных поворота возвращают плоскость на место). Похожий способ использует поворотную гомотетию (при применении 2 гомотетий с равными коэффициентами MN и LN переходят в один отрезок CZ). Другие способы более прямолинейны, но и более громоздки и сложны.

Центр Наполеона

См. также Точки Наполеона.

Рисунок к параграфу расположен по адресу: http://faculty.evansville.edu/ck6/tcenters/class/xsub17.gif Пусть дан треугольник ABC и пусть D, E, F — точки на рисунке, для которых треугольники DBC, CAE, ABF равносторонние. Далее пусть: G — центр треугольника DBC, H — центр треугольника CAE, I — центр треугольника ABF. Тогда отрезки AG, BH, CI пересекаются в одной точке. Обозначим эту точку буквой N. Это и есть так называемая первая точка Наполеона (the first Napoleon point). Трилинейные координаты для точки N есть: csc(A + π/6): csc(B + π/6): csc(C + π/6). Если равносторонние треугольники DBC, CAE, ABF строятся не наружу а внутрь данного треугольника ABC, тогда три линии AG, BH, CI пересекаются во второй точке Наполеона (the second Napoleon point). Её трилинейные координаты есть: csc(A — π/6): csc(B — π/6): csc(C — π/6).

Замечание

Первая и вторая точки Наполеона в Энциклопедии точек треугольника Кларка Кимберлинга (Clark Kimberling. Encyclopedia of Triangle Centers= http://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/) известны как точки X(17) и X(18).

Связь с другими утверждениями

Теорема Наполеона обобщается на случай произвольных треугольников следующим образом:

Если подобные треугольники любой формы построены на сторонах треугольника внешним образом так, что каждый повёрнут относительно предыдущего, и любые три соответствующие точки этих треугольников соединены, то итоговый треугольник будет подобен этим внешним треугольникам.

Аналогом теоремы Наполеона для параллелограммов является первая теорема Тебо.

См. также

Ссылки