PROFILPELAJAR.COM

Прямая Симсона — прямая, проходящая через основания перпендикуляров на стороны треугольника из точки на его описанной окружности. Её существование опирается на теорему Симсона.

Теорема Симсона

Основания перпендикуляров, опущенных из произвольной точки $P$ описанной окружности треугольника $ABC$ на его стороны или их продолжения, лежат на одной прямой. Эта прямая называется прямой Симсона^[1].

Верно и обратное утверждение: если основания перпендикуляров, опущенные из точки $P$ на стороны треугольника $ABC$ или их продолжения, лежат на одной прямой, то точка $P$ лежит на описанной окружности треугольника.

История

Открытие этой прямой долго приписывалось Роберту Симсону (1687—1768), но в действительности она была открыта лишь в 1797 году шотландским математиком Уильямом Уоллесом. Поэтому, наряду с традиционным названием этой прямой, часто используется исторически более справедливое название: «прямая Уоллеса».^[2]

Свойства

Прямые Симсона (красным цветом) являются касательными к дельтоиде Штейнера (синим цветом).

Пусть $H$ — ортоцентр треугольника $ABC$ . Тогда прямая Симсона произвольной точки $P$ на описанной окружности треугольника $ABC$ делит отрезок $PH$ пополам в точке, лежащей на окружности девяти точек.
Если P и Q являются точками на описанной окружности, то угол между прямыми Симсона точек P и Q равен половине угла дуги PQ.
- В частности, если 2 точки на описанной окружности диаметрально противоположны, их прямые Симсона перпендикулярны, и в этом случае точка пересечения 2 перпендикулярных прямых Симсона также лежит на окружности девяти точек. При этом вторые точки пересечения 2 перпендикулярных прямых Симсона с окружностью девяти точек будут концами диаметра последней окружности.
Для двух данных треугольников с одной и той же описанной окружностью, угол между прямыми Симсона точки P на окружности для обоих треугольников не зависит от P.

Прямая Симсона и треугольник Морлея

На описанной окружности треугольника $ABC$ существуют ровно три точки, таких что их прямая Симсона касается окружности Эйлера треугольника $ABC$ , причем эти точки образуют правильный треугольник. Стороны этого треугольника параллельны сторонам треугольника Морлея.

Прямая Симсона и прямая Штейнера

Точки, симметричные точке P на описанной окружности относительно сторон треугольника лежат на одной прямой, проходящей через ортоцентр. Эта прямая (прямая Штейнера) параллельна прямой Симсона и переходит в нее при гомотетии с коэффициентом 1/2

Прямая Симсона и точка Фейербаха

Точка Фейербаха, то есть точка касания вписанной или вневписанной окружности с окружностью девяти точек, является точкой пересечения двух прямых Симсона, построенных для концов диаметра описанной окружности, проходящего через соответствующий центр вписанной или вневписанной окружности.^[3].
- В частности, точки Фейербаха могут быть построены без использования соответствующей вписанной или вневписанной окружности и касающейся её окружности Эйлера.

Прямая Симсона и дельтоида

Огибающая семейства прямых Симсона данного треугольника, есть дельтоида — так называемая дельтоида Штейнера.
- Якоб Штейнер открыл дельтоиду, как частную гипоциклоиду, которая описывается произвольной фиксированной точкой окружности, которая катится без скольжения внутри окружности в 3 раза большего диаметра. А то, что множество всех возможных линий Симсона, которые могут быть изображены для данного треугольника, имеют огибающую в форме дельтоиды, открыто примерно 100 лет назад и совсем не Штейнером^[4].

Прямая Симсона и ортополюс

Если ортополюс лежит на прямой Симсона, то его линия ℓ перпендикулярна ей^[5].
Если прямая ℓ ортополюса пересекает описанную окружность треугольника в двух точках P и Q, то сам ортополюс лежит на пересечении двух прямых Симсона двух последних точек P и Q.^[6]
Если прямая ℓ ортополюса является прямой Симсона точки P, то точка P называется полюсом прямой Симсона ℓ^[5]

Уравнение прямой Симсона

Помещая треугольник на комплексную плоскость, предположим, что треугольник ABC вписан в единичную окружность и имеет вершины, комплексные координаты которых есть a , b , c , и пусть P с комплексной координатой p является точкой на окружности. Тогда прямая Симсона описывается следующим уравнением на z:^[7]
$2abc{\bar {z}}-2pz+p^{2}+(a+b+c)p-(bc+ca+ab)-{\frac {abc}{p}}=0,$

где черта сверху указывает на комплексное сопряжение.

Вариации и обобщения

Ни один выпуклый многоугольник, имеющий не менее 5 сторон, не имеет прямой Симсона.^[8]
Если из данной точки $P$ описанной окружности треугольника $ABC$ провести прямые под данным ориентированным углом к сторонам, то три полученных точки пересечения будут лежать на одной прямой.
Прямую Симсона можно определить для любого вписанного $n$ -угольника по индукции следующим образом: прямой Симсона точки $P$ относительно данного $n$ -угольника назовем прямую, содержащую проекции точки $P$ на прямые Симсона всех $(n-1)$ -угольников, полученных выбрасыванием одной вершины $n$ -угольника.
Теорема Сальмона
Подерный треугольник — треугольник, вершинами которого являются основания перпендикуляров, опущенных из точки на стороны треугольника; в случае когда точка лежит на описанной окружности подерный треугольник вырождается и его вершины лежат на прямой Симсона.
Пусть ABC — треугольник, и пусть прямая ℓ (зеленая на рисунке) проходит через центр X₃ описанной окружности, а точка P лежит на окружности. Пусть AP, BP, CP пересекают прямую ℓ соответственно в точках A_p, B_p, C_p. Пусть A₀, B₀, C₀ представляют собой проекции точек A_p, B_p, C_p соответственно на прямые BC, CA, AB. Тогда 3 точки A₀, B₀, C₀ коллинеарные точки, то есть лежат на одной прямой. Кроме того, проходящая через них, прямая одновременно проходит через середину отрезка PH, где H является ортоцентром треугольника ABC. Если ℓ проходит через P, то прямая совпадёт с прямой Симсона.^[9]^[10]^[11]

Примеры

Прямая Симсона точки Штейнера треугольника $ABC$ параллельна прямой $OK$ , а прямая Симсона точки Тарри перпендикулярна прямой $OK$ , где $O$ — центр описанной окружности и $K$ — точка пересечения трёх симедиан (точка Лемуана) треугольника $ABC$ .

Примечания

↑ Коксетер Г. С. М., Грейтцер С. П. Новые встречи с геометрией. — М.: Наука, 1978. — Т. 14. — (Библиотека математического кружка).
↑ Gibson History 7 - Robert Simson (неопр.) (30 января 2008). Дата обращения: 2 октября 2019. Архивировано 9 октября 2016 года.
↑ College Geometry: An Introduction to the Modern Geometry of the Triangle and the Circle. Nathan Altshiller-Court. Mineola, New York: Dover Publication, Inc., 2012. - §648. Remark. P.273// https://books.google.ru/books?id=VXDWIOvqeaoC&pg=PA291&lpg=PA291&dq=In+geometry,+the+orthopole&source=bl&ots=doCvrYOPtl&sig=ACfU3U1vm-WH5Tr4sGC9cE52DCRf9qBjcA&hl=ru&sa=X&ved=2ahUKEwjq1ZWdiJDqAhWRrIsKHZF7BsYQ6AEwBnoECAoQAQ#v=onepage&q=In%20geometry%2C%20the%20orthopole&f=false Архивная копия от 30 июня 2020 на Wayback Machine
↑ Савелов, 1960.
↑ ¹ ² The Orthopole (неопр.) (21 января 2017). Дата обращения: 22 июня 2020. Архивировано 22 июня 2020 года.
↑ College Geometry: An Introduction to the Modern Geometry of the Triangle and the Circle. Nathan Altshiller-Court. (Параграф: G. The Orthopole. Пункт. 697. Теорема. Fig. 155. С.289-290). Mineola, New York: Dover Publication, Inc., 2012. 292 p.
↑ Todor Zaharinov, "The Simson triangle and its properties", Forum Geometricorum 17 (2017), 373-381. http://forumgeom.fau.edu/FG2017volume17/FG201736.pdf Архивная копия от 7 октября 2020 на Wayback Machine
↑ Tsukerman, Emmanuel. On Polygons Admitting a Simson Line as Discrete Analogs of Parabolas (англ.) // Forum Geometricorum^[англ.] : journal. — 2013. — Vol. 13. — P. 197—208. Архивировано 5 октября 2023 года.
↑ A Generalization of Simson Line (неопр.). Cut-the-knot (апрель 2015). Дата обращения: 2 октября 2019. Архивировано 28 августа 2019 года.
↑ Nguyen Van Linh (2016), "Another synthetic proof of Dao's generalization of the Simson line theorem" (PDF), Forum Geometricorum, 16: 57—61, Архивировано из оригинала (PDF) 22 декабря 2018, Дата обращения: 2 октября 2019
↑ Nguyen Le Phuoc and Nguyen Chuong Chi (2016). 100.24 A synthetic proof of Dao's generalisation of the Simson line theorem. The Mathematical Gazette, 100, pp 341-345. doi:10.1017/mag.2016.77. Архивная копия от 19 августа 2016 на Wayback Machine The Mathematical Gazette

Литература

Савелов А. А. Плоские кривые. Систематика, свойства, применения (Справочное руководство) / Под ред. А.П. Нордена. — М.: Физматлит, 1960.
В. Березин. Дельтоида (рус.) // Квант. — 1977. — № 3. — С. 19.
E. H. Lockwood. Chapter 8: The Deltoid // A Book of Curves (неопр.). — Cambridge University Press, 1961.
College Geometry: An Introduction to the Modern Geometry of the Triangle and the Circle. Nathan Altshiller-Court. Mineola, New York: Dover Publication, Inc., 2012. 292 p.// https://books.google.ru/books?id=VXDWIOvqeaoC&pg=PA291&lpg=PA291&dq=In+geometry,+the+orthopole&source=bl&ots=doCvrYOPtl&sig=ACfU3U1vm-WH5Tr4sGC9cE52DCRf9qBjcA&hl=ru&sa=X&ved=2ahUKEwjq1ZWdiJDqAhWRrIsKHZF7BsYQ6AEwBnoECAoQAQ#v=onepage&q=In%20geometry%2C%20the%20orthopole&f=false.— P. 140-149, 158, 165, 252, 273, 284, 288, 289

Ссылки

Simson Line at Interactive Geometry
Simson Line at cut-the-knot.org
Generalizations of some famous classical Euclidean geometry theorems
F. M. Jackson and Weisstein, Eric W. Simson Line (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
A generalization of Neuberg's theorem and the Simson-Wallace line at Dynamic Geometry Sketches, an interactive dynamic geometry sketch.

[1] Коксетер Г. С. М., Грейтцер С. П. Новые встречи с геометрией. — М.: Наука, 1978. — Т. 14. — (Библиотека математического кружка).

[2] Gibson History 7 - Robert Simson (неопр.) (30 января 2008). Дата обращения: 2 октября 2019. Архивировано 9 октября 2016 года.

[3] College Geometry: An Introduction to the Modern Geometry of the Triangle and the Circle. Nathan Altshiller-Court. Mineola, New York: Dover Publication, Inc., 2012. - §648. Remark. P.273// https://books.google.ru/books?id=VXDWIOvqeaoC&pg=PA291&lpg=PA291&dq=In+geometry,+the+orthopole&source=bl&ots=doCvrYOPtl&sig=ACfU3U1vm-WH5Tr4sGC9cE52DCRf9qBjcA&hl=ru&sa=X&ved=2ahUKEwjq1ZWdiJDqAhWRrIsKHZF7BsYQ6AEwBnoECAoQAQ#v=onepage&q=In%20geometry%2C%20the%20orthopole&f=false Архивная копия от 30 июня 2020 на Wayback Machine

[_9fc77424960fe092-4] Савелов, 1960.

[автоссылка1-5] ¹ ² The Orthopole (неопр.) (21 января 2017). Дата обращения: 22 июня 2020. Архивировано 22 июня 2020 года.

[6] College Geometry: An Introduction to the Modern Geometry of the Triangle and the Circle. Nathan Altshiller-Court. (Параграф: G. The Orthopole. Пункт. 697. Теорема. Fig. 155. С.289-290). Mineola, New York: Dover Publication, Inc., 2012. 292 p.

[TZ-7] Todor Zaharinov, "The Simson triangle and its properties", Forum Geometricorum 17 (2017), 373-381. http://forumgeom.fau.edu/FG2017volume17/FG201736.pdf Архивная копия от 7 октября 2020 на Wayback Machine

[8] Tsukerman, Emmanuel. On Polygons Admitting a Simson Line as Discrete Analogs of Parabolas (англ.) // Forum Geometricorum^[англ.] : journal. — 2013. — Vol. 13. — P. 197—208. Архивировано 5 октября 2023 года.

[9] A Generalization of Simson Line (неопр.). Cut-the-knot (апрель 2015). Дата обращения: 2 октября 2019. Архивировано 28 августа 2019 года.

[10] Nguyen Van Linh (2016), "Another synthetic proof of Dao's generalization of the Simson line theorem" (PDF), Forum Geometricorum, 16: 57—61, Архивировано из оригинала (PDF) 22 декабря 2018, Дата обращения: 2 октября 2019

[NguyenLePhuocandNguyenChuongChi-11] Nguyen Le Phuoc and Nguyen Chuong Chi (2016). 100.24 A synthetic proof of Dao's generalisation of the Simson line theorem. The Mathematical Gazette, 100, pp 341-345. doi:10.1017/mag.2016.77. Архивная копия от 19 августа 2016 на Wayback Machine The Mathematical Gazette

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

PROFILPELAJAR.COM

Прямая Симсона

Содержание

Теорема Симсона

История

Свойства

Прямая Симсона и треугольник Морлея

Прямая Симсона и прямая Штейнера

Прямая Симсона и точка Фейербаха

Прямая Симсона и дельтоида

Прямая Симсона и ортополюс

Уравнение прямой Симсона

Вариации и обобщения

Примеры

Примечания

Литература

Ссылки

Read other articles:

مقاطعة البندقية

География Узбекистана

Dominican Order

National Register of Historic Places listings in DeSoto Parish, Louisiana

Kereta api uap Jaladara

Kerusuhan Koza

Rideau d'air

انتفاضة

Fouchécourt, Vosges

Abdul Latief (militer)

Human guise

Julus (millipede)

Masters of the Air

土库曼斯坦总统

Luis Nicolao

Naissance en 1907

Michel Drach

Alternative metal

Dorand AR

Grimmiaceae