Квадра́т (от лат. quadratus, четырёхугольный[1]) — правильный четырёхугольник, то есть плоский четырёхугольник, у которого все углы и все стороны равны. Каждый угол квадрата — прямой ( 90 ∘ ∘ --> ) {\displaystyle (90^{\circ })} [2].
Квадрат может быть однозначно охарактеризован разными способами[3][4].
Далее в этом разделе a {\displaystyle a} обозначает длину стороны квадрата, d {\displaystyle d} — длину диагонали, R {\displaystyle R} — радиус описанной окружности, r {\displaystyle r} — радиус вписанной окружности.
Диагонали квадрата равны, взаимно перпендикулярны, делятся точкой пересечения пополам и сами делят углы квадрата пополам (другими словами, являются биссектрисами внутренних углов квадрата). Длина каждой диагонали d = a 2 . {\displaystyle d=a{\sqrt {2}}.}
Периметр квадрата P {\displaystyle P} равен:
Центр описанной и вписанной окружностей квадрата совпадает с точкой пересечения его диагоналей.
Радиус вписанной окружности квадрата равен половине стороны квадрата:
Радиус описанной окружности квадрата равен половине диагонали квадрата:
Из этих формул следует, что площадь описанной окружности вдвое больше площади вписанной.
Площадь S {\displaystyle S} квадрата равна
Из формулы S = a 2 , {\displaystyle S=a^{2},} связывающей сторону квадрата с его площадью, видно, почему возведение числа во вторую степень традиционно называется «возведением в квадрат», а результаты такого возведения называются «квадратными числами» или просто квадратами. Аналогично корень 2-й степени называется квадратным корнем.
Квадрат имеет два замечательных свойства[5].
В прямоугольной системе координат уравнение квадрата с центром в точке { x 0 , y 0 } {\displaystyle \{x_{0},y_{0}\}} и диагоналями, параллельными осям координат (см. рисунок), может быть записано в виде[6]:
где R {\displaystyle R} — радиус описанной окружности, равный половине длины диагонали квадрата. Сторона квадрата тогда равна R 2 , {\displaystyle R{\sqrt {2}},} его диагональ равна 2 R , {\displaystyle 2R,} а площадь квадрата равна 2 R 2 . {\displaystyle 2R^{2}.}
Уравнение квадрата с центром в начале координат и сторонами, параллельными осям координат (см. рисунок), может быть представлено в одной из следующих форм:
С квадратами связаны ряд проблем, часть из которых до сих пор не имеет решения.
Квадрат обладает наибольшей осевой симметрией среди всех четырёхугольников. Он имеет:
Единичный квадрат используется как эталон единицы измерения площади, а также в определении площади произвольных плоских фигур. Фигуры, у которых можно определить площадь, называются квадрируемыми.
Теорема Пифагора первоначально формулировалась геометрически: площадь квадрата, построенного на гипотенузе, равна сумме площадей квадратов, построенных на катетах.
Квадратами являются грани куба — одного из пяти правильных многогранников.
В математической физике символ квадрата может означать «оператор Д’Аламбера» (даламбериан) — дифференциальный оператор второго порядка:
Из теоремы Бойяи — Гервина следует, что любой многоугольник равносоставлен квадрату, то есть его можно разрезать на конечное число частей, из которых составляется квадрат (и обратно)[8].
Графы: K4 полный граф часто изображается как квадрат с шестью рёбрами.
Мозаики, орнаменты и паркеты, содержащие квадраты, широко распространены.
Ряд символов имеют форму квадрата.
В Latex для вставки символа квадрата служат конструкции \Box или \square.
\Box
\square
В HTML, чтобы заключить произвольный текст в квадрат или прямоугольник, можно использовать конструкцию:
Квадрат можно рассматривать как двумерный гиперкуб.
В неевклидовой геометрии квадрат (в более широком смысле) — многоугольник с четырьмя равными сторонами и равными углами. По величине этих углов можно судить о кривизне плоскости — в евклидовой геометрии и только в ней углы прямые, в сферической геометрии углы сферического квадрата больше прямого, в геометрии Лобачевского — меньше.
Lokasi Pengunjung: 18.218.183.18