Диэдр

Множество правильных n-угольных диэдров
Пример шестиугольного диэдра на сфере
Пример шестиугольного диэдра на сфере
Тип правильный многогранник, сферическая мозаика
Комбинаторика
Элементы
n рёбер
n вершин
Грани 2 n-угольника
Конфигурация вершины n.n
Двойственный многогранник осоэдр
Классификация
Символ Шлефли {n,2}
Символ Витхоффа[англ.] 2 | n 2
Диаграмма Дынкина node_1nnode2xnode
Группа симметрии Dnh, [2,n], (*22n), порядок 4n
Dn, [2,n]+, (22n), порядок 2n
Логотип Викисклада Медиафайлы на Викискладе

Диэдр — вид многогранника, состоящего из двух многоугольных граней, имеющих общий набор рёбер. В трёхмерном евклидовом пространстве он является вырожденным, если его грани плоские, в то время как в трёхмерном сферическом пространстве[англ.] диэдр с плоскими гранями может рассматриваться как линза, примером которой является фундаментальная область линзового пространства L(p,q) [1].

Обычно правильный диэдр подразумевается состоящим из двух правильных многоугольников, и это даёт ему символ Шлефли {n,2}. Каждый многоугольник заполняет полусферу с правильным n-угольником на большом круге (экваторе) между ними [2].

Двойственным многогранником n-угольного диэдра является n-угольный осоэдр, в котором n двуугольных граней имеют две общие вершины.

Как многогранник

Диэдр можно считать вырожденной призмой, состоящей из двух (плоских) n-сторонних многоугольников, соединённых внутренними сторонами, так что результирующий объект имеет нулевую высоту.

Как мозаика на сфере

Как сферическая мозаика диэдр может существовать в невырожденном виде с n-сторонними гранями, покрывающими сферу. Каждая грань этого диэдра является полусферой с вершинами на большом круге. (Грань правильная, если вершины находятся на равном расстоянии друг от друга.)

Правильный многогранник {2,2} самодвойственен и является одновременно осоэдром и диэдром.

Правильные диэдры: (мозаики сферы)
Рисунок
Шлефли {2,2} {3,2} {4,2} {5,2} {6,2}…
Коксетер node_12xnode2xnode node_13node2xnode node_14node2xnode node_15node2xnode node_16node2xnode
Грани 2 {2} 2 {3} 2 {4} 2 {5} 2 {6}
Рёбра и
вершины 		2 3 4 5 6

Бесконечноугольный диэдр

В пределе диэдр становится бесконечноугольным диэдром[англ.] в виде 2-мерной мозаики:

Дитоп

Правильный дитоп — это n-мерный аналог диэдра с символом Шлефли {p, … q, r,2}. Дитоп имеет две (n-1)-мерной грани {p, … q, r}, которые имеют общую (n-12)-мерную грань.

См. также

Примечания

  1. ↑ Gausmann и др., 2001, с. 5155–5186.
  2. ↑ Coxeter, 1973, с. 12.

Литература

  • Evelise Gausmann, Roland Lehoucq, Jean-Pierre Luminet, Jean-Philippe Uzan, Jeffrey Weeks. Topological Lensing in Spherical Spaces // Classical and Quantum Gravity. — 2001. — Т. 18. — doi:10.1088/0264-9381/18/23/311. — arXiv:gr-qc/0106033.
  • Peter McMullen, Egon Schulte. Abstract Regular Polytopes. — 1st. — Cambridge University Press, 2002. — ISBN 0-521-81496-0.
  • H.S.M. Coxeter. Regular Polytopes. — 3rd. — New York: Dover Publications Inc., 1973. — ISBN 0-486-61480-8.
  • Weisstein, Eric W. Dihedron (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.