Упомянутые выше три многогранника являются нетривиальными выпуклыми куполами с правильными гранями. «Шестиугольный купол» является плоской фигурой, а треугольную призму может считать «куполом» степени 2 (купол отрезка и квадрата). Однако куполы с большим числом сторон многоугольников могут быть построены только с неправильными треугольными и прямоугольными гранями.
Координаты вершин
Определение купола не требует правильности основания и верхней грани, но удобно рассматривать случаи, в которых куполы имеют максимальную симметрию, Cnv. В этом случае верхняя грань является правильным n-угольником, в то время как основание является правильным 2n-угольником, либо 2n-угольником с двумя различными длинами сторон (через одну) и теми же углами, что и у правильного 2n- угольника. Удобно расположить купол в координатной системе так, чтобы его основание лежало в плоскости xy с верхней гранью, параллельной этой плоскости. Ось z является осью симметрии порядка n, зеркальные плоскости проходят через эту ось и делят стороны основания пополам. Они также делят пополам стороны или углы верхней грани, или и то, и другое. (Если n чётно, половина зеркал делит пополам стороны, половина — углы. Если же n нечётно, каждое зеркало делит пополам одну сторону и один угол верхней грани.) Пронумеруем вершины основания числами от V1 до V2n, а вершины верхней грани — числами от V2n+1 до V3n. Координаты вершин тогда можно записать следующим образом:
V2j−1: (rb cos[2π(j − 1) / n + α], rb sin[2π(j − 1) / n + α], 0)
V2j: (rb cos(2πj / n − α), rb sin(2πj / n − α), 0)
V2n+j: (rt cos(πj / n), rt sin(πj / n), h),
где j = 1, 2, …, n.
Поскольку многоугольники V1V2V2n+2V2n+1, и т. д. являются прямоугольниками, на значения rb, rt и α накладываются ограничения. Расстояние V1V2 равно
rb{[cos(2π / n − α) − cos α]2 + [sin(2π / n − α) − sin α]2}1⁄2
= rb{[cos2(2π / n − α) − 2cos(2π / n − α)cos α + cos2 α] + [sin2(2π / n − α) − 2sin(2π / n − α)sin α + sin2 α]}1⁄2
= rb{2[1 − cos(2π / n − α)cos α − sin(2π / n − α)sin α]}1⁄2
Звёздчатые куполы существуют для всех оснований {n/d}, где 6/5 < n/d < 6 и d нечётно. На границах куполы превращаются в плоские фигуры. Если d чётно, нижнее основание {2n/d} становится вырожденным — мы можем образовать куполоид или полукупол путём удаления этой вырожденной грани и позволив треугольникам и квадратам соединяться друг с другом. В частности, тетрагемигексаэдр можно рассматривать как {3/2}-куполоид. Все куполы ориентированны[англ.], в то время как все куполоиды неориентированны. Если n/d > 2 для куполоида, треугольники и квадраты не покрывают всё основание и маленькая мембрана остаётся на основании, которая просто закрывает дыру. Таким образом, куполоиды {5/2} и {7/2} на рисунке выше имеют мембраны (не заполнены), в то время как куполоиды {5/4} и {7/4} их не имеют.
Высота h купола {n/d} или куполоида задаётся формулой
. В частности, h = 0 на границах n/d = 6 и n/d = 6/5, и h максимально при n/d = 2 (треугольная призма, где треугольники расположены вертикально)[1][2].
На рисунках выше звёздчатые куполы показаны в цветах, чтобы подчеркнуть их грани — грань n/d-угольника показана красным, грань 2n/d-угольника показана жёлтым, квадраты представлены синим цветом, а треугольники — зелёным. Куполоиды имеют красные n/d-угольные грани, жёлтые квадратные грани, а треугольные грани выкрашены в голубой цвет, второе же основание удалено.
Гиперкуполы
Гиперкуполы или многогранные куполы — это семейство выпуклых неоднородных четырёхмерных многогранников, аналогичных куполам. Основаниями каждого такого многогранника являются правильный многогранник (трёхмерный) и его растяжение[3].
В таблице используется понятие Сегментогранник (англ. Segmentochora)
— это фигура, удовлетворяющая следующим свойствам:
1. все вершины находятся на одной гиперсфере
2. все вершины находятся на двух параллельных гиперплоскостях
3. все рёбра имеют длину 1
В плоскости существует два сегментогранника (сегментоугольника) — правильный треугольник и квадрат.
В 3-мерном пространстве они включают пирамиды, призмы, антипризмы, купола.
