Проекция вращающегося шестисотячейника в трёхмерное пространство Развёртка Пра́вильный шестисотяче́йник , или просто шестисотяче́йник [ 1] гекзакосихор (от др.-греч. ἑξἀκόσιοι χώρος правильных многоячейников в четырёхмерном пространстве . Двойственен стодвадцатиячейнику .
Открыт Людвигом Шлефли в середине 1850-х годов[ 2] Символ Шлефли шестисотячейника — {3,3,5}.
Ограничен 600 трёхмерными ячейками — одинаковыми правильными тетраэдрами . Угол между двумя смежными ячейками равен
arccos
-->
(
− − -->
1
+
3
5
8
)
≈ ≈ -->
164
,
48
∘ ∘ -->
.
{\displaystyle \arccos \left(-{\frac {1+3{\sqrt {5}}}{8}}\right)\approx 164{,}48^{\circ }.}
Его 1200 двумерных граней — одинаковые правильные треугольники . Каждая грань разделяет 2 примыкающие к ней ячейки.
Имеет 720 рёбер равной длины. На каждом ребре сходятся по 5 граней и по 5 ячеек.
Имеет 120 вершин. В каждой вершине сходятся по 12 рёбер, по 30 граней и по 20 ячеек.
Шестисотячейник можно разместить в декартовой системе координат так, чтобы:
8 из его вершин имели координаты
(
± ± -->
2
;
0
;
0
;
0
)
,
{\displaystyle (\pm 2;0;0;0),}
(
0
;
± ± -->
2
;
0
;
0
)
,
{\displaystyle (0;\pm 2;0;0),}
(
0
;
0
;
± ± -->
2
;
0
)
,
{\displaystyle (0;0;\pm 2;0),}
(
0
;
0
;
0
;
± ± -->
2
)
{\displaystyle (0;0;0;\pm 2)}
шестнадцатиячейника ); ещё 16 вершин — координаты
(
± ± -->
1
;
± ± -->
1
;
± ± -->
1
;
± ± -->
1
)
{\displaystyle (\pm 1;\pm 1;\pm 1;\pm 1)}
тессеракта ; кроме того, вместе с 8 предыдущими они дают вершины двадцатичетырёхячейника ); координаты остальных 96 вершин были всевозможными чётными перестановками чисел
(
± ± -->
Φ Φ -->
;
± ± -->
1
;
± ± -->
Φ Φ -->
− − -->
1
;
0
)
,
{\displaystyle (\pm \Phi ;\pm 1;\pm \Phi ^{-1};0),}
Φ Φ -->
=
1
+
5
2
{\displaystyle \Phi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}
золотого сечения (эти вершины расположены так же, как вершины курносого двадцатичетырёхъячейника ). Начало координат
(
0
;
0
;
0
;
0
)
{\displaystyle (0;0;0;0)}
трёхмерных гиперсфер .
Если шестисотячейник имеет ребро длины
a
,
{\displaystyle a,}
гиперобъём и трёхмерная гиперплощадь поверхности выражаются соответственно как
V
4
=
25
4
(
2
+
5
)
a
4
≈ ≈ -->
26,475
4249
a
4
,
{\displaystyle V_{4}={\frac {25}{4}}\left(2+{\sqrt {5}}\right)a^{4}\approx 26{,}4754249a^{4},}
S
3
=
50
2
a
3
≈ ≈ -->
70,710
6781
a
3
.
{\displaystyle S_{3}=50{\sqrt {2}}a^{3}\approx 70{,}7106781a^{3}.}
Радиус описанной трёхмерной гиперсферы (проходящей через все вершины многоячейника) при этом будет равен
R
=
Φ Φ -->
a
=
1
2
(
1
+
5
)
a
≈ ≈ -->
1,618
0340
a
,
{\displaystyle R=\Phi a={\frac {1}{2}}\left(1+{\sqrt {5}}\right)a\approx 1{,}6180340a,}
радиус внешней полувписанной гиперсферы (касающейся всех рёбер в их серединах) —
ρ ρ -->
1
=
1
2
5
+
2
5
a
≈ ≈ -->
1,538
8418
a
,
{\displaystyle \rho _{1}={\frac {1}{2}}{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}\;a\approx 1{,}5388418a,}
радиус внутренней полувписанной гиперсферы (касающейся всех граней в их центрах) —
ρ ρ -->
2
=
1
6
(
15
+
3
3
)
a
≈ ≈ -->
1,511
5226
a
,
{\displaystyle \rho _{2}={\frac {1}{6}}\left({\sqrt {15}}+3{\sqrt {3}}\right)a\approx 1{,}5115226a,}
радиус вписанной гиперсферы (касающейся всех ячеек в их центрах) —
r
=
1
4
(
10
+
2
2
)
a
≈ ≈ -->
1,497
6762
a
.
{\displaystyle r={\frac {1}{4}}\left({\sqrt {10}}+2{\sqrt {2}}\right)a\approx 1{,}4976762a.}
Многоугольники Звёздчатые многоугольники Паркеты на плоскости Правильные многогранники сферические паркеты Многогранники Кеплера — Пуансо Соты Четырёхмерные многогранники
{3,3,3} {4,3,3} {3,3,4} {3,4,3} {5,3,3} {3,3,5}
