Гипотеза Тёплица

Пунктирная кривая проходит через вершины нескольких квадратов

Гипотеза Тёплица, также известная как гипотеза о вписанном квадрате — нерешённая проблема геометрии. Формулировка гипотезы:

На всякой замкнутой плоской жордановой кривой можно отыскать четыре точки, лежащие в вершинах квадрата.

Гипотеза Тёплица верна для выпуклых кривых, кусочно-гладких кривых и в других специальных случаях. Проблема была сформулирована Отто Тёплицем в 1911 году[1]. Ранние положительные результаты были получены Арнольдом Эмчем[2] и Львом Шнирельманом[3]. Для гладких кривых задача решена.[4]

Описание

Пусть C — кривая Жордана. Многоугольник P вписан в C , если все вершины P принадлежат C. Проблема вписанного квадрата заключается в следующем:

Можно ли на каждой кривой Жордана отыскать вписанный квадрат?

При этом не требуется, чтобы вершины квадрата находились в каком-либо определённом порядке.

Для некоторых кривых, например, для окружности и квадрата, можно указать бесконечно много вписанных квадратов. В тупоугольный треугольник можно вписать ровно один квадрат.

Вальтер Стромквист доказал, что в каждую локально монотонную простую плоскую кривую можно вписать квадрат[5]. Доказательство применимо к кривым C, обладающим свойством локальной монотонности: для любой точки p, лежащей на C, существует такая окрестность U(p), что ни одна хорда C в этой окрестности не является параллельной заданному направлению n(p) (направлению оси ординат). К локально монотонным кривым относятся все выпуклые кривые и все кусочно-заданные непрерывно дифференцируемые кривые без точек возврата.

Утвердительный ответ также известен для центрально симметричных кривых[6].

Варианты и обобщения

Известно, что для любого заданного треугольника T и жордановой кривой C существует треугольник, подобный T и вписанный в C[7][8]. Более того, множество вершин таких треугольников является плотным в C[9]. В частности, всегда существует вписанный равносторонний треугольник. Также в любую жорданову кривую можно вписать прямоугольник.

В некоторых обобщениях проблемы вписанного квадрата рассматриваются вписанные в кривые многоугольники. Существуют также обобщения для многомерных евклидовых пространств. Так, Стромквист доказал, что в любую непрерывную замкнутую кривую , удовлетворяющую «условию A», можно вписать четырёхугольник с равными сторонами и равными диагоналями; «условие A» заключается в том, что никакие две хорды C в соответствующей окрестности любой точки не должны быть перпендикулярными[5]. Этот класс кривых включает все кривые C2. Нильсен и Райт доказали, что любой симметричный континуум содержит вписанные прямоугольники[6]. Генрих Гуггенхаймер доказал, что любая гиперповерхность, C3-диффеоморфная сфере Sn−1, содержит 2n вершин правильного евклидова гиперкуба[10].

Примечания

  1. ↑ Toeplitz, O. : Ueber einige aufgaben der analysis situs Verhandlungen der Schweizerischen Naturforschenden Gesellschaft in Solothurn, 94 (1911), p. 197.
  2. ↑ Emch, Arnold (1916), "On some properties of the medians of closed continuous curves formed by analytic arcs", American Journal of Mathematics, 38 (1): 6–18, doi:10.2307/2370541, MR 1506274
  3. ↑ Лев Шнирельман. О некоторых геометрических свойствах замкнутых кривых // УМН. — 1944. — Т. 10. — С. 34—44.
  4. ↑ The Rectangular Peg Problem, 2020-05-19, Архивировано 27 июня 2020, Дата обращения: 26 июня 2020 Источник. Дата обращения: 26 июня 2020. Архивировано 27 июня 2020 года.
  5. ↑ 1 2 Stromquist, Walter (1989), "Inscribed squares and square-like quadrilaterals in closed curves", Mathematika, 36 (2): 187–197, doi:10.1112/S0025579300013061, MR 1045781
  6. ↑ 1 2 Nielsen, Mark J.; Wright, S. E. (1995), "Rectangles inscribed in symmetric continua", Geometriae Dedicata, 56 (3): 285–297, doi:10.1007/BF01263570, MR 1340790
  7. ↑ Meyerson, Mark D. (1980), "Equilateral triangles and continuous curves", Fundamenta Mathematicae, 110 (1): 1–9, MR 0600575.
  8. ↑ Kronheimer, E. H.; Kronheimer, P. B. (1981), "The tripos problem", Journal of the London Mathematical Society, Second Series, 24 (1): 182–192, doi:10.1112/jlms/s2-24.1.182, MR 0623685
  9. ↑ Nielsen, Mark J. (1992), "Triangles inscribed in simple closed curves", Geometriae Dedicata, 43 (3): 291–297, doi:10.1007/BF00151519, MR 1181760
  10. ↑ Guggenheimer, H. (1965), "Finite sets on curves and surfaces", Israel Journal of Mathematics, 3: 104–112, doi:10.1007/BF02760036, MR 0188898

Дополнительная литература

Внешние ссылки