PROFILPELAJAR.COM

Отрезок AB (выделен красным)

Отре́зком называются два близких понятия: в геометрии и математическом анализе.

Отрезок в геометрии

В евклидовом пространстве отрезок прямой — часть прямой, ограниченная двумя точками. Точнее: это множество, состоящее из двух различных точек данной прямой (которые называются концами отрезка) и всех точек, лежащих между ними (которые называются его внутренними точками). Отрезок, концами которого являются точки $A$ и $B$ , обозначается символом $AB$ . Расстояние между концами отрезка называют его длиной и обозначают $AB$ или $|AB|$ .

Направленный отрезок

Обычно у отрезка прямой неважно, в каком порядке рассматриваются его концы: то есть отрезки $AB$ и $BA$ представляют собой один и тот же отрезок. Если у отрезка определить направление, то есть порядок перечисления его концов, то такой отрезок называется направленным, или вектором. Например, направленные отрезки $AB$ и $BA$ не совпадают. Отдельного обозначения для направленных отрезков нет — то, что у отрезка важно его направление, обычно указывается особо.

Это приводит к понятию свободного вектора — класса всех возможных векторов, отличающихся друг от друга только параллельным переносом, которые принимаются равными.

Отрезок числовой прямой

Отрезок числовой (координатной) прямой (иначе числовой отрезок, сегмент) — множество вещественных чисел $\{x\}$ , удовлетворяющих неравенству $a\leq x\leq b$ , где заранее заданные вещественные числа $a$ и $b$ $(a<b)$ называются концами (граничными точками) отрезка. В противоположность им, остальные числа $x$ , удовлетворяющие неравенству $a<x<b$ , называются внутренними точками отрезка^[1].

Отрезок обычно обозначается $[a,b]$ :

[a,b]=\{x\in \mathbb {R} \mid a\leq x\leq b\}

.

Любой отрезок, по определению, заведомо включён в множество вещественных чисел. Отрезок является замкнутым промежутком.

Число $|a-b|=b-a$ называется длиной числового отрезка $[a,b]$ .

Стягивающаяся система сегментов

Система сегментов — это бесконечная последовательность элементов множества отрезков на числовой прямой $\{[a,b]|a,b\in \mathbb {R} \land a<b\}$ .

Система сегментов обозначается $\{[a_{n},b_{n}]\}_{n=1}^{\infty }$ . Подразумевается, что каждому натуральному числу $n$ поставлен в соответствие отрезок $[a_{n},b_{n}]$ .

Система сегментов $\{[a_{n},b_{n}]\}_{n=1}^{\infty }$ называется стягивающейся, если^[2]

каждый следующий отрезок содержится в предыдущем;
$\forall n\in \mathbb {N} \colon [a_{n+1},b_{n+1}]\subseteq [a_{n},b_{n}]$
соответствующая последовательность длин отрезков бесконечно мала.
$\lim _{n\to \infty }(b_{n}-a_{n})=0$

У любой стягивающейся системы сегментов существует единственная точка, принадлежащая всем сегментам этой системы.

\forall \{[a_{n},b_{n}]\}_{n=1}^{\infty }~\exists !c\in \mathbb {R} ~\forall n\in N\colon c\in [a_{n},b_{n}],

где

\forall

— квантор всеобщности.

Этот факт следует из свойств монотонной ограниченной последовательности^[3].

См. также

Примечания

↑ В. А. Ильин, В. А. Садовничий, Бл. Х. Сендов. Глава 2. Вещественные числа // Математический анализ / Под ред. А. Н. Тихонова. — 3-е изд., перераб. и доп. — М.: Проспект, 2006. — Т. 1. — С. 53. — 672 с. — ISBN 5-482-00445-7. Архивировано 23 июня 2015 года.
↑ В. А. Ильин, В. А. Садовничий, Бл. Х. Сендов. Глава 3. Теория пределов // Математический анализ / Под ред. А. Н. Тихонова. — 3-е изд., перераб. и доп. — М.: Проспект, 2006. — Т. 1. — С. 68—105. — 672 с. — ISBN 5-482-00445-7. Архивировано 23 июня 2015 года.
↑ Хинчин А. Я. Восемь лекций по математическому анализу. — М.-Л., Гостехиздат, 1948. — с. 30-31