Промежуток^[1], или, если более точно, промежуток числовой прямой, — это множество вещественных чисел — таких, что если некоторые два числа принадлежат этому множеству, то любое число, лежащее между ними, тоже принадлежит этому множеству^[2]. С использованием логических символов это определение можно записать так:

множество ${\displaystyle X\subseteq \mathbb {R} }$ является промежутком, только если

${\displaystyle \forall x\forall y\forall z{\big (}(x\in X)\wedge (z\in X)\wedge (x<y<z)\Rightarrow y\in X{\big )},}$

где ${\displaystyle \forall }$ — квантор всеобщности. В качестве примеров промежутков можно привести следующие множества:

${\displaystyle {\begin{aligned}X_{1}&=\{x\in \mathbb {R} \colon 0\leqslant x\leqslant 1\},&X_{2}&=\{x\in \mathbb {R} \colon 0\leqslant x<1\},&X_{3}&=\{x\in \mathbb {R} \colon 0<x\leqslant 1\},\\X_{4}&=\{x\in \mathbb {R} \colon 0<x<1\},&X_{5}&=\{x\in \mathbb {R} \colon x>0\},&X_{6}&=\{x\in \mathbb {R} \colon x<1\},\\X_{7}&=\mathbb {R} ,&X_{8}&=\varnothing .\end{aligned}}}$

Конечный промежуток состоит из множества чисел, заключённых между двумя числами ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$ — концами промежутка, которые сами могут быть включены в его состав, или нет^[1]. Если a ≤ b, то длиной такого промежутка называется число ${\displaystyle |a-b|=|b-a|=b-a}$.

Если ${\displaystyle a\leqslant b,a\in \mathbb {R} ,b\in \mathbb {R} }$, то промежуток ${\displaystyle \{x\in \mathbb {R} \colon a\leqslant x\leqslant b\}}$ называется сегментом^[3] или числовым отрезком и обозначается ${\displaystyle [a,b]}$:

${\displaystyle [a,b]\ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ \{x\in \mathbb {R} \colon a\leqslant x\leqslant b\}.}$

В случае ${\displaystyle a=b}$ отрезок вырождается в множество из одной точки (в синглетон).

Если ${\displaystyle a<b,a\in \mathbb {R} ,b\in \mathbb {R} }$, то промежуток ${\displaystyle \{x\in \mathbb {R} \colon a<x<b\}}$ называется интервалом и обозначается ${\displaystyle (a,b)}$:

${\displaystyle (a,b)\ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ \{x\in \mathbb {R} \colon a<x<b\}.}$

Для обозначения открытого промежутка вместо ${\displaystyle (a,b)}$ нередко используют обозначение ${\displaystyle ]a,b[}$ с подачи Н. Бурбаки.

Промежутки

${\displaystyle [a,b)\ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ \{x\in \mathbb {R} \colon a\leqslant x<b\},\quad (a,b]\ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ \{x\in \mathbb {R} \colon a<x\leqslant b\}}$

называются полусегментами (не дополненными до сегмента) или полуинтервалами.

Бесконечные промежутки

${\displaystyle \{x\in \mathbb {R} \colon x\geqslant a\},\quad \{x\in \mathbb {R} \colon x>a\},\quad \{x\in \mathbb {R} \colon x\leqslant b\},\quad \{x\in \mathbb {R} \colon x<b\}\quad }$и${\displaystyle \quad \mathbb {R} }$

с положительной или с отрицательной стороны не ограничены каким-либо вещественным числом. В этом случае удобно считать, что у этих промежутков одним из концов или обоими концами служат несобственные числа ${\displaystyle -\infty }$ и ${\displaystyle +\infty }$, полагая, что для любого вещественного числа ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$ справедливо соотношение ${\displaystyle -\infty <x<+\infty }$. Обозначения и наименования бесконечных промежутков аналогичны тем названиям, какие они есть для конечных промежутков. Например, вышенаписанные множества можно переписать соответственно как

${\displaystyle [a,+\infty ),\quad (a,+\infty ),\quad (-\infty ,b],\quad (-\infty ,b),\quad (-\infty ,+\infty ),}$

при этом из-за того, что ${\displaystyle -\infty }$ и ${\displaystyle +\infty }$ по определению не входят в ${\displaystyle \mathbb {R} ,}$ они не включаются в эти множества.

Пустое множество ${\displaystyle \varnothing }$ также является промежутком, тривиально попадая под его определение:

${\displaystyle [b,a]=(b,a)=[b,a)=(b,a]=(a,a)=[a,a)=(a,a]=\varnothing ,}$

где a < b.

Множество вещественных чисел ${\displaystyle \mathbb {R} }$, дополненное элементами ${\displaystyle +\infty }$ и ${\displaystyle -\infty }$, называется расширенной (точнее, аффинно расширенной, чтобы отличать от проективно расширенной прямой) числовой прямой и обозначается ${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}}$, то есть

${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}=\mathbb {R} \cup \{-\infty ,+\infty \}=[-\infty ,+\infty ].}$

При этом для любого вещественного числа ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$ по определению полагают выполненными неравенства

${\displaystyle -\infty <x,\quad x<+\infty ,\quad -\infty <+\infty }$

Для расширенной числовой прямой тоже вводят понятия промежутков — отрезков, интервалов, полуинтервалов^[1]. В отличие от соответствующих промежутков числовой прямой, они могут содержать элементы ${\displaystyle \pm \infty }$. Например, ${\displaystyle (a,+\infty ]=(a,+\infty )\cup {\{+\infty \}}}$.

В русском языке слова промежуток и интервал соответствуют одному английскому слову interval. В англоязычной литературе^[4] и в переводах иностранных книг, а также в некоторых других книгах на русском языке используется следующая терминология:

${\displaystyle [a,b]=\{x\in \mathbb {R} \colon a\leqslant x\leqslant b\}}$ — замкнутый интервал (англ. closed interval),

${\displaystyle (a,b)=\{x\in \mathbb {R} \colon a<x<b\}}$ — открытый интервал (англ. open interval),

${\displaystyle [a,b)=\{x\in \mathbb {R} \colon a\leqslant x<b\}}$ или ${\displaystyle (a,b]=\{x\in \mathbb {R} \colon a<x\leqslant b\}}$ — полуоткрытый (или полузамкнутый) интервал (англ. half-open interval/half-closed interval).

То есть в такой терминологии они все называются интервалами, но только разного типа.

В более старой русскоязычной литературе^[5] вместо «интервал» используется слово промежуток: замкнутый промежуток, открытый промежуток, полуоткрытый (или полузамкнутый) промежуток.

Однако, особенно в учебной литературе, где наибольшее количество теорем для функций на компактных множествах, для замкнутого промежутка предпочтительным считают использовать отдельное название в одно слово — сегмент^[3] (термин «отрезок» имеет скорее геометрический оттенок, как и «промежуток числовой прямой»). В этом случае термин «интервал» закрепляется только за открытым промежутком.

См. также открытые и замкнутые множества.

Известная теорема Больцано — Коши о промежуточных значениях непрерывной функции гласит: образ любого промежутка при непрерывном отображении тоже является промежутком. У этой теоремы есть обобщение на случай произвольных топологических пространств: образ связного множества при непрерывном отображении связен. Числовые промежутки, и притом только они, как раз и являются связными подмножествами ${\displaystyle \mathbb {R} }$.

На практике промежуток нередко характеризует интервал возможных значений (приближённо) измеренной величины. На множестве таких промежутков можно определить арифметические операции. Тогда результату вычислений над величинами можно сопоставить соответствующие вычисления над их интервалами, задающие в итоге интервал возможных значений для результата.

Промежутки числовой прямой, а также прямоугольники на плоскости, прямоугольные параллелепипеды в пространстве и т. п. являются одним из основных объектов, на которых основывается теория меры, поскольку они являются простейшими множествами, меру которых (длину, площадь, объем и т. п.) легко определить.

Обобщением промежутка числовой прямой является понятие связного топологического пространства. На числовой прямой всякое связное множество есть промежуток, и обратно, любой промежуток есть связное множество.

Также промежуток числовой прямой лежит в основе другого, более специального понятия линейной связности. Во множестве вещественных чисел ${\displaystyle \mathbb {R} }$, а также в евклидовом пространстве ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ произвольной размерности ${\displaystyle n}$ понятия связности и линейной связности совпадают.

Другим обобщением понятия промежутка числовой прямой является понятие выпуклого множества.

В самом общем случае понятие промежутка можно ввести на любом множестве, на котором введено отношение порядка ${\displaystyle <}$.

• Интервальная арифметика
• Отрезок