Монотонная последовательность — это последовательность, элементы которой с увеличением номера не возрастают, или, наоборот, не убывают. Подобные последовательности часто встречаются при исследованиях и имеют ряд отличительных особенностей и дополнительных свойств. Последовательность из одного числа не может считаться возрастающей или убывающей.
Пусть имеется множество X {\displaystyle X} , на котором введено отношение порядка.
Последовательность { x n } {\displaystyle \{x_{n}\}} элементов множества X {\displaystyle X} называется неубывающей, если каждый элемент этой последовательности не превосходит следующего за ним.
Последовательность { x n } {\displaystyle \{x_{n}\}} элементов множества X {\displaystyle X} называется невозрастающей, если каждый следующий элемент этой последовательности не превосходит предыдущего.
Последовательность { x n } {\displaystyle \{x_{n}\}} элементов множества X {\displaystyle X} называется возрастающей, если каждый следующий элемент этой последовательности превышает предыдущий.
Последовательность { x n } {\displaystyle \{x_{n}\}} элементов множества X {\displaystyle X} называется убывающей, если каждый элемент этой последовательности превышает следующий за ним.
Последовательность называется монотонной, если она является неубывающей, либо невозрастающей.[1]
Последовательность называется строго монотонной, если она является возрастающей, либо убывающей.
Очевидно, что строго монотонная последовательность является монотонной.
Иногда используется вариант терминологии, в котором термин «возрастающая последовательность» рассматривается в качестве синонима термина «неубывающая последовательность», а термин «убывающая последовательность» — в качестве синонима термина «невозрастающая последовательность». В таком случае возрастающие и убывающие последовательности из вышеприведённого определения называются «строго возрастающими» и «строго убывающими», соответственно.
Может оказаться, что вышеуказанные условия выполняются не для всех номеров n ∈ ∈ --> N {\displaystyle n\in \mathbb {N} } , а лишь для номеров из некоторого диапазона
(здесь допускается обращение правой границы N + {\displaystyle N_{+}} в бесконечность). В этом случае последовательность называется монотонной на промежутке I {\displaystyle I} , а сам диапазон I {\displaystyle I} называется промежутком монотонности последовательности.
Lokasi Pengunjung: 3.12.162.24