Моното́нная фу́нкция — функция одной переменной, определённая на некотором подмножестве действительных чисел, которая либо везде (на области своего определения) не убывает, либо везде не возрастает. Более точно, это функция f {\displaystyle f} , приращение которой Δ Δ --> f = f ( x ′ ) − − --> f ( x ) {\displaystyle \Delta f=f(x')-f(x)} при Δ Δ --> x = ( x ′ − − --> x ) > 0 {\displaystyle \Delta x=(x'-x)>0} не меняет знака, то есть либо всегда неотрицательное, либо всегда неположительное[1]. Если в дополнение приращение Δ Δ --> f {\displaystyle \Delta f} не равно нулю, то функция называется стро́го моното́нной.
Функция называется возраста́ющей, если большему значению аргумента соответствует не меньшее (по другой терминологии — большее) значение функции. Функция называется убыва́ющей, если большему значению аргумента соответствует не большее (по другой терминологии — меньшее) значение функции.
Пусть дана функция f : M ⊂ ⊂ --> R → → --> R . {\displaystyle f:M\subset \mathbb {R} \to \mathbb {R} .} Тогда
(Строго) возрастающая или убывающая функция называется (строго) монотонной.
Более естественно, когда под терминами возрастающая (убывающая) функция подразумеваются строго возрастающая (убывающая) функция. Тогда про нестрого возрастающую (убывающую) функцию говорят, неубывающая (невозрастающая)[2]:
Данная терминология более лаконична.
Обратное, вообще говоря, неверно. Производная строго монотонной функции может обращаться в ноль. Однако, множество точек, где производная не равна нулю, должно быть плотно на интервале ( a , b ) . {\displaystyle (a,b).} Точнее имеет место
Аналогично, f {\displaystyle f} строго убывает на интервале ( a , b ) {\displaystyle (a,b)} тогда и только тогда, когда выполнены следующие два условия:
Lokasi Pengunjung: 18.117.78.76