Семиугольная мозаика

Семиугольная мозаика
Семиугольная мозаика
Тип Гиперболическая
правильная мозаика[англ.]
Вершинная фигура 73
Символ Шлефли {7,3}
Символ Витхоффа[англ.] 7 2
Диаграмма Коксетера node_17node3node
Группа симметрии [7,3], (*732)
Двойственный
многогранник		 Треугольная мозаика
порядка 7[англ.]
Свойства Вершинно транзитивна,
рёберно транзитивна[англ.],
транзитивна по граням[англ.]

Семиугольная мозаика — правильная мозаика на гиперболической плоскости. Она представляется cимволом Шлефли {7,3} и имеет три правильных семиугольника в каждой вершине.

Иллюстрации


Модель полуплоскости Пуанкаре
Дисковая модель Пуанкаре
Модель Клейна

Связанные многогранники и мозаики

Эта мозаика имеет топологическую связь с правильными многогранниками как член последовательности правильных многогранников с cимволом Шлефли {n,3}.

*n32 варианты симметрии правильных мозаик: n3 или {n,3}
Сферические Евклидовы Компактные
гиперболические. 		Параком-
пактные. 		Некомпактные гиперболические.
{2,3} {3,3} {4,3} {5,3} {6,3} {7,3} {8,3} {∞,3} {12i,3} {9i,3} {6i,3} {3i,3}

Из построения Витхоффа следует, что существует восемь гиперболических однородных мозаик[англ.], базирующихся на правильной семиугольной мозаике.

Если раскрасить в мозаике красным исходные грани, жёлтым исходные вершины, а синим исходные рёбра, имеется 8 форм.

Поверхности Гурвица

Группа симметрии семиугольной мозаики имеет в качестве фундаментальной области (2,3,7) треугольник Шварца, который образует эту мозаику.
Дополнительные сведения: Поверхность Гурвица

Группа симметрии мозаики является группой треугольника (2,3,7), и фундаментальной областью для этого действия является треугольник Шварца (2,3,7). Это наименьший гиперболический треугольник Шварца, а потому, по теореме Гурвица об автоморфизмах, мозаика является универсальной мозаикой, покрывающей все поверхности Гурвица (римановы поверхности с максимальной группой симметрии), давая мозаику семиугольниками, группа симметрии которой равна группе симметрии римановой поверхности. Наименьшей поверхностью Гурвица является квартика Клейна[англ.] (род 3, группа автоморфизма имеет порядок 168) и порождённая мозаика имеет 24 семиугольника, имеющие общие 56 вершин.

Двойственная треугольная мозаика порядка 7[англ.] имеет ту же самую группу симметрии и она задаёт триангуляции[англ.] поверхности Гурвица.

См. также

Примечания

Литература

  • John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass. Chapter 19, The Hyperbolic Archimedean Tessellations // The Symmetries of Things. — 2008. — ISBN 978-1-56881-220-5.
  • H.S.M. Coxeter. Chapter 10: Regular honeycombs in hyperbolic space // The Beauty of Geometry: Twelve Essays. — Dover Publications, 1999. — ISBN 978-0486-40919-8.

Ссылки