Kubala szülei Budapesten születtek. Édesapja, Kubala Kurjas Pál szlovák származású volt, apai nagyapja a Turóc vármegyei Nagyturányból származott. Édesanyja, Stecz Anna lengyel, szlovák és magyar gyökerekkel rendelkezett. Kubala három különböző válogatottban játszott, önmagát világpolgárnak tartotta.
Kubala első csapata a Ganz TE volt, ahol a 14–16 évesek között rúgta a labdát már 11 évesen. 18 éves korában leigazolta a Ferencváros csapata. Itt találkozott Kocsis Sándorral, akivel pályafutása során játszott még egy csapatban, az FC Barcelonában.
1946-ban besorozták, ezért el kellett menekülnie Csehszlovákiába. Apja elhunyt ebben az évben, anyjával Pozsonyba költöztek. Ott az ŠK Slovan Bratislava csapatában játszott. Alig húszévesen elvette edzője húgát, Anna Daucikot. Származása miatt megkapta rögtön az állampolgárságot, és magára húzhatta a csehszlovák címeres mezt is, amiben hat mérkőzés alatt négy gólt szerzett. Válogatott pályafutása így kezdődött.
1948-ban azonban csehszlovák katonai behívót is kapott, így visszamenekült Magyarországra. Tárgyalni kezdett korábbi klubjával, az FTC-vel, azonban végül a Vasas vezetőinek kedvezőbb ajánlata elcsábította. Ez idő alatt három alkalommal szerepelt a magyar nemzeti tizenegyben.
Amikor a kommunisták átvették a hatalmat, Kubala lefizetett néhány csempészt 1949-ben, hogy vigyék őt Ausztriába, ahonnan Olaszországba utazott tovább.[3] Ezért a lépéséért az MLSZ a FIFA-nál két és fél évre eltiltatta. Ott élő magyarokból csapatot szervezett, Hungária néven, mellyel felkészülési mérkőzéseken legyőzték a Real Madridot 4–2 arányban Madridban, a spanyol válogatottat (amely éppen az 1950-es világbajnokságra készült) és az Espanyolt is. Az Espanyol elleni mérkőzés alatt az FC Barcelona megfigyelői kiszemelték Kubalát, és szerződést ajánlottak neki, amit 1950. június 15-én aláírt, így a Barcelona játékosa lett, pályafutását immáron a harmadik országban újrakezdve. A FIFA általi büntetés ellen Francisco Franco spanyol diktátor is fellépett, aminek a hatása a büntetés mérsékelése lett.
Számos csapat akarta leigazolni őt, köztük a Pro Patria, az Inter Milan és a Torino. Kubala beleegyezett, hogy játszik a Torinóban egy barátságos meccs erejéig, de fia betegsége miatt lekéste a gépet. A visszaúton a gép lezuhant(wd), és mindenki meghalt a fedélzeten.
Az érdeklődés ellenére Kubala a Barcelonában maradt 1963-ig. Ez idő alatt 19 alkalommal játszott a spanyol válogatottban. A Barcelona elhagyása után játékosmenedzser lett az Espanyolnál, az FC Zürichnél, majd a Toronto Falconsnál. 1968-ban vonult vissza. Edzőséget vállalt több spanyol klubnál, Szaúd-Arábiában, és a paraguayi válogatottnál. 11 éven keresztül irányította a spanyol labdarúgó-válogatottat, 68 mérkőzésen 31 győzelem, 21 döntetlen, 16 vereség és 98–59-es gólkülönbség a mérlege. Kijuttatta a spanyol válogatottat az 1978-as argentínai világbajnokságra és az 1980-as olaszországi Európa-bajnokságra. Az 1992-es barcelonai olimpián aranyérmet nyert
a csapattal. 2002-ben hunyt el Barcelonában.
Hatása
Puskás Ferencet is anyagilag támogatta kezdetben, amikor Spanyolországba szerződött. És ahogy későbbiekben Páncsó úgy Lászy is segítette honfitársait amiben csak tudta. Kubala ajánlotta be a Barcelonába Kocsis Sándort, Czibor Zoltánt, Kaszást és Szalayt.
Kubala nem sokat szerepelt a magyar válogatottban, és nem sokat tett azért, hogy Magyarország legyen az első, mely legyőzi az angolokat a Wembley Stadionban. Szerveztek egy mérkőzést 1953-ban Anglia legjobbjai és a többi európai játékos között. Ebbe a csapatba 7 magyart válogattak be, de nem vállalták a játékot, mivel egy hónappal később ki kellett volna állniuk a magyar válogatottal az angolok ellen és nem akartak más csapatnak segíteni, a magyar nemzeti tizenegy akarta először legyőzni az angolokat saját hazájukban. Kubala kihasználta a lehetőséget és két gólt szerzett az ominózus gálameccsen. Az angolok egyenlítettek az utolsó percekben, de egy hónappal később 6:3-as vereséget szenvedtek a magyaroktól.
1954-ben főszerepet játszott életrajzi filmjében, Az ászok békére törnek (Los ases buscan la paz) című filmben. A fiatal labdarúgót a politika száműzi a labdarúgásból és Csehszlovákiából Magyarországra szökik, ahonnan eljut Spanyolországba, ahol az FC Barcelona játékosa lesz. A film rávilágít a hidegháború és a futball közti kapcsolatra. Kubala „Odüsszeiájában” minden megjelenik ami egy akkori tehetséges futballistát negatívan érintett a keleti blokkban. Éles ellentétet mutat Kubala, barátai és a kommunista rendszer között. A film nem teljesen hiteles, mivel László életéből kiragad és kihagy részleteket. Ezen kívül két spanyol tévéfilmsorozatban is szerepelt.
Talán legnagyobb bánata az volt Kubalának, hogy habár három nemzeti csapatban játszott, nem szerepelt soha világbajnokságon. 1962-ben részt vett néhány selejtezőn, de ahogy Alfredo Di Stéfano is, ő is lesérült a döntő előtt. Elutazott Chilébe a tornára, de nem lépett pályára.
Az 1980-as évek végén Joan Manuel Serrat dalba foglalta a futballklasszist. A katalán énekes-dalszerző gyerekkorában látta játszani és ebből táplálkozva írta meg dalát.
A Barcelona 100. évfordulóján 1999-ben a szurkolók a csapat történetének legjobb játékosává választották. Olyan labdarúgókat utasított maga mögé, mint Johan Cruyff, Diego Maradona, Romário vagy Hriszto Sztoicskov. Emellett sportújságírók a második legjobb spanyol játékosnak választották, aki a 20. században játszott. Csak Alfredo Di Stefano-t találták jobbnak. Végül a spanyol kormány a sport Nagykeresztjét adományozta neki.
Tervezték, hogy róla nevezik el a stadiont. Erről tisztelői még most sem mondtak le. Emellett a róla szóló legendák szerint, olyan hatása volt korában a labdarúgásra, mint napjainkban David Beckhamnek. A női szurkolók száma feltűnően megnőtt abban az időben, ezért kellett a kevesebb, mint 20 000 férőhelyes stadiont a többszörösére bővíteni.
2009. szeptember 24-én leleplezték a Camp Nou központi helyén a klub valaha élt egyik legnépszerűbb játékosa szobrát, Kubala Lászlóét. A két méteres szobor alkotója Montserrat García Rius volt és a leleplezésen több mint húszezer fanatikus vett részt. Az ünnepélyes megemlékezésen ott volt FC Barcelona vezérkara, beszédet mondott Joan Laporta, Ramon Alfonsera, ifjabb Kubala László és Dunai Antal is.
„
Nagy megtiszteltetés, hogy részt vehettem Laci, vagy ahogy a katalánok mondják, Laszi szobrának átadásán. Megköszöntem a meghívást és elmondtam Kubaláról azt, amit egyébként mindenki tud róla, aki ismerte: nagyszerű játékos és remek ember volt. Büszke vagyok arra, hogy ismerhettem, és azt gondolom, ahogyan a Barcelona, úgy Kubala is kiemelkedik a világ labdarúgásából.
Kubala László születésének 85. évfordulója alkalmából a nevét 2011-óta viselő Vasas Kubala Akadémia tulajdonosai bronz mellszobrot állítottak neki a Vasas SC Fáy utcai Sportcentrumában.[5] A szobrot Kutas László Wiesenthal-díjas szobrász és éremművész, a ravennai Dante-biennále nemzetközi zsűrijének tagja készítette. A szobor ünnepélyes avatóünnepsége 2012. június 15-én történt, azon a napon, amelyen 52 évvel ezelőtt Kubala László szerződést kötött a Barcelona FC-vel. A szobrot Carlos Kubala, Kubala László fia és Enrique Pastor de Gana, a Spanyol Királyság rendkívüli kinevezett nagykövete leplezte le. Évfordulója alkalmából 2012. június 16-17- én a Vasas Kubala Akadémia hagyományteremtő szándékkal megrendezte az I. Kubala László Nemzetközi U-16-os Labdarúgó Kupát. A kupagyőztes a Real Murcia csapata lett.[6]
2017-ben a XIII. kerületi önkormányzat egy emlékkövet helyezett el Kubaláról a róla elnevezett parkban.[7]
Margitay Richárd–Margitay Zsolt: Kubala. A XX. század legjobb Barcelona-játékosa; Aposztróf, Bp., 2014
Varró Krisztián: Kubala; Twister, Bp., 2019
Hrotkó Zoltán: Ábel és Kuksi csapata. A Zsellengér Gyula és Kubala László nevével fémjelzett Hungária FC diadalútja Nyugat-Európában 1949–1950-ben; magánkiadás, Balatonfüred, 2022
Hrotkó Zoltán: Kubala és Zsengellér csapata. A Hungária FC története a római menekülttábortól Kolumbiáig; Aposztróf, Bp., 2023