Полуправильные многогранники — в общем случае это различные выпуклые многогранники, которые, не являясь правильными, имеют некоторые их признаки, например: все грани равны, или все грани являются правильными многоугольниками, или имеются определённые пространственные симметрии. Определение может варьироваться и включать различные типы многогранников, но в первую очередь сюда относятся архимедовы тела.
Тело относится к одному из трёх существующих типов пространственной симметрии (тетраэдральной, октаэдральной или икосаэдрической).
Архимедовы — тела, у которых отсутствует второе свойство, у каталановых отсутствует первое, третье свойство сохраняется для обоих видов тел. Тела, не обладающие третьим свойством, называются телами Джонсона (некоторые из которых не обладают и вторым свойством) и не относятся к полуправильным.
Помимо архимедовых и каталановых тел к полуправильным многогранникам иногда относят и бесконечные последовательности призм и антипризм, у которых также отсутствует только второе свойство. Призмы и антипризмы, однако, относятся к диэдральной группе симметрии, для которой не существует правильных многогранников.
Архимедовы тела
Архимедовы тела — выпуклые многогранники, обладающие двумя свойствами:
для любой пары вершин существует симметрия многогранника (то есть движение, переводящее многогранник в себя), переводящая одну вершину в другую. В частности,
Тела, двойственные архимедовым, так называемые каталановы тела, имеют конгруэнтные грани (переводимые друг в друга сдвигом, вращением или отражением), равные двугранные углы и правильные многогранные углы. Каталановы тела тоже иногда называют полуправильными многогранниками. В этом случае полуправильными многогранниками считается совокупность архимедовых и каталановых тел. Архимедовы тела являются полуправильными многогранниками в том смысле, что их грани — правильные многоугольники, но они не одинаковы, а каталановы — в том смысле, что их грани одинаковы, но не являются правильными многоугольниками; при этом для тех и других сохраняется условие одного из типов пространственной симметрии: тетраэдрического, октаэдрического или икосаэдрического.
Список полуправильных многогранников
Существует 13 архимедовых тел, два из которых (курносый куб и плосконосый додекаэдр) не являются зеркально-симметричными и имеют левую и правую формы. Если учитывать левую и правую форму как отдельные тела, тогда получится 15 архимедовых тел. Соответственно, существует 13 (15) каталановых тел.
