PROFILPELAJAR.COM

	Иррациональные числа; ζ(3) — ρ — √2 — √3 — √5 — ln 2 — φ,Φ — ψ — α,δ — e — eπ и π
Система счисления	Оценка числа δs
Двоичная	10.0110101000001001111…
Десятичная	2.4142135623730950488…
Шестнадцатеричная	2.6A09E667F3BCC908B2F…
Непрерывная дробь

Сере́бряное сече́ние — математическая константа, выражающая некоторое геометрическое соотношение, выделяемое эстетически. В отличие от золотого сечения, по аллюзии с которым оно названо, серебряное сечение не имеет единого определения. Наиболее последовательным является следующее:

Величины a и b находятся в «серебряном сечении», если отношение суммы b + 2a к a равняется отношению a к b:

~~~~~{\frac {b+2a}{a}}={\frac {a}{b}}~

, где a - большее число, b - меньшее число.

Серебряное сечение — иррациональное (но алгебраическое) число, равное $1+{\sqrt {2}}$ или приблизительно 2,4142135623. Для использования в процентном делении используется отношение, близкое к этому числу, — 70/29.

В последнее время некоторые художники и архитекторы считают это отношение «красивым». Возможно, они опираются на теорию динамических прямоугольников^[англ.] Джея Хембриджа^[англ.]. Математики исследовали серебряное соотношение со времён древнегреческой науки (хотя такое название, возможно, появилось только недавно), так как оно связано с квадратным корнем из 2, его подходящими дробями, квадратными треугольными числами, числами Пелля, восьмиугольником и др.

Обозначим далее серебряное сечение через $\delta _{S}$ (общепринятого обозначения нет). Соотношение, описанное в определении выше, записывается алгебраически так:

{\frac {b+2a}{a}}={\frac {a}{b}}=\delta _{S}\,.

Это уравнение имеет единственный положительный корень.

Доказательство:

{\frac {b+2a}{a}}={\frac {a}{b}}.

b^{2}+2ab=a^{2}.

b^{2}+2ab+a^{2}=2a^{2}.

(a+b)^{2}=2a^{2}.

a+b=\pm a{\sqrt {2}}.

b=(\pm {\sqrt {2}}-1)\cdot a.

{\frac {a}{b}}={\frac {1}{\pm {\sqrt {2}}-1}}={\frac {\pm {\sqrt {2}}+1}{(\pm {\sqrt {2}}-1)(\pm {\sqrt {2}}+1)}}=\pm {\sqrt {2}}+1.

Положителен только корень ${\sqrt {2}}+1=\delta _{S}$ .

\delta _{S}\approx 2{,}414\,213\,562\,373

(последовательность A014176 в OEIS)

Формулы

$\delta _{S}=1+{\sqrt {2}}\approx 2{,}414\,213\,562\,373\,095\,048\,801\,688\,724\,210$ . Это следует из $(\delta _{S}-1)^{2}=2\,.$

$\delta _{S}=[2;2,2,2,\dots ]$ — в виде цепной дроби:

\delta _{S}=2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+\ddots }}}}}}\,.

подходящие дроби этой непрерывной дроби (2/1, 5/2, 12/5, 29/12, 70/29, …) являются отношениями последовательных чисел Пелля. Эти дроби дают хорошие рациональные аппроксимации серебряного сечения, аналогично тому, что золотое сечение приближается отношениями последовательных чисел Фибоначчи.

В виде бесконечных вложенных радикалов:

$\delta _{S}=2{\sqrt {{\frac {1}{4}}+{\sqrt {{\frac {1}{4}}+{\sqrt {{\frac {1}{4}}+...}}}}}}$ .
$\delta _{S}={\sqrt {1+2{\sqrt {1+2{\sqrt {1+...}}}}}}$ .