Золотой треугольник (геометрия)

У этого термина существуют и другие значения, см. Золотой треугольник.
Пентаграмма. Каждый угол является золотым треугольником. Фигура также содержит пять золотых гномонов, которые получаются соединением двух несмежных углов с центральным пятиугольником.
Золотые треугольники, вписанные в логарифмическую спираль

Золотой треугольник[1] — это равнобедренный треугольник, в котором две боковые (равные) стороны находятся в золотой пропорции с основанием:

Золотые треугольники можно обнаружить в развёртках некоторых звёздчатых форм додекаэдра и икосаэдра.

Также, тот же треугольник обнаруживается в вершинах пентаграммы. Угол при вершине равен

Из того, что сумма углов треугольника равна 180°, получаем, что углы при основании равны 72°[1]. Золотой треугольник можно найти также в десятиугольнике, если соединить две смежные вершины с центром. Полученный треугольник будет золотым, поскольку: 180(10-2)/10=144° является внутренним углом десятиугольника, и деление его отрезком, соединяющим вершину с центром, даст половину, 144/2=72[1].


Золотой треугольник также замечателен уникальным соотношением углов 2:2:1[2].

Логарифмическая спираль

Последовательность золотых треугольников можно вписать в логарифмическую спираль. (Начиная с большого треугольника) делим угол при основании пополам, получаем следующую точку[3]. Процесс деления может продолжаться бесконечно, создавая бесконечно много золотых треугольников. Логарифмическую спираль можно провести через полученные вершины. Эта спираль известна также как равноугольная спираль. Термин предложил Рене Декарт: «Если провести прямую из полюса к любой точке на кривой, она пересечёт кривую всегда под одним и тем же углом»[4].

Золотой гномон

Золотой треугольник разбит на два треугольника Робинсона — золотой треугольник и золотой гномон.

Тесно связан с золотым треугольником золотой гномон, тупоугольный равнобедренный треугольник, в котором отношение длины равных (коротких) сторон к длине третьей стороны (основанию) является обратным к золотому отношению. Золотой гномон является уникальным треугольником с пропорцией углов 1:1:3. Его острые углы составляют 36°, то же значение, что и у угла при вершине золотого треугольника.

Расстояние AX и СX равны φ, что видно на рисунке. «Золотой треугольник имеет отношение основания к стороне, равное золотому отношению φ, в то время как золотой гномон имеет отношение боковой стороны к основанию, равное тому же золотому отношению» [5].

Плитки (сверху) и семь возможных типов вершин (снизу) в мозаике Пенроуза типа P2

Золотой треугольник может быть разрезан на золотой треугольник и золотой гномон. То же самое верно для золотого гномона. Золотой гномон и золотой треугольник с их равными сторонами (сторона гномона равна стороне треугольника) также являются тупым и острым треугольниками Робинсона[2].

Эти равнобедренные треугольники могут быть использованы для получения мозаик Пенроуза. Плитки Пенроуза состоят из «змеев» и «дротиков». «Змей» представляет собой дельтоид, состоящий из двух золотых треугольников, а «дротик» — дельтоид, состоящий из двух золотых гномонов.

См. также

Примечания

  1. ↑ 1 2 3 Elam, 2001.
  2. ↑ 1 2 Tilings Encyclopedia Архивная копия от 24 мая 2009 на Wayback Machine
  3. ↑ Huntley, 1970.
  4. ↑ Livio, 2002.
  5. ↑ Loeb, 1992.

Литература

  • Kimberly Elam. Geometry of Design. — New York: Princeton Architectural Press, 2001. — ISBN 1-56898-249-6.
  • H.E. Huntley. The Divine Proportion: A Study In Mathematical Beauty. — New York: Dover Publications Inc, 1970. — ISBN 0-486-22254-3.
  • Mario Livio. The Golden Ratio: The Story of Phi, The World's Most Astonishing Number. — Broadway Books, 2002. — ISBN 0-7679-0815-5.
  • Arthur Loeb. Concepts and Images: Visual Mathematics. — Boston: Birkhäuser Boston, 1992. — ISBN 0-8176-3620-X.

Ссылки