Непрерывная дробь (или цепная дробь) — это конечное или бесконечное математическое выражение вида
где a 0 {\displaystyle a_{0}} есть целое число, а все остальные a n {\displaystyle a_{n}} — натуральные числа (положительные целые)[1]. При этом числа a 0 , a 1 , a 2 , a 3 , … … --> {\displaystyle a_{0},a_{1},a_{2},a_{3},\dots } называются неполными частными или элементами цепной дроби[2].
Любое вещественное число можно представить в виде цепной дроби (конечной или бесконечной). Число представляется конечной цепной дробью тогда и только тогда, когда оно рационально.
Главное (но далеко не единственное) назначение непрерывных дробей состоит в том, что они позволяют находить хорошие приближения вещественных чисел в виде обычных дробей. Непрерывные дроби широко используются в теории чисел и вычислительной математике, а их обобщения оказались чрезвычайно полезны в математическом анализе и других разделах математики. Используются также в физике, небесной механике, технике и других прикладных сферах деятельности.
Любое вещественное число x {\displaystyle x} может быть представлено (конечной или бесконечной, периодической или непериодической) цепной дробью [ a 0 ; a 1 , a 2 , a 3 , … … --> ] {\displaystyle [a_{0};a_{1},a_{2},a_{3},\ldots ]} , где
где ⌊ ⌊ --> x ⌋ ⌋ --> {\displaystyle \lfloor x\rfloor } обозначает целую часть числа x {\displaystyle x} .
Для рационального числа x {\displaystyle x} это разложение оборвётся по достижении нулевого x n {\displaystyle x_{n}} для некоторого n {\displaystyle n} . В этом случае x {\displaystyle x} представляется конечной цепной дробью x = [ a 0 ; a 1 , … … --> , a n ] {\displaystyle x=[a_{0};a_{1},\ldots ,a_{n}]} . Эффективным алгоритмом для преобразования обычной дроби в цепную является алгоритм Евклида. Представление рационального числа в виде непрерывной дроби неоднозначно: если приведённый здесь алгоритм даёт непрерывную дробь [ … … --> , a n ] {\displaystyle [\dots ,a_{n}]} , то непрерывная дробь [ … … --> , a n − − --> 1 , 1 ] {\displaystyle [\dots ,a_{n}-1,1]} соответствует тому же самому числу.
Для иррационального x {\displaystyle x} все величины x n {\displaystyle x_{n}} будут ненулевыми и процесс разложения можно продолжать бесконечно. В этом случае x {\displaystyle x} представляется бесконечной цепной дробью x = [ a 0 ; a 1 , a 2 , a 3 , … … --> ] {\displaystyle x=[a_{0};a_{1},a_{2},a_{3},\ldots ]} . Если последовательность [ a 0 ; a 1 , a 2 , a 3 , … … --> ] {\displaystyle [a_{0};a_{1},a_{2},a_{3},\ldots ]} состоит из бесконечно повторяющегося набора одних и тех же чисел (периода), то цепная дробь называется периодической. Число представляется бесконечной периодической цепной дробью тогда и только тогда, когда оно является квадратичной иррациональностью, то есть иррациональным корнем квадратного уравнения с целыми коэффициентами.
n-й («энной») подходящей дробью для цепной дроби x = [ a 0 ; a 1 , a 2 , a 3 , … … --> ] {\displaystyle x=[a_{0};a_{1},a_{2},a_{3},\ldots ]} называется конечная цепная дробь [ a 0 ; a 1 , … … --> , a n ] {\displaystyle [a_{0};a_{1},\ldots ,a_{n}]} , значение которой есть некоторое рациональное число p n / q n {\displaystyle p_{n}/q_{n}} . Подходящие дроби с чётными номерами образуют возрастающую последовательность, предел которой равен x {\displaystyle x} . Аналогично, подходящие дроби с нечётными номерами образуют убывающую последовательность, предел которой также равен x {\displaystyle x} . Таким образом, значение цепной дроби всегда находится между значениями соседних подходящих дробей.
Эйлер вывел рекуррентные формулы для вычисления числителей и знаменателей подходящих дробей:
Таким образом, величины p n {\displaystyle p_{n}} и q n {\displaystyle q_{n}} являются полиномами от a 0 , a 1 , … … --> , a n {\displaystyle a_{0},a_{1},\dots ,a_{n}} , называемыми континуантами:
Последовательности как числителей { p n } {\displaystyle \{p_{n}\}} , так и знаменателей { q n } {\displaystyle \{q_{n}\}} подходящих дробей являются строго возрастающими.
Числители и знаменатели соседних подходящих дробей связаны соотношением
Подходящие дроби, как видно из этого соотношения, всегда несократимы. Перепишем соотношение в виде
Отсюда следует[3], что
Цепные дроби позволяют эффективно находить хорошие рациональные приближения вещественных чисел. А именно, если вещественное число x {\displaystyle x} разложить в цепную дробь, то её подходящие дроби будут удовлетворять неравенству
Следствия[4]:
Разложим число π π --> = 3,141 59265 … … --> {\displaystyle \pi =3{,}14159265\dots } в непрерывную дробь и подсчитаем его подходящие дроби:
Вторая подходящая дробь 22 / 7 {\displaystyle 22/7} — это известное архимедово приближение. Четвёртая подходящая дробь 355 / 113 {\displaystyle 355/113} была впервые получена в Древнем Китае.
Ниже приведено разложение золотого сечения:
Интересный результат, который следует из того, что выражение непрерывной дроби для Φ Φ --> {\displaystyle \Phi } не использует чисел, больших 1, состоит в том, что Φ Φ --> {\displaystyle \Phi } является одним из самых «плохо» приближаемых чисел. Точнее, теорема Гурвица[5] утверждает, что любое действительное число r {\displaystyle r} может быть приближено дробью m / n {\displaystyle m/n} так, что
Хотя практически все действительные числа r {\displaystyle r} имеют бесконечно много приближений m / n {\displaystyle m/n} , которые находятся на значительно меньшем расстоянии от r {\displaystyle r} , чем эта верхняя граница, приближения для Φ Φ --> {\displaystyle \Phi } (то есть чи́сла 5/3, 8/5, 13/8, 21/13 и т. д.) в пределе достигают этой границы[6], удерживая расстояние на почти точно 1 / ( n 2 5 ) {\displaystyle 1/(n^{2}{\sqrt {5}})} от Φ Φ --> {\displaystyle \Phi } , тем самым никогда не создавая столь хорошие приближения как, к примеру, 355/113 для π. Можно показать, что этим свойством обладает любое действительное число вида ( a + b Φ Φ --> ) / ( c + d Φ Φ --> ) {\displaystyle (a+b\Phi )/(c+d\Phi )} , где a , b , c {\displaystyle a,b,c} и d {\displaystyle d} являются целыми числами, причём a d − − --> b c = ± ± --> 1 {\displaystyle ad-bc=\pm 1} ; а также, что все остальные действительные числа могут быть приближены намного лучше.
Предпринимались попытки найти закономерности в разложениях в непрерывную дробь кубических иррациональностей[10], а также других алгебраических чисел степени, большей 2, и трансцендентных чисел[11]. Для некоторых трансцендентных чисел можно найти простую закономерность. Например, основание натурального логарифма представимо в виде[12]
а тангенс угла в 1 радиан — в виде[13]
У числа π π --> {\displaystyle \pi } простой закономерности не видно[14]:
Однако для обобщённой непрерывной дроби (см. ниже раздел Вариации и обобщения) прослеживается ясная закономерность.
Неизвестно, ограничены ли сверху неполные частные разложения таких чисел, как 2 3 {\displaystyle {\sqrt[{3}]{2}}} или π π --> {\displaystyle \pi } [11][15].
При разработке солнечного календаря необходимо найти рациональное приближение для числа дней в году, которое равно 365,2421988… Подсчитаем подходящие дроби для дробной части этого числа:
Первая дробь означает, что раз в 4 года надо добавлять лишний день; этот принцип лёг в основу юлианского календаря. При этом ошибка в 1 день накапливается за 128 лет. Второе значение (7/29) никогда не использовалось, поскольку оно мало отличается от следующего, гораздо более точного. Третья дробь (8/33), то есть 8 високосных лет за период в 33 года, была предложена Омаром Хайямом в XI веке и положила начало персидскому календарю, в котором ошибка в день накапливается за 4500 лет (в григорианском — за 3280 лет). Очень точный вариант с четвёртой дробью (31/128, ошибка в сутки накапливается только за 100000 лет[16]) пропагандировал немецкий астроном Иоганн фон Медлер (1864 год), однако большого интереса он не вызвал.
В теории музыки при построении равномерно темперированного строя требуют, чтобы интервал октавы 2 : 1 {\displaystyle 2:1} делился на n {\displaystyle n} равных частей, и при этом интервал из m {\displaystyle m} таких частей был по возможности близок к интервалу квинты 3 : 2 {\displaystyle 3:2} . Эти требования приводят к задаче отыскания рационального приближения для log 2 --> 1 , 5 ≈ ≈ --> 0,585 {\displaystyle \log _{2}1{,}5\approx 0{,}585} . Третья подходящая дробь 3 / 5 {\displaystyle 3/5} даёт равномерно темперированную пентатонику. Четвёртая подходящая дробь 7 / 12 {\displaystyle 7/12} приводит к классическому делению октавы на 12 равных полутонов[17].
Рассмотрим сравнение: a x ≡ ≡ --> b ( mod m ) {\displaystyle ax\equiv b{\pmod {m}}} , где a , b {\displaystyle a,\ b} известны, причём можно считать, что a {\displaystyle a} взаимно просто с m {\displaystyle m} . Надо найти x {\displaystyle x} .
Разложим m a {\displaystyle {\frac {m}{a}}} в непрерывную дробь. Она будет конечной, и последняя подходящая дробь p n q n = m a {\displaystyle {\frac {p_{n}}{q_{n}}}={\frac {m}{a}}} . Подставим в формулу (1):
Отсюда вытекает:
или
Вывод: класс вычетов x ≡ ≡ --> ( − − --> 1 ) n p n − − --> 1 b ( mod m ) {\displaystyle x\equiv (-1)^{n}p_{n-1}b{\pmod {m}}} является решением исходного сравнения.
Ряд источников дают обобщённое определение непрерывной дроби, допуская для числителей в её звеньях не только 1, но и другие целые (в некоторых источниках допускаются даже комплексные) числа[1]:
Это обобщение повышает гибкость теории, но имеет два недостатка: разложение вещественного числа в непрерывную дробь становится неоднозначным и, кроме того, существование предела подходящих дробей уже не гарантировано — предел может быть бесконечен или вообще отсутствовать.
Для обобщённых непрерывных дробей формулы Эйлера имеют вид[19]:
При этом
Частный случай, в котором все b n = − − --> 1 {\displaystyle b_{n}=-1} , называется непрерывной дробью Хирцебруха[20].
Выше было сказано, что разложение числа π π --> {\displaystyle \pi } в классическую непрерывную дробь не содержит видимой закономерности. Для обобщённой же непрерывной дроби имеет место формула Браункера[21]:
Другое направление обобщения состоит в построении и применении аппарата непрерывных дробей не для чисел, а для многочленов — используется тот факт, что делимость многочленов по своим свойствам близка к делимости целых чисел[22]. Всякий многочлен или дробно-рациональная функция может быть разложена в непрерывную дробь[23]:
Пример: получим разложение для функции f ( x ) = 1 − − --> x 1 − − --> 5 x + 6 x 2 {\displaystyle f(x)={\frac {1-x}{1-5x+6x^{2}}}} :
Можно установить соответствие между непрерывными дробями и углами на решётках на плоскости. В связи с этим существуют различные варианты «многомерных непрерывных дробей»[24].
Античные математики умели представлять отношения несоизмеримых величин в виде цепочки последовательных подходящих отношений, получая эту цепочку с помощью алгоритма Евклида. По-видимому, именно таким путём Архимед получил приближение 3 ≈ ≈ --> 1351 780 {\displaystyle {\sqrt {3}}\approx {\frac {1351}{780}}} — это 12-я подходящая дробь для 3 {\displaystyle {\sqrt {3}}} или одна треть от 4-й подходящей дроби для 27 {\displaystyle {\sqrt {27}}} .
В V веке индийский математик Ариабхата применял аналогичный «метод измельчения» для решения неопределённых уравнений первой и второй степени. С помощью этой же техники было, вероятно, получено известное приближение для числа π π --> {\displaystyle \pi } (355/113). В XVI веке Рафаэль Бомбелли извлекал с помощью цепных дробей квадратные корни (см. его алгоритм).
Начало современной теории цепных дробей положил в 1613 году Пьетро Антонио Катальди. Он отметил основное их свойство (положение между подходящими дробями) и ввёл обозначение, напоминающее современное. Позднее его теорию расширил Джон Валлис, который и предложил термин «непрерывная дробь». Эквивалентный термин «цепная дробь» появился в конце XVIII века.
Применялись эти дроби в первую очередь для рационального приближения вещественных чисел; например, Христиан Гюйгенс использовал их для проектирования зубчатых колёс своего планетария. Гюйгенс уже знал, что подходящие дроби всегда несократимы и что они представляют наилучшее рациональное приближение для исходного числа.
В XVIII веке теорию цепных дробей в общих чертах завершили Леонард Эйлер и Жозеф Луи Лагранж.
Lokasi Pengunjung: 18.190.176.75