PROFILPELAJAR.COM

Число́ До́тти — постоянная, определяемая как вещественное решение уравнения

\cos x=x,

где аргумент $\cos$ измеряется в радианах. В десятичном представлении число Дотти примерно равно $0,739085133215...$ .^[1]

Из теоремы о промежуточном значении следует, что указанное уравнение должно иметь хотя бы одно решение. Производная функции $x-\cos(x)$ равна $\sin(x)+1$ и почти везде положительна, а значит, сама функция монотонно возрастает и не может иметь нескольких нулей. Таким образом, уравнение $\cos x=x$ однозначно определяет рассматриваемую константу.

Значения тригонометрических функций

Пусть $D$ — число Дотти. Тогда:

\mathrm {sin} (D)\approx 0,673612029183

\mathrm {tg} (D)\approx 0,911413312094

Свойства

Число Дотти является нетривиальной притягивающей неподвижной точкой функции косинуса на сколь угодно большой своей действительной (но не комплексной) окрестности. Иначе говоря, для любого действительного $x$ число $\lim \limits _{n\to \infty }(\underbrace {\cos(\cos(\dots \cos(x)\dots ))} _{n})$ равно константе Дотти. Уравнение $\cos z=z$ для комплексного $z$ имеет, кроме неё, бесконечное количество решений, однако ни одно из них не является притягивающей неподвижной точкой.

Кроме того, число Дотти трансцендентно, что можно доказать при помощи теоремы Линдемана — Вейерштрасса.^[2]

С использованием теоремы Лагранжа об обращении рядов было доказано, что число Дотти представимо в виде ряда ${\frac {\pi }{2}}+\sum _{n=1}^{\infty }a_{2n-1}\pi ^{2n-1}$ , где $a_{n}$ для любого нечётного $n$ является рациональным числом, определённым следующим образом:

{\begin{aligned}a_{n}&={\frac {1}{n!\;2^{n}}}\lim _{t\to {\frac {\pi }{2}}}{\frac {\partial ^{n-1}}{\partial t^{n-1}}}{\left({\frac {\cos t}{t-\pi /2}}-1\right)^{-n}}\end{aligned}}

Первые несколько членов последовательности $(a_{n})$ равны $-{\frac {1}{4}},-{\frac {1}{768}},-{\frac {1}{61440}},-{\frac {43}{165150720}},\ldots$ ^[3]^[4]^[5]^{[nb 1]}

Формула в Excel

Формула для числа Дотти в Excel или LibreOffice Calc: SQRT(1-(2*BETA.INV(1/2;1/2;3/2)-1)^2).

Происхождение названия

Имя данной константе было дано Самюэлем Капланом в честь преподавательницы французского по имени Дотти, которая обнаружила её, нажимая раз за разом кнопку взятия косинуса на калькуляторе, и рассказала об этом своему мужу — учителю математики.^[3]

Сноски

↑ Каплан не приводит явного выражения для членов ряда, однако оно мгновенно следует из теоремы Лагранжа об обращении рядов.

Примечания

↑ OEIS A003957 (неопр.). oeis.org. Дата обращения: 26 мая 2019. Архивировано 26 мая 2019 года.
↑ Eric W. Weisstein. Dottie Number (неопр.). Дата обращения: 24 апреля 2020. Архивировано 18 марта 2020 года.
↑ ¹ ² Kaplan, Samuel R. The Dottie Number (англ.) // Mathematics Magazine : magazine. — 2007. — February (vol. 80). — P. 73. Архивировано 12 ноября 2020 года.
↑ OEIS A302977 Numerators of the rational factor of Kaplan's series for the Dottie number. (неопр.) oeis.org. Дата обращения: 26 мая 2019. Архивировано 26 мая 2019 года.
↑ A306254 - OEIS (неопр.). oeis.org. Дата обращения: 22 июля 2019. Архивировано 22 июля 2019 года.