PROFILPELAJAR.COM

Константа Миллса A — действительное число, одна из констант в теории чисел. Константа Миллса определяется как минимальное действительное число $A>1$ такое, что для всех целых положительных $n$ числа

P_{n}=\left\lfloor A^{3^{n}}\right\rfloor ,

являются простыми, где $\lfloor \cdot \rfloor$ обозначает целую часть (округление вниз).

Неизвестно, является ли A рациональным числом^[1].

Константа названа в честь Уильяма Миллса, доказавшего её существование в 1947 году^[2] ^[3]. Точное значение этой константы неизвестно, однако, если предположить, что гипотеза Римана верна, то значение можно найти: A = 1,3063778838630806904686144926….^[4]

Гипотеза Римана подразумевает через её следствие — гипотезу Линделёфа,^{[неоднозначно]} что существуют простые числа между кубами двух последовательных натуральных чисел.

Простые числа Миллса

Простые числа Миллса — это простые числа, найденные по указанной выше формуле при условии верности гипотезы Римана:^[5]^{[неоднозначно]}

$n=1\;\;\;P_{n}=2$
$n=2\;\;\;P_{n}=11$
$n=3\;\;\;P_{n}=1\,361$
$n=4\;\;\;P_{n}=2\,521\,008\,887$
$n=5\;\;\;P_{n}=16\,022\,236\,204\,009\,818\,131\,831\,320\,183$
$n=6\;\;\;P_{n}=4\,113\,101\,149\,215\,104\,800\,030\,529\,537\,915\,953\,170\,486\,139\,623\,539\,759\,933\,135\,949\,994\,882\,770\,404\,074\,832\,568\,499$
$\ldots$ .

Есть и другой факт относительно этих чисел: если $P_{i}$ — i-е число в этой последовательности, то $P_{i}$ может быть найдено как наименьшее простое число, следующее за $P_{i-1}^{3}$ . Он может быть использован для получения оценочных неравенств на константу Миллса.

Численные вычисления

В 2005 году было высчитано более семи тысяч знаков A в предположении верности гипотезы Римана.^[6]

Примечания

↑ Finch, Steven R. (2003), "Mills' Constant", Mathematical Constants, Cambridge University Press, pp. 130—133, ISBN 0-521-81805-2 (недоступная ссылка).
↑ Mills, W. H. (1947), "A prime-representing function" (PDF), Bulletin of the American Mathematical Society, 53 (6): 604, doi:10.1090/S0002-9904-1947-08849-2, Архивировано (PDF) 26 августа 2017, Дата обращения: 2 февраля 2014 Источник (неопр.). Дата обращения: 2 февраля 2014. Архивировано 26 августа 2017 года..
↑ http://www.ams.org/journals/bull/1947-53-06/S0002-9904-1947-08849-2/S0002-9904-1947-08849-2.pdf Архивная копия от 26 августа 2017 на Wayback Machine - доказательство существования константы Миллса
↑ последовательность A051021 в OEIS
↑ последовательность A051254 в OEIS
↑ Caldwell, Chris K.; Cheng, Yuanyou (2005), "Determining Mills' Constant and a Note on Honaker's Problem", Journal of Integer Sequences, 8 (5.4.1), Архивировано 5 июня 2011, Дата обращения: 2 февраля 2014 Источник (неопр.). Дата обращения: 2 февраля 2014. Архивировано 5 июня 2011 года..