Постоянная Апери
Постоя́нная Апери́ (англ. Apéry's constant , фр. Constante d'Apéry ) — вещественное число , обозначаемое
ζ ζ -->
(
3
)
{\displaystyle \zeta (3)}
ζ ζ -->
3
{\displaystyle \zeta _{3}}
обратных к кубам целых положительных чисел и, следовательно, является частным значением дзета-функции Римана :
ζ ζ -->
(
3
)
=
∑ ∑ -->
k
=
1
∞ ∞ -->
1
k
3
=
1
1
3
+
1
2
3
+
1
3
3
+
1
4
3
+
… … -->
{\displaystyle \zeta (3)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{3}}}={\frac {1}{1^{3}}}+{\frac {1}{2^{3}}}+{\frac {1}{3^{3}}}+{\frac {1}{4^{3}}}+\dots }
Численное значение постоянной выражается бесконечной непериодической десятичной дробью [ 1] [ 2]
ζ ζ -->
(
3
)
=
{\displaystyle \displaystyle \zeta (3)=}
Названа в честь Роже Апери , доказавшего в 1978 году , что
ζ ζ -->
(
3
)
{\displaystyle \zeta (3)}
иррациональным числом (теорема Апери [англ.] [ 3] [ 4] многочленов Лежандра . Неизвестно, является ли постоянная Апери трансцендентным числом .
Эта постоянная давно привлекала интерес математиков — ещё в 1735 году Леонард Эйлер [ 5] [ 6]
Двухпетлевая диаграмма Фейнмана, результат для которой содержит
ζ ζ -->
(
3
)
{\displaystyle \zeta (3)}
В математике постоянная Апери встречается во многих приложениях. В частности, величина, обратная
ζ ζ -->
(
3
)
{\displaystyle \zeta (3)}
положительных целых числа будут взаимно просты — в том смысле, что при
N
→ → -->
∞ ∞ -->
{\displaystyle N\to \infty }
N
{\displaystyle {\textstyle {N}}}
1
/
ζ ζ -->
(
3
)
{\displaystyle 1/\zeta (3)}
Постоянная Апери естественным образом возникает в ряде проблем физики, включая поправки второго (и выше) порядков к аномальному магнитному моменту электрона в квантовой электродинамике . Например, результат для двухпетлевой диаграммы Фейнмана , изображённой на рисунке, даёт
6
ζ ζ -->
(
3
)
{\displaystyle 6\zeta (3)}
виртуальные частицы , а также соответствующая нормировка, включая степень импульса внешней частицы
k
{\displaystyle k}
модель Дебая .
Постоянная Апери связана с частным значением полигамма-функции второго порядка:
ζ ζ -->
(
3
)
=
− − -->
1
2
ψ ψ -->
(
2
)
(
1
)
{\displaystyle \zeta (3)=-{\tfrac {1}{2}}\,\psi ^{(2)}(1)}
и появляется в разложении гамма-функции в ряд Тейлора :
Γ Γ -->
(
1
+
ε ε -->
)
=
e
− − -->
γ γ -->
ε ε -->
[
1
+
1
12
π π -->
2
ε ε -->
2
− − -->
1
3
ζ ζ -->
(
3
)
ε ε -->
3
+
O
(
ε ε -->
4
)
]
{\displaystyle \Gamma (1+\varepsilon )=e^{-\gamma \varepsilon }\left[1+{\tfrac {1}{12}}\pi ^{2}\varepsilon ^{2}-{\tfrac {1}{3}}\zeta (3)\varepsilon ^{3}+O(\varepsilon ^{4})\right]}
где в виде
e
− − -->
γ γ -->
ε ε -->
{\displaystyle e^{-\gamma \varepsilon }}
постоянную Эйлера — Маскерони
γ γ -->
{\displaystyle {\textstyle {\gamma }}}
Постоянная Апери также связана со значениями трилогарифма
L
i
3
(
z
)
{\displaystyle \mathrm {Li} _{3}(z)}
полилогарифма
L
i
n
(
z
)
{\displaystyle \mathrm {Li} _{n}(z)}
L
i
3
(
1
)
=
ζ ζ -->
(
3
)
{\displaystyle \mathrm {Li} _{3}(1)=\zeta (3)}
L
i
3
(
1
2
)
=
1
6
(
ln
-->
2
)
3
− − -->
1
12
π π -->
2
ln
-->
2
+
7
8
ζ ζ -->
(
3
)
{\displaystyle \mathrm {Li} _{3}\left({\tfrac {1}{2}}\right)={\tfrac {1}{6}}(\ln 2)^{3}-{\tfrac {1}{12}}\pi ^{2}\ln 2+{\tfrac {7}{8}}\,\zeta (3)}
Некоторые другие ряды, члены которых обратны к кубам натуральных чисел, также выражаются через постоянную Апери:
ζ ζ -->
(
3
)
=
4
3
∑ ∑ -->
k
=
1
∞ ∞ -->
(
− − -->
1
)
k
− − -->
1
k
3
=
4
3
(
1
− − -->
1
2
3
+
1
3
3
− − -->
1
4
3
+
⋯ ⋯ -->
)
{\displaystyle \zeta (3)={\tfrac {4}{3}}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k-1}}{k^{3}}}={\tfrac {4}{3}}\left(1-{\frac {1}{2^{3}}}+{\frac {1}{3^{3}}}-{\frac {1}{4^{3}}}+\cdots \right)}
ζ ζ -->
(
3
)
=
8
7
∑ ∑ -->
k
=
0
∞ ∞ -->
1
(
2
k
+
1
)
3
=
8
7
(
1
+
1
3
3
+
1
5
3
+
1
7
3
+
⋯ ⋯ -->
)
{\displaystyle \zeta (3)={\tfrac {8}{7}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{(2k+1)^{3}}}={\tfrac {8}{7}}\left(1+{\frac {1}{3^{3}}}+{\frac {1}{5^{3}}}+{\frac {1}{7^{3}}}+\cdots \right)}
Другие известные результаты — сумма ряда, содержащего гармонические числа
H
k
{\displaystyle {\textstyle {H_{k}}}}
ζ ζ -->
(
3
)
=
1
2
∑ ∑ -->
k
=
1
∞ ∞ -->
H
k
k
2
{\displaystyle \zeta (3)={\tfrac {1}{2}}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {H_{k}}{k^{2}}}}
а также двукратная сумма:
ζ ζ -->
(
3
)
=
1
2
∑ ∑ -->
j
=
1
∞ ∞ -->
∑ ∑ -->
k
=
1
∞ ∞ -->
1
j
k
(
j
+
k
)
{\displaystyle \zeta (3)={\tfrac {1}{2}}\sum _{j=1}^{\infty }\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{jk(j+k)}}}
Для доказательства иррациональности
ζ ζ -->
(
3
)
{\displaystyle \zeta (3)}
Роже Апери [ 3]
ζ ζ -->
(
3
)
=
5
2
∑ ∑ -->
k
=
1
∞ ∞ -->
(
− − -->
1
)
k
− − -->
1
(
k
!
)
2
k
3
(
2
k
)
!
=
5
2
∑ ∑ -->
k
=
1
∞ ∞ -->
(
− − -->
1
)
k
− − -->
1
k
3
(
2
k
k
)
{\displaystyle \zeta (3)={\tfrac {5}{2}}\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k-1}{\frac {(k!)^{2}}{k^{3}(2k)!}}={\tfrac {5}{2}}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k-1}}{k^{3}{\binom {2k}{k}}}}}
где
(
2
k
k
)
=
(
2
k
)
!
k
!
2
{\displaystyle {\textstyle {\binom {2k}{k}}={\frac {(2k)!}{k!^{2}}}}}
биномиальный коэффициент .
В 1773 году Леонард Эйлер [ 7] [ 8]
ζ ζ -->
(
3
)
=
1
7
π π -->
2
[
1
− − -->
4
∑ ∑ -->
k
=
1
∞ ∞ -->
ζ ζ -->
(
2
k
)
(
2
k
+
1
)
(
2
k
+
2
)
2
2
k
]
{\displaystyle \zeta (3)={\tfrac {1}{7}}\pi ^{2}\left[1-4\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\zeta (2k)}{(2k+1)(2k+2)2^{2k}}}\right]}
в котором значения дзета-функции Римана чётных аргументов могут быть представлены как
ζ ζ -->
(
2
k
)
=
(
− − -->
1
)
k
+
1
(
2
π π -->
)
2
k
B
2
k
/
(
2
(
2
k
)
!
)
{\displaystyle {\textstyle {\zeta (2k)=(-1)^{k+1}(2\pi )^{2k}B_{2k}/(2(2k)!)}}}
B
2
k
{\displaystyle {\textstyle {B_{2k}}}}
числа Бернулли .
Рамануджан дал несколько представлений в виде рядов, которые замечательны тем, что они обеспечивают несколько новых значащих цифр на каждой итерации. Один пример[ 9]
ζ ζ -->
(
3
)
=
7
180
π π -->
3
− − -->
2
∑ ∑ -->
k
=
1
∞ ∞ -->
1
k
3
(
e
2
π π -->
k
− − -->
1
)
{\displaystyle \zeta (3)={\tfrac {7}{180}}\pi ^{3}-2\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{3}(e^{2\pi k}-1)}}}
Саймон Плафф [англ.] [ 10]
ζ ζ -->
(
3
)
=
14
∑ ∑ -->
k
=
1
∞ ∞ -->
1
k
3
sinh
-->
(
π π -->
k
)
− − -->
11
2
∑ ∑ -->
k
=
1
∞ ∞ -->
1
k
3
(
e
2
π π -->
k
− − -->
1
)
− − -->
7
2
∑ ∑ -->
k
=
1
∞ ∞ -->
1
k
3
(
e
2
π π -->
k
+
1
)
,
{\displaystyle \zeta (3)=14\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{3}\sinh(\pi k)}}-{\tfrac {11}{2}}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{3}(e^{2\pi k}-1)}}-{\tfrac {7}{2}}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{3}(e^{2\pi k}+1)}}\;,}
а также аналогичные представления для других постоянных
ζ ζ -->
(
2
n
+
1
)
{\displaystyle \zeta (2n+1)}
Были также получены другие представления в виде рядов:
ζ ζ -->
(
3
)
=
1
4
∑ ∑ -->
k
=
1
∞ ∞ -->
(
− − -->
1
)
k
− − -->
1
(
56
k
2
− − -->
32
k
+
5
)
(
k
− − -->
1
)
!
3
(
2
k
− − -->
1
)
2
(
3
k
)
!
{\displaystyle \zeta (3)={\tfrac {1}{4}}\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k-1}{\frac {(56k^{2}-32k+5)(k-1)!^{3}}{(2k-1)^{2}(3k)!}}}
ζ ζ -->
(
3
)
=
8
7
− − -->
8
7
∑ ∑ -->
k
=
1
∞ ∞ -->
(
− − -->
1
)
k
2
− − -->
5
+
12
k
k
(
− − -->
3
+
9
k
+
148
k
2
− − -->
432
k
3
− − -->
2688
k
4
+
7168
k
5
)
k
!
3
(
− − -->
1
+
2
k
)
!
6
(
− − -->
1
+
2
k
)
3
(
3
k
)
!
(
1
+
4
k
)
!
3
{\displaystyle \zeta (3)={\tfrac {8}{7}}-{\tfrac {8}{7}}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {{\left(-1\right)}^{k}\,2^{-5+12\,k}\,k\,\left(-3+9\,k+148\,k^{2}-432\,k^{3}-2688\,k^{4}+7168\,k^{5}\right)\,{k!}^{3}\,{\left(-1+2\,k\right)!}^{6}}{{\left(-1+2\,k\right)}^{3}\,\left(3\,k\right)!\,{\left(1+4\,k\right)!}^{3}}}}
ζ ζ -->
(
3
)
=
1
64
∑ ∑ -->
k
=
0
∞ ∞ -->
(
− − -->
1
)
k
(
205
k
2
+
250
k
+
77
)
⋅ ⋅ -->
k
!
10
(
2
k
+
1
)
!
5
{\displaystyle \zeta (3)={\tfrac {1}{64}}\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {(205k^{2}+250k+77)\cdot k!^{10}}{(2k+1)!^{5}}}}
ζ ζ -->
(
3
)
=
1
24
∑ ∑ -->
k
=
0
∞ ∞ -->
(
− − -->
1
)
k
(
(
2
k
+
1
)
!
(
2
k
)
!
k
!
)
3
(
126392
k
5
+
412708
k
4
+
531578
k
3
+
336367
k
2
+
104000
k
+
12463
)
(
3
k
+
2
)
!
⋅ ⋅ -->
(
4
k
+
3
)
!
3
{\displaystyle \zeta (3)={\tfrac {1}{24}}\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {((2k+1)!(2k)!k!)^{3}(126392k^{5}+412708k^{4}+531578k^{3}+336367k^{2}+104000k+12463)}{(3k+2)!\cdot (4k+3)!^{3}}}}
Некоторые из этих представлений были использованы для вычисления постоянной Апери со многими миллионами значащих цифр.
В 1998 году получено представление в виде ряда[ 11] бит постоянной Апери.
Существует также большое количество различных интегральных представлений для постоянной Апери, начиная от тривиальных формул типа
ζ ζ -->
(
3
)
=
1
2
∫ ∫ -->
0
∞ ∞ -->
x
2
e
x
− − -->
1
d
x
=
2
3
∫ ∫ -->
0
∞ ∞ -->
x
2
e
x
+
1
d
x
{\displaystyle \zeta (3)={\frac {1}{2}}\int \limits _{0}^{\infty }\!{\frac {x^{2}}{e^{x}-1}}\,dx={\frac {2}{3}}\int \limits _{0}^{\infty }\!{\frac {x^{2}}{e^{x}+1}}\,dx}
или
ζ ζ -->
(
3
)
=
∫ ∫ -->
0
1
ln
-->
(
x
)
ln
-->
(
1
− − -->
x
)
x
d
x
{\displaystyle \zeta (3)=\int \limits _{0}^{1}\!{\frac {\ln(x)\ln(1-x)}{x}}\,dx}
следующих из простейших интегральных определений дзета-функции Римана [ 12]
ζ ζ -->
(
3
)
=
π π -->
∫ ∫ -->
0
∞ ∞ -->
cos
-->
(
2
a
r
c
t
g
x
)
(
x
2
+
1
)
[
c
h
(
1
2
π π -->
x
)
]
2
d
x
{\displaystyle \zeta (3)=\pi \!\!\int \limits _{0}^{\infty }\!{\frac {\cos(2\,\mathrm {arctg} \,x)}{\left(x^{2}+1\right){\big [}\mathrm {ch} {\big (}{\frac {1}{2}}\pi x{\big )}{\big ]}^{2}}}\,dx\qquad }
Иоган Йенсен [ 13]
ζ ζ -->
(
3
)
=
− − -->
1
2
∫ ∫ -->
0
1
∫ ∫ -->
0
1
ln
-->
(
x
y
)
1
− − -->
x
y
d
x
d
y
{\displaystyle \zeta (3)=-{\frac {1}{2}}\int \limits _{0}^{1}\!\!\int \limits _{0}^{1}{\frac {\ln(xy)}{\,1-xy\,}}\,dx\,dy\qquad }
Фритс Бёкерс [англ.] [ 14]
ζ ζ -->
(
3
)
=
8
π π -->
2
7
∫ ∫ -->
0
1
x
(
x
4
− − -->
4
x
2
+
1
)
ln
-->
ln
-->
1
x
(
1
+
x
2
)
4
d
x
{\displaystyle \zeta (3)=\,{\frac {8\pi ^{2}}{7}}\!\!\int \limits _{0}^{1}\!{\frac {x\left(x^{4}-4x^{2}+1\right)\ln \ln {\frac {1}{x}}}{\,(1+x^{2})^{4}\,}}\,dx\qquad }
[ 15]
Цепная дробь для константы Апери (последовательность A013631 в OEIS ) выглядит следующим образом:
ζ ζ -->
(
3
)
=
[
1
;
4
,
1
,
18
,
1
,
1
,
1
,
4
,
1
,
9
,
9
,
2
,
1
,
1
,
1
,
2
,
7
,
1
,
1
,
7
,
11
,
1
,
1
,
1
,
⋯ ⋯ -->
]
=
{\displaystyle \zeta (3)=[1;4,1,18,1,1,1,4,1,9,9,2,1,1,1,2,7,1,1,7,11,1,1,1,\cdots ]=}
=
1
+
1
4
+
1
1
+
1
18
+
1
1
+
… … -->
{\displaystyle =1+{\cfrac {1}{4+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{18+{\cfrac {1}{1+\ldots }}}}}}}}\;}
Первую обобщённую цепную дробь для константы Апери, имеющую закономерность, открыли независимо Стилтьес и Рамануджан :
ζ ζ -->
(
3
)
=
1
+
1
4
+
1
3
1
+
1
3
12
+
2
3
1
+
2
3
20
+
3
3
1
+
3
3
28
+
… … -->
⋯ ⋯ -->
+
n
3
1
+
n
3
4
(
2
n
+
1
)
+
… … -->
{\displaystyle \zeta (3)=1+{\cfrac {1}{4+{\cfrac {1^{3}}{1+{\cfrac {1^{3}}{12+{\cfrac {2^{3}}{1+{\cfrac {2^{3}}{20+{\cfrac {3^{3}}{1+{\cfrac {3^{3}}{28+{\cfrac {\dots }{\dots +{\cfrac {n^{3}}{1+{\cfrac {n^{3}}{4(2n+1)+\dots }}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}
Она может быть преобразована к виду:
ζ ζ -->
(
3
)
=
1
+
1
5
− − -->
1
6
21
− − -->
2
6
55
− − -->
3
6
119
− − -->
4
6
225
− − -->
… … -->
⋯ ⋯ -->
+
n
6
(
2
n
3
+
3
n
2
+
11
n
+
5
)
+
… … -->
{\displaystyle \zeta (3)=1+{\cfrac {1}{5-{\cfrac {1^{6}}{21-{\cfrac {2^{6}}{55-{\cfrac {3^{6}}{119-{\cfrac {4^{6}}{225-{\cfrac {\dots }{\dots +{\cfrac {n^{6}}{(2n^{3}+3n^{2}+11n+5)+\dots }}}}}}}}}}}}}}}
Апери смог ускорить сходимость цепной дроби для константы:
ζ ζ -->
(
3
)
=
6
5
− − -->
1
6
117
− − -->
2
6
535
− − -->
3
6
1436
− − -->
4
6
3105
− − -->
… … -->
⋯ ⋯ -->
+
n
6
(
34
n
3
+
51
n
2
+
27
n
+
5
)
+
… … -->
{\displaystyle \zeta (3)={\frac {6}{5}}-{\cfrac {1^{6}}{117-{\cfrac {2^{6}}{535-{\cfrac {3^{6}}{1436-{\cfrac {4^{6}}{3105-{\cfrac {\dots }{\dots +{\cfrac {n^{6}}{(34n^{3}+51n^{2}+27n+5)+\dots }}}}}}}}}}}}}
[ 16] [ 17]
Число известных значащих цифр постоянной Апери
ζ ζ -->
(
3
)
{\displaystyle \zeta (3)}
[ 18]
Число известных значащих цифр постоянной Апери
ζ ζ -->
(
3
)
{\displaystyle \zeta (3)}
Дата
Количество значащих цифр
Авторы вычисления
1735
16
Леонард Эйлер [ 5] [ 6]
1887
32
Томас Иоаннес Стилтьес
1996
&&&&&&&&&0520000.&&&&&0 520 000Greg J. Fee & Simon Plouffe
1997
&&&&&&&&01000000.&&&&&0 1 000 000Bruno Haible & Thomas Papanikolaou
1997, май
&&&&&&&010536006.&&&&&0 10 536 006Patrick Demichel
1998, февраль
&&&&&&&014000074.&&&&&0 14 000 074Sebastian Wedeniwski
1998, март
&&&&&&&032000213.&&&&&0 32 000 213Sebastian Wedeniwski
1998, июль
&&&&&&&064000091.&&&&&0 64 000 091Sebastian Wedeniwski
1998, декабрь
&&&&&&0128000026.&&&&&0 128 000 026Sebastian Wedeniwski [ 19]
2001, сентябрь
&&&&&&0200001000.&&&&&0 200 001 000Shigeru Kondo & Xavier Gourdon
2002, февраль
&&&&&&0600001000.&&&&&0 600 001 000Shigeru Kondo & Xavier Gourdon
2003, февраль
&&&&&01000000000.&&&&&0 1 000 000 000Patrick Demichel & Xavier Gourdon
2006, апрель
&&&&010000000000.&&&&&0 10 000 000 000Shigeru Kondo & Steve Pagliarulo [ 20]
2009, январь
&&&&015510000000.&&&&&0 15 510 000 000Alexander J. Yee & Raymond Chan [ 21]
2009, март
&&&&031026000000.&&&&&0 31 026 000 000Alexander J. Yee & Raymond Chan [ 21]
2010, сентябрь
&&&0100000001000.&&&&&0 100 000 001 000Alexander J. Yee [ 22]
2013, сентябрь
&&&0200000001000.&&&&&0 200 000 001 000Robert J. Setti [ 22]
2015, август
&&&0250000000000.&&&&&0 250 000 000 000Ron Watkins [ 22]
2015, декабрь
&&&0400000000000.&&&&&0 400 000 000 000Dipanjan Nag [ 22]
2017, август
&&&0500000000000.&&&&&0 500 000 000 000Ron Watkins [ 22]
2019, май
&&01000000000000.&&&&&0 1 000 000 000 000Ian Cutress [ 22]
2020, июль
&&01200000000000.&&&&&0 1 200 000 000 000Seungmin Kim [ 23]
Существует много исследований, посвящённых другим значениям дзета-функции Римана в нечётных точках
ζ ζ -->
(
2
n
+
1
)
{\displaystyle \zeta (2n+1)}
n
>
1
{\displaystyle n>1}
Вадима Зудилина [англ.] иррациональными является бесконечное множество чисел
ζ ζ -->
(
2
n
+
1
)
{\displaystyle \zeta (2n+1)}
[ 24]
ζ ζ -->
(
5
)
{\displaystyle \zeta (5)}
ζ ζ -->
(
7
)
{\displaystyle \zeta (7)}
ζ ζ -->
(
9
)
{\displaystyle \zeta (9)}
ζ ζ -->
(
11
)
{\displaystyle \zeta (11)}
[ 25]
↑ Simon Plouffe, Zeta(3) or Apery constant to 2000 places (англ.) , Архивировано из оригинала (HTML) 5 февраля 2008 , Дата обращения: 8 февраля 2011 ↑ последовательность A002117 в OEIS
↑ 1 2 Roger Apéry (1979), "Irrationalité de ζ(2) et ζ(3)", Astérisque (фр.) , 61 : 11—13 ↑ A. van der Poorten (1979), "A proof that Euler missed... Apéry's proof of the irrationality of ζ(3). An informal report" (PDF) , The Mathematical Intelligencer (англ.) , 1 : 195—203, doi :10.1007/BF03028234 , Архивировано из оригинала (PDF) 6 июля 2011 , Дата обращения: 8 февраля 2011 ↑ 1 2 Leonhard Euler (1741), "Inventio summae cuiusque seriei ex dato termino generali (13 октября 1735)" (PDF) , Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae (лат.) , 8 : 173—204, Архивировано из оригинала (PDF) 23 июня 2011 , Дата обращения: 9 февраля 2011 ↑ 1 2 Leonhard Euler (translation by Jordan Bell, 2008), "Finding the sum of any series from a given general term" (PDF) , arXiv:0806.4096 (англ.) , Архивировано из оригинала (PDF) 28 июня 2021 , Дата обращения: 9 февраля 2011 CS1 maint: year (ссылка ) ↑ Leonhard Euler (1773), "Exercitationes analyticae" (PDF) , Novi Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae (лат.) , 17 : 173—204, Архивировано из оригинала (PDF) 17 сентября 2006 , Дата обращения: 8 февраля 2011 ↑ H. M. Srivastava (2000), "Some Families of Rapidly Convergent Series Representations for the Zeta Functions" (PDF) , Taiwanese Journal of Mathematics , 4 (4): 569—598, ISSN 1027-5487 , Архивировано (PDF) 19 июля 2011 , Дата обращения: 8 февраля 2011 Архивная копия от 19 июля 2011 на Wayback Machine ↑ Bruce C. Berndt (1989), Ramanujan's notebooks, Part II ISBN 978-0-387-96794-3 оригинала 17 августа 2010 , Дата обращения: 8 февраля 2011 ↑ Simon Plouffe (1998), Identities inspired from Ramanujan Notebooks II оригинала (HTML) 30 января 2009 , Дата обращения: 8 февраля 2011 ↑ D. J. Broadhurst (1998), Polylogarithmic ladders, hypergeometric series and the ten millionth digits of ζ(3) and ζ(5) оригинала (PDF) 13 июля 2019 , Дата обращения: 8 февраля 2011 ↑ Г. М. Фихтенгольц. Курс дифференциального и интегрального исчисления (7-е изд.), с. 769. Наука, Москва, 1969
↑ Johan Ludwig William Valdemar Jensen. Note numéro 245. Deuxième réponse. Remarques relatives aux réponses du MM. Franel et Kluyver . L’Intermédiaire des mathématiciens, tome II, pp. 346—347, 1895.
↑ F. Beukers A Note on the Irrationality of ζ(2) and ζ(3) . Bull. London Math. Soc. 11, pp. 268—272, 1979.
↑ Iaroslav V. Blagouchine Rediscovery of Malmsten’s integrals, their evaluation by contour integration methods and some related results. The Ramanujan Journal, vol. 35, no. 1, pp. 21-110, 2014. Архивная копия от 12 декабря 2017 на Wayback Machine PDF Архивная копия от 7 мая 2021 на Wayback Machine ↑ Steven R. Finch Mathematical Constants 1.6.6 (неопр.) . Дата обращения: 10 августа 2020. Архивировано 28 ноября 2020 года.↑ van der Poorten, Alfred (1979), "A proof that Euler missed ... Apéry's proof of the irrationality of ζ (3) (PDF) , The Mathematical Intelligencer 1 (4): 195—203, doi :10.1007/BF03028234 , Архивировано из оригинала (PDF) 6 июля 2011 , Дата обращения: 8 августа 2020 ↑ X. Gourdon & P. Sebah, Constants and Records of Computation оригинала (HTML) 15 января 2011 , Дата обращения: 8 февраля 2011 ↑ Sebastian Wedeniwski (2001), The Value of Zeta(3) to 1,000,000 places , Project Gutenberg ↑ Xavier Gourdon & Pascal Sebah (2003), The Apéry's constant: ζ(3) оригинала (HTML) 13 ноября 2008 , Дата обращения: 8 февраля 2011 ↑ 1 2 Alexander J. Yee & Raymond Chan (2009), Large Computations оригинала (HTML) 9 декабря 2009 , Дата обращения: 8 февраля 2011 ↑ 1 2 3 4 5 6 Alexander J. Yee (2015), Zeta(3) — Apery's Constant оригинала (HTML) 18 ноября 2018 , Дата обращения: 24 ноября 2018 ↑ Apéry’s Constant | Polymath Collector (неопр.) . Дата обращения: 27 февраля 2021. Архивировано 17 октября 2020 года.↑ T. Rivoal (2000), "La fonction zeta de Riemann prend une infnité de valuers irrationnelles aux entiers impairs", Comptes Rendus Acad. Sci. Paris Sér. I Math. , 331 : 267—270 ↑ В. В. Зудилин. Одно из чисел ζ(5), ζ(7), ζ(9), ζ(11) иррационально // УМН . — 2001. — Т. 56 , вып. 4(340) . — С. 149–150 .
![{\displaystyle \Gamma (1+\varepsilon )=e^{-\gamma \varepsilon }\left[1+{\tfrac {1}{12}}\pi ^{2}\varepsilon ^{2}-{\tfrac {1}{3}}\zeta (3)\varepsilon ^{3}+O(\varepsilon ^{4})\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e684fffa600f7d62440c3992f3ad7fffa3f9d2a1)
![{\displaystyle \zeta (3)={\tfrac {1}{7}}\pi ^{2}\left[1-4\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\zeta (2k)}{(2k+1)(2k+2)2^{2k}}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d9d2d8fdb8653881c1071cd630be5cba4d7a5195)
![{\displaystyle \zeta (3)=\pi \!\!\int \limits _{0}^{\infty }\!{\frac {\cos(2\,\mathrm {arctg} \,x)}{\left(x^{2}+1\right){\big [}\mathrm {ch} {\big (}{\frac {1}{2}}\pi x{\big )}{\big ]}^{2}}}\,dx\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/009a4a0801056236e376a4b38eace063b6ec02e3)
![{\displaystyle \zeta (3)=[1;4,1,18,1,1,1,4,1,9,9,2,1,1,1,2,7,1,1,7,11,1,1,1,\cdots ]=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aeb512b9c1a11943ace87e893a66cae0c8c210ed)
