PROFILPELAJAR.COM

Неформально (обычно в развлекательной математике и научно-популярной литературе) большими числами называют числа, значительно превосходящие числа, используемые в повседневной жизни. С XV века большими считались числа^[1] больше тысячи, например миллион^[2].

Изучение больших чисел и их номенклатуры иногда называются термином гугология (англ. googology)^[3]^[4]^[5]. Термин был образован как комбинация слов «гугол» (классическое большое число) и «логос» (учение). Термин введён любителем математики Джонатаном Бауэрсом^[4].

История

Несмотря на то что гугология — современный термин, история изучения человеком больших чисел уходит в глубокую древность.

III век до н. э. — Архимед в своём труде Псаммит представил нотацию, позволяющую записывать числа до $10^{8\cdot 10^{16}}$ ^[6]. В связи с этим его иногда называют первым «гугологистом»^[4].

I век н. э. — В буддистском священном тексте Аватамсака-сутра было упомянуто число $\approx 10^{10^{32}}$

1928 год — Вильгельм Аккерман опубликовал свою функцию.

1940 год — Эдвард Казнер описал числа гугол ( $10^{100}$ ) и гуголплекс ( $10^{10^{100}}$ )^[7].

1947 год — Р. Гудштейн^[англ.] дал наименование операциям тетрации ( $a\uparrow \uparrow b$ ), пентации ( $a\uparrow \uparrow \uparrow b$ ) и гексации ( $a\uparrow ^{4}b$ )^[8].

1970 год — С. Вайнер дал определение быстрорастущей иерархии^[9].

1976 год — Дональд Кнут изобрёл стрелочную нотацию^[10] (предел $\omega$ в терминологии быстрорастущей иерархии).

1977 год — Мартин Гарднер в журнале Scientific American описал число Грэма^[11] ( $G=g(64)=f^{64}(4)$ , где $f(n)=3\uparrow ^{n}3$ . Функция $g(n)$ имеет скорость роста порядка $\omega +1$ ).

1983 год — была изобретена нотация Штейнгауза — Мозера^[12](предел $\omega$ ).

1995 год — Джон Конвей изобрёл цепную стрелочную нотацию^[13](предел $\omega ^{2}$ ).

2002 год — Д. Бауэрс (J. Bowers) опубликовал свои нотацию массива^[14]^[15] (предел $\omega ^{\omega }$ ) и расширенную нотацию массива (предел $\omega ^{\omega ^{\omega }}$ ).

2002 год — Х. Фридман^[англ.] дал определение функции TREE(n), имеющей скорость роста $\theta (\Omega ^{\omega }\omega )$ .

2006 год — Х. Фридман дал определение быстрорастущим функциям SCG(n) и SSCG(n).

2007 год — Д. Бауэрс определил ещё более мощную нотацию BEAF (данная нотация хорошо определена до $\varepsilon _{0}$ , числа, превосходящие этот уровень, вызывают противоречивость оценок).

Список гугологизмов

Математические объекты, имеющие отношения к гугологии (в том числе большие числа), называются гугологизмами. В настоящее время наименования даны для нескольких тысяч чисел, превосходящих гугол. Ниже приведён список некоторых гугологизмов и их выражения в наиболее известных нотациях^[16]. Перед выражением в той нотации, в которой число было записано автором, стоит знак равенства, выражения для того же числа в других нотациях представляют собой аппроксимации.

Имя числа	Степень десяти	Нотация Кнута	Нотация Конвея	Нотация Бауэрса (нотация массива)	Нотация Сайбиана (гипер-E нотация)	Быстрорастущая иерархия
Гугол	$=10^{100}$	$10\uparrow 100$	$10\rightarrow 100$	$\{10,100\}$	$E100$	$f_{2}(324)$
Гуголплекс	$=10^{10^{100}}$	$10\uparrow 10\uparrow 100$	$10\rightarrow (10\rightarrow 100)$	$\{10,\{10,100\}\}$	$E100\#2$	$f_{2}^{2}(324)$
Гиггол (Giggol)	$\underbrace {10^{10^{10^{\cdots ^{10^{10}}}}}} _{\text{100 десяток}}$	$10\uparrow ^{2}100$	$10\rightarrow 100\rightarrow 2$	$=\{10,100,2\}$	$E1\#100$	$f_{3}(100)$
Гаггол (Gaggol)	$\left.{\begin{matrix}&&\underbrace {10^{10^{10^{\cdots ^{10^{10}}}}}} \\&&\underbrace {10^{10^{10^{\cdots ^{10^{10}}}}}} \\&&\underbrace {\quad \quad \;\;\vdots \quad \quad \;\;} \\&&\underbrace {10^{10^{10^{\cdots ^{10^{10}}}}}} \\&&{\text{10 десяток}}\end{matrix}}\right\}{\text{100 }}$	$10\uparrow ^{3}100$	$10\rightarrow 100\rightarrow 3$	$=\{10,100,3\}$	$E1\#1\#100$	$f_{4}(100)$
Бугол (Boogol)		$10\uparrow ^{100}10$	$10\rightarrow 10\rightarrow 100$	$=\{10,10,100\}$	$E100\#\#100$	$f_{101}(100)$
Число Грэма		$=\left.{\begin{matrix}&&\underbrace {3\uparrow \uparrow \cdots \uparrow \uparrow 3} \\&&\underbrace {3\uparrow \uparrow \cdots \uparrow \uparrow 3} \\&&\underbrace {\quad \quad \;\;\vdots \quad \quad \;\;} \\&&\underbrace {3\uparrow \uparrow \cdots \uparrow \uparrow 3} \\&&3\uparrow ^{4}3{\text{стрелок}}\end{matrix}}\right\}{\text{64 }}$	$3\rightarrow 3\rightarrow 64\rightarrow 2$	$\{3,65,1,2\}$	$E(3)3\#\#4\#64$	$f_{\omega +1}(64)$
Траддом (Traddom)^[17]			$10\rightarrow 10\rightarrow 11\rightarrow 4$	$\{10,10,3,2\}$	$E10\#\#10\#\#4$	$=f_{\omega +3}(10)$
Биггол (Biggol)			$10\rightarrow 10\rightarrow 10\rightarrow 100$	$=\{10,10,100,2\}$	$E100\#\#100\#\#100$	$f_{\omega .2}(100)$
Трултом (Trultom)			$10\rightarrow 10\rightarrow 10\rightarrow 10\rightarrow 11$	$\{10,10,10,3\}$	$E10\#\#\#4$	$=f_{\omega .3}(10)$
Тругол (Troogol)			$\underbrace {10\rightarrow 10\rightarrow \cdots \rightarrow 10} _{101\quad \rightarrow }$	$=\{10,10,10,100\}$	$E100\#\#\#100$	$f_{\omega ^{2}}(100)$

Числа, приведённые ниже, находятся уже за пределами применения нотаций Кнута и Конвея.

имя числа	нотация Бауэрса (BEAF)	нотация Сайбиана	быстрорастущая иерархия
Квадругол (Quadroogol)	$=\{10,10,10,10,100\}$	$E100\#\#\#\#100$	$f_{\omega ^{3}}(100)$
Квадрексом (Quadrexom)	$\{10,10,10,10,10,10\}$	$E10\#\#\#\#\#10$	$=f_{\omega ^{4}}(10)$
Квинтугол (Quintoogol)	$=\{10,10,10,10,10,100\}$	$E100\#\#\#\#\#100$	$f_{\omega ^{4}}(100)$
Губол (Goobol)	$=\{10,100(1)2\}=$ $=\underbrace {\{10,10,10,\cdots ,10,10\}} _{100\quad {\text{десяток}}}$	$E100\#^{99}100$	$f_{\omega ^{98}}(100)$
Бубол (Boobol)	$=\{10,10,100(1)2\}$	E100#^#100##100	$f_{\omega ^{\omega }+99}(100)$
Трубол (Troobol)	$=\{10,10,10,100(1)2\}$	E100#^#100###101	$f_{\omega ^{\omega }+\omega ^{2}}(100)$
Квадрубол (Quadroobol)	$=\{10,10,10,10,100(1)2\}$	E100#^#100####101	$f_{\omega ^{\omega }+\omega ^{3}}(100)$
Гутрол (Gootrol)	$=\{10,100(1)3\}$	E100#^#100#^#100	$f_{\omega ^{\omega }.2}(100)$
Госсол (Gossol)	$=\{10,10(1)100\}$	E100#^#*#100	$f_{\omega ^{\omega +1}}(100)$
Моссол (Mossol)	$=\{10,10(1)10,100\}$	E100#^#*##100	$f_{\omega ^{\omega +2}}(100)$
Боссол (Bossol)	$=\{10,10(1)10,10,100\}$	E100#^#*###100	$f_{\omega ^{\omega +3}}(100)$
Троссол (Trossol)	$=\{10,10(1)10,10,10,100\}$	E100#^#*####100	$f_{\omega ^{\omega +4}}(100)$
Дубол (Dubol)	$=\{10,100(1)(1)2\}$	E100#^#*#^#100	$f_{\omega ^{\omega .2}}(100)$
Дутрол (Dutrol)	$=\{10,100(1)(1)3\}$	E100#^##^#100#^##^#100	$f_{\omega ^{\omega .2}.2}(100)$
Колоссол (Colossol)	$=\{10,10(3)2\}$	E10#^###10	$f_{\omega ^{\omega ^{3}}}(10)$
Тероссол (Terossol)	$=\{10,10(4)2\}$	E10#^####10	$f_{\omega ^{\omega ^{4}}}(10)$
Петоссол (Petossol)	$=\{10,10(5)2\}$	E10#^#####10	$f_{\omega ^{\omega ^{5}}}(10)$
Гонгулус (Gongulus)	$=\{10,10(100)2\}$	E10#^#^#100	$f_{\omega ^{\omega ^{100}}}(10)$
Годтосол (Godtothol)	$\{100,100((1)1)2\}$	=E100#^#^#^#100	$f_{\omega ^{\omega ^{\omega ^{\omega }}}}(100)$
Годтопол (Godtopol)	$\{100,100(((1)1)1)2\}$	=E100#^#^#^#^#^#100	$f_{\omega \uparrow \uparrow 6}(100)$
Годоктол (Godoctol)	$\{100,100((((0,1)1)1)1)2\}$	=E100#^#^#^#^#^#^#^#^#100	$f_{\omega \uparrow \uparrow 9}(100)$
Декотетром (Dekotetrom)	$X\uparrow ^{2}9\&10$	E10#^^#10	$=f_{\omega \uparrow \uparrow 10}(10)$
Гоппатос (Goppatoth)	$=10\uparrow \uparrow 100\&10$	E10#^^#101	$f_{\varepsilon _{0}}(101)$
Тесракросс (Tethracross)	$X\uparrow ^{3}X^{2}\&100$	=E100#^^##100	$f_{\zeta _{0}}(100)$
Тесракубор (Tethracubor)	$X\uparrow ^{4}101\&100$	=E100#^^###100	$f_{\eta _{0}}(100)$
Тесратерон (Tethrateron)	$X\uparrow ^{5}101\&100$	=E100#^^####100	$f_{\varphi (4,0)}(100)$
Пентаксулум (Pentacthulhum)	$\{X,X,1,2\}\&100$	=E100#^^^#100	$f_{\Gamma _{0}}(99)$
Гексаксулум (Hexacthulhum)	$\{X,X,1,3\}\&100$	=E100#^^^^#100	$f_{\varphi (2,0,0)}(99)$
Годсгодгулус (Godsgodgulus)	$\{X,X,1,99\}\&100$	=E100#{100}#100	$f_{\varphi (98,0,0)}(99)$
TREE(3)			$f_{\theta (\Omega ^{\omega }\omega )}(3)$
SCG(13)			$f_{\psi _{\Omega }(\Omega _{\omega })}(13)$

Применение больших чисел в других областях науки

Космология

Диаметр видимой части Вселенной $8,8\times 10^{26}$ м
Число атомов в видимой части Вселенной $\approx 10^{80}$ (по разным оценкам от 4⋅10⁷⁹ до 10⁸¹).
Число объёмов Планка ( $l_{P}^{3}$ , где $l_{P}=1,6\times 10^{-35}$ м — планковская длина) в видимой части Вселенной $\approx 4,7\times 10^{184}$
Диаметр Вселенной в соответствии с некоторыми инфляционными моделями $\approx 10^{10^{12}}$ м
Возможное число вселенных в мультиверсуме по оценке А. Линде и В. Ванчурина в соответствии с хаотической теорией инфляции $10^{10^{10^{7}}}$ ^[18].

Статистическая механика

Вероятность того, что в 1 см³ обычного воздуха вследствие случайного хаотического движения молекул объём 1 мм³ в течение 1 секунды будет оставаться абсолютно пустым $1/10^{10^{13}}$ (что соответствует времени ожидания $10^{10^{13}}$ с.)^[19]
Время ожидания появления больцмановского мозга в результате квантовой флуктуации в де-ситтеровском вакууме $\approx 10^{10^{50}}$ лет^[20].
Время возвращения Пуанкаре для квантового состояния гипотетического ящика, вмещающего чёрную дыру, масса которой равна массе Вселенной согласно некоторым инфляционным моделям $\approx 10^{10^{10^{10^{10^{1,1}}}}}$ лет^[21]^[22].

Теория графов

Число Грэма — верхняя граница для наименьшего числа измерений гиперкуба, при котором двухцветная раскраска линий, соединяющих все пары вершин этого куба, обязательно содержит одноцветный 4-вершинный копланарный полный подграф
TREE(3)
SCG(13)

Примечания

↑ Александр Альбов. От абака до кубита + история математических символов. — Litres, 2017-09-05. — С. 73. — 308 с. — ISBN 978-5-04-013707-7. Архивировано 11 января 2022 года.
↑ П. С. Александров. Энциклопедия элементарной математики. — Рипол Классик. — С. 38. — 449 с. — ISBN 978-5-458-25956-9. Архивировано 11 января 2022 года.
↑ One Million Things: A Visual Encyclopedia (англ.). — New York, New York 10014, United States: DK Publishing, 2008. — P. 286. — ISBN 978-0-7566-3843-6. «The study of large numbers is called googology»
↑ ¹ ² ³ Prof. Dr. Ir. Maarten Looijen. Over getallen gesproken - Talking about numbers (афр.). — Van Haren Publishing, 2016. — С. 211. — ISBN 978-94018-0028-0.
↑ Robert A. Nowlan. Masters of Mathematics: The Problems They Solved, Why These Are Important, and What You Should Know about Them (англ.). Springer (13 мая 2017). Дата обращения: 25 августа 2018. Архивировано 4 августа 2020 года.
↑ The Sand Reckoner (Arenario) (неопр.). Дата обращения: 8 октября 2016. Архивировано 7 августа 2016 года.
↑ Kasner, Edward; Newman, James R. Mathematics and the Imagination (англ.). — Simon and Schuster, New York, 1940. — ISBN 0-486-41703-4. The relevant passage about the googol and googolplex, attributing both of these names to Kasner’s nine-year-old nephew, is available in The world of mathematics, volume 3 (англ.) / James R. Newman. — Mineola, New York: Dover Publications, 2000. — P. 2007—2010. — ISBN 978-0-486-41151-4.
↑ Goodstein, R. L. (1947). «Transfinite Ordinals in Recursive Number Theory». Journal of Symbolic Logic 12 (4): 123—129. doi:10.2307/2266486. JSTOR 2266486 Архивная копия от 27 января 2017 на Wayback Machine.
↑ Löb, M.H. and Wainer, S.S., "Hierarchies of Number Theoretic Functions I, II: A Correction, " Arch. Math. Logik Grundlagenforschung 14, 1970 pp. 198—199.
↑ Knuth, D. E. (1976) «Mathematics and Computer Science: Coping with Finiteness.» Архивная копия от 24 августа 2013 на Wayback Machine Science 194, 1235—1242. doi:10.1126/science.194.4271.1235
↑ Gardner, M. (1977) «Mathematical games: In which joining sets of points leads into diverse (and diverting) paths» Архивная копия от 19 октября 2013 на Wayback Machine Scientific American 237(5), 18-28. doi:10.1038/scientificamerican1177-18.
↑ Steinhaus-Moser Notation — MathWorld (неопр.). Дата обращения: 9 октября 2016. Архивировано 13 октября 2016 года.
↑ Conway, J. H. (1995) PDF Архивная копия от 22 ноября 2021 на Wayback Machine
↑ Exploding Array Function (неопр.). Дата обращения: 9 октября 2016. Архивировано 21 сентября 2016 года.
↑ Array notation (неопр.). Дата обращения: 9 октября 2016. Архивировано 19 октября 2016 года.
↑ List of googologisms (неопр.). Дата обращения: 10 октября 2016. Архивировано 21 ноября 2016 года.
↑ Traddom (неопр.). Дата обращения: 10 октября 2016. Архивировано 11 октября 2016 года.
↑ ANDREI LINDE AND VITALY VANCHURIN- HOW MANY UNIVERSES ARE IN THE MULTIVERSE? (неопр.) Дата обращения: 18 октября 2016. Архивировано из оригинала 11 октября 2016 года.
↑ Г. Линдер. Картины современной физики. М.: Мир, 1977
↑ Sinks in the Landscape, Boltzmann Brains, and the Cosmological Constant Problem Архивная копия от 11 августа 2012 на Wayback Machine // Andrei Linde 2007, Journal of Cosmology and Astroparticle Physics 01(2007)022 doi:10.1088/1475-7516/2007/01/022
↑ Information Loss in Black Holes and/or Conscious Beings?, Don N. Page, Heat Kernel Techniques and Quantum Gravity (1995), S. A. Fulling (ed), p. 461. Discourses in Mathematics and its Applications, No. 4, Texas A&M University Department of Mathematics. arXiv:hep-th/9411193. ISBN 0-9630728-3-8.
↑ How to Get A Googolplex (неопр.). Дата обращения: 18 октября 2016. Архивировано 6 ноября 2006 года.

Литература

David Darling, Agnijo Banerjee. Weird Math: A Teenage Genius and His Teacher Reveal the Strange Connections Between Math and Everyday Life. — Basic Books, 2018-04-17. — 294 с. — ISBN 9781541644793.

Ссылки

Googology — статья в Googology Wiki.

[1] Александр Альбов. От абака до кубита + история математических символов. — Litres, 2017-09-05. — С. 73. — 308 с. — ISBN 978-5-04-013707-7. Архивировано 11 января 2022 года.

[2] П. С. Александров. Энциклопедия элементарной математики. — Рипол Классик. — С. 38. — 449 с. — ISBN 978-5-458-25956-9. Архивировано 11 января 2022 года.

[3] One Million Things: A Visual Encyclopedia (англ.). — New York, New York 10014, United States: DK Publishing, 2008. — P. 286. — ISBN 978-0-7566-3843-6. «The study of large numbers is called googology»

[Looijen-4] ¹ ² ³ Prof. Dr. Ir. Maarten Looijen. Over getallen gesproken - Talking about numbers (афр.). — Van Haren Publishing, 2016. — С. 211. — ISBN 978-94018-0028-0.

[5] Robert A. Nowlan. Masters of Mathematics: The Problems They Solved, Why These Are Important, and What You Should Know about Them (англ.). Springer (13 мая 2017). Дата обращения: 25 августа 2018. Архивировано 4 августа 2020 года.

[6] The Sand Reckoner (Arenario) (неопр.). Дата обращения: 8 октября 2016. Архивировано 7 августа 2016 года.

[7] Kasner, Edward; Newman, James R. Mathematics and the Imagination (англ.). — Simon and Schuster, New York, 1940. — ISBN 0-486-41703-4. The relevant passage about the googol and googolplex, attributing both of these names to Kasner’s nine-year-old nephew, is available in The world of mathematics, volume 3 (англ.) / James R. Newman. — Mineola, New York: Dover Publications, 2000. — P. 2007—2010. — ISBN 978-0-486-41151-4.

[8] Goodstein, R. L. (1947). «Transfinite Ordinals in Recursive Number Theory». Journal of Symbolic Logic 12 (4): 123—129. doi:10.2307/2266486. JSTOR 2266486 Архивная копия от 27 января 2017 на Wayback Machine.

[9] Löb, M.H. and Wainer, S.S., "Hierarchies of Number Theoretic Functions I, II: A Correction, " Arch. Math. Logik Grundlagenforschung 14, 1970 pp. 198—199.

[10] Knuth, D. E. (1976) «Mathematics and Computer Science: Coping with Finiteness.» Архивная копия от 24 августа 2013 на Wayback Machine Science 194, 1235—1242. doi:10.1126/science.194.4271.1235

[11] Gardner, M. (1977) «Mathematical games: In which joining sets of points leads into diverse (and diverting) paths» Архивная копия от 19 октября 2013 на Wayback Machine Scientific American 237(5), 18-28. doi:10.1038/scientificamerican1177-18.

[12] Steinhaus-Moser Notation — MathWorld (неопр.). Дата обращения: 9 октября 2016. Архивировано 13 октября 2016 года.

[13] Conway, J. H. (1995) PDF Архивная копия от 22 ноября 2021 на Wayback Machine

[14] Exploding Array Function (неопр.). Дата обращения: 9 октября 2016. Архивировано 21 сентября 2016 года.

[15] Array notation (неопр.). Дата обращения: 9 октября 2016. Архивировано 19 октября 2016 года.

[16] List of googologisms (неопр.). Дата обращения: 10 октября 2016. Архивировано 21 ноября 2016 года.

[17] Traddom (неопр.). Дата обращения: 10 октября 2016. Архивировано 11 октября 2016 года.

[18] ANDREI LINDE AND VITALY VANCHURIN- HOW MANY UNIVERSES ARE IN THE MULTIVERSE? (неопр.) Дата обращения: 18 октября 2016. Архивировано из оригинала 11 октября 2016 года.

[19] Г. Линдер. Картины современной физики. М.: Мир, 1977

[20] Sinks in the Landscape, Boltzmann Brains, and the Cosmological Constant Problem Архивная копия от 11 августа 2012 на Wayback Machine // Andrei Linde 2007, Journal of Cosmology and Astroparticle Physics 01(2007)022 doi:10.1088/1475-7516/2007/01/022

[page95-21] Information Loss in Black Holes and/or Conscious Beings?, Don N. Page, Heat Kernel Techniques and Quantum Gravity (1995), S. A. Fulling (ed), p. 461. Discourses in Mathematics and its Applications, No. 4, Texas A&M University Department of Mathematics. arXiv:hep-th/9411193. ISBN 0-9630728-3-8.

[22] How to Get A Googolplex (неопр.). Дата обращения: 18 октября 2016. Архивировано 6 ноября 2006 года.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

[22]

PROFILPELAJAR.COM

Большие числа

Содержание

История

Список гугологизмов

Применение больших чисел в других областях науки

Примечания

Литература

Ссылки

Read other articles:

Drew Pearson

Scala esatonale

Brian Littrell

Seulo

Ratu Buaya Putih

Kalliope

لغة عيلامية

Cyproheptadine

Первородный грех

Réseau de bus de Sénart

جان بيير رامبال

Ujung Pandang, Makassar

1879 Bulgarian parliamentary election

Office of the Law Revision Counsel

Saxe-Weimar

Sly Stone

Cabinet Secretary for Education and Skills

Italian War of 1494–1495

Hammer & Tickle

Kameʻeiamoku