Теорема Линдемана — Вейерштрасса

Теорема Линдемана — Вейерштрасса, являющаяся обобщением теоремы Линдемана, доказывает трансцендентность большого класса чисел. Теорема утверждает следующее^[1]:

Если $\alpha _{1},\alpha _{2},\dots \alpha _{n}$ — различные алгебраические числа, линейно независимые над $\mathbb {Q}$ , то $e^{\alpha _{1}},e^{\alpha _{2}},\dots e^{\alpha _{n}}$ являются алгебраически независимыми над $\mathbb {Q}$ , то есть, степень трансцендентности расширения $\mathbb {Q} (e^{\alpha _{1}},e^{\alpha _{2}},\dots e^{\alpha _{n}})$ равна $n$

Часто используется другая эквивалентная формулировка^[2]:

Для любых различных алгебраических чисел $\alpha _{1},\alpha _{2},\dots \alpha _{n}$ числа $e^{\alpha _{1}},e^{\alpha _{2}},\dots e^{\alpha _{n}}$ являются линейно независимыми над полем алгебраических чисел ${\overline {\mathbb {Q} }}$ .

История

В 1882 году Линдеман доказал, что $e^{\alpha }$ трансцендентно для любого ненулевого алгебраического $\alpha$ ^[3], а в 1885 году Карл Вейерштрасс доказал более общее утверждение, приведённое выше.

Из теоремы Линдемана — Вейерштрасса легко следует трансцендентность чисел e и π.

Доказательство трансцендентности π

Применим метод доказательства от противного. Предположим, число $\pi$ является алгебраическим. Тогда число $i\pi$ , где $i$ — мнимая единица, также алгебраично, следовательно, по теореме Линдемана — Вейерштрасса число $e^{i\pi }$ трансцендентно, однако согласно тождеству Эйлера оно равно алгебраическому числу $-1$ , что вызывает противоречие. Следовательно, число $\pi$ трансцендентно.

Примечания

↑ Weisstein, Eric W. Lindemann–Weierstrass theorem (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
↑ Alan Baker. Transcendental Number Theory. — Cambridge University Press, 1975. — ISBN 052139791X.. Chapter 1, Theorem 1.4.
↑ F. Lindemann. Über die Zahl π (нем.) // Mathematische Annalen. — Bd. 20 (1882). — S. 213—225.

Литература

Ленг С. Алгебра. — Москва: Мир, 1968. — 564 с.
Шидловский А. Б. «Диофантовы приближения и трансцендентные числа» (М. ФИЗМАТЛИТ, 2007) ISBN 978-5-9221-0720-4

Read other articles:

Padang Hulu, Tebing Tinggi

Padang HuluKecamatanKantor Kecamatan Padang HuluNegara IndonesiaProvinsiSumatera UtaraKotaTebing TinggiPemerintahan • Camat-Populasi • Total26,714 jiwa (2.010) jiwaKode Kemendagri12.76.01 Kode BPS1274010 Luas- km²Desa/kelurahan- Padang Hulu adalah sebuah kecamatan di Kota Tebing Tinggi, Sumatera Utara, Indonesia. Pranala luar (Indonesia) Keputusan Menteri Dalam Negeri Nomor 050-145 Tahun 2022 tentang Pemberian dan Pemutakhiran Kode, Data Wilayah Administrasi Peme...

Sophia Antipolis

Sophia Antipolis adalah taman teknologi yang terletak di barat laut Antibes dan barat daya Nice, di selatan Prancis, di French Riviera.[1] Antipolis adalah nama Yunani kuno untuk kota Antibes, dan nama Sophia mengacu pada dewi kebijaksanaan. Didirikan pada tahun 1970, taman teknologi adalah rumah bagi sekitar 1.300 perusahaan, terutama di sektor Informatik, elektronik, farmasi dan bioteknologi, dan bekerja sama dengan Université Côte-d'Azur.[2] Daerah ini memiliki lebih dar...

العلاقات الزامبية الكورية الجنوبية

العلاقات الزامبية الكورية الجنوبية زامبيا كوريا الجنوبية زامبيا كوريا الجنوبية تعديل مصدري - تعديل العلاقات الزامبية الكورية الجنوبية هي العلاقات الثنائية التي تجمع بين زامبيا وكوريا الجنوبية.[1][2][3][4][5] مقارنة بين البلدين هذه مقارن�...

Hamilton County, Kansas

County in Kansas, United States Not to be confused with Hamilton, Kansas. County in KansasHamilton CountyCountyHamilton County Courthouse in Syracuse (2010)Location within the U.S. state of KansasKansas's location within the U.S.Coordinates: 38°01′00″N 101°40′01″W / 38.0167°N 101.667°W / 38.0167; -101.667Country United StatesState KansasFoundedMarch 20, 1873Named forAlexander HamiltonSeatSyracuseLargest citySyracuseArea • Total998 ...

Witness for the Prosecution (film 1957)

Witness for the ProsecutionSutradaraBilly WilderProduserArthur Hornblow Jr.SkenarioLarry MarcusBilly WilderHarry KurnitzBerdasarkanThe Witness for the Prosecutioncerita tahun 1925oleh Agatha ChristiePemeranTyrone PowerMarlene DietrichCharles LaughtonPenata musikMatty MalneckRalph Arthur RobertSinematograferRussell HarlanPenyuntingDaniel MandellPerusahaanproduksiEdward Small ProductionsDistributorUnited ArtistsTanggal rilis17 Desember 1957 (perilisan AS terbatas)30 Januari 1958 (Penayang...

Coconut jam

Jam made from a base of coconut milk, eggs and sugar This article needs additional citations for verification. Please help improve this article by adding citations to reliable sources. Unsourced material may be challenged and removed.Find sources: Coconut jam – news · newspapers · books · scholar · JSTOR (July 2017) (Learn how and when to remove this template message)Coconut jamA jar of matamís sa báo from the PhilippinesAlternative names sekaya seri...

Stasiun Palur

Stasiun Palur Y13 Bangunan baru Stasiun Palur, 2019LokasiDagen, Jaten, Karanganyar, Jawa Tengah 57764IndonesiaKoordinat7°34′1″S 110°52′29″E / 7.56694°S 110.87472°E / -7.56694; 110.87472Koordinat: 7°34′1″S 110°52′29″E / 7.56694°S 110.87472°E / -7.56694; 110.87472Ketinggian+93 mOperator KAI Commuter Letakkm 256+484 lintas Surabaya Kota-Kertosono-Madiun-Solo Balapan[1] Jumlah peron3 (satu peron sisi yang cukup tinggi...

Повітряні сили Збройних сил України

Ця стаття потребує додаткових посилань на джерела для поліпшення її перевірності. Будь ласка, допоможіть удосконалити цю статтю, додавши посилання на надійні (авторитетні) джерела. Зверніться на сторінку обговорення за поясненнями та допоможіть виправити недоліки. Мат...

Stefano Parisi

Italian businessman and politician (born 1956) Parisi in 2016 Stefano Parisi (born 12 November 1956) is an Italian businessman and politician. He was the general secretary of Confindustria for four years and founder of Energies for Italy, a political party member of the centre-right coalition. Early life and education Parisi was born in Rome. During his studying years in the 1970s, he worked as a Vice-Secretary of the university's Italian Socialist Party (PSI) nucleus of his city. After gradu...

Aristobulus II

Aristobulus IIRaja dan Imam Besar di YudeaAristobulus II, dari Promptuarii Iconum Insigniorum karya Guillaume RouilléBerkuasa~ 66 – 63 SMPendahuluHirkanus IIPenerusHirkanus IIAyahAleksander YaneusIbuSalome Aleksandra Kerajaan Hasmonea di bawah Aristobulus II Aristobulus II (//, Ibrani: אריסטובולוס; Yunani: Ἀριστόβουλος Aristóboulos) adalah Imam Besar Yahudi dan Raja Yudea, pada tahun 66 SM- 63 SM, dari wangsa Hasmonean. Keluarga Aristobulus adalah putra yan...

Malden, Massachusetts

City in Massachusetts, United StatesMalden, MassachusettsCity Left-right from top: Malden High School, Waitt Brick Block, Fellsmere Park, Oak Grove MBTA station SealLocation in Middlesex County in MassachusettsMaldenShow map of Greater Boston areaMaldenShow map of MassachusettsMaldenShow map of the United StatesCoordinates: 42°25′30″N 71°04′00″W / 42.42500°N 71.06667°W / 42.42500; -71.06667CountryUnited StatesStateMassachusettsCountyMiddlesexSettled1640Inc...

بريل

بريل بريل نمط ألفبائية لغات عديدة حقبة 1824 حتى الآن أصول كتابة ليليةبريل مبكرةبريل فروع بريل فرنسيةبريل عربيةبريل إنجليزيةبريل هنديةبريل صينيةبريل يابانيةبريل كوريةأخرى. أقران نقطة نيو يورك يونيكود U+2800–U+28FF إسو 15924 Brai ٭ قد تحتوي هذه الصفحة على يونيكود الألفبائية الصوتية ...

Jorge Amado

Ritratto raffigurante Jorge Amado (1997) Premio Lenin per la pace 1951 Jorge Amado, all'anagrafe Jorge Leal Amado de Faria (AFI: [ˈʒɔʁʒi lɛˈaw ɐˈmadu dʒi fɐˈɾi.ɐ]; Itabuna, 10 agosto 1912 – Salvador de Bahia, 6 agosto 2001), è stato uno scrittore brasiliano, uno degli autori più celebri della letteratura brasiliana. Indice 1 Biografia 1.1 L'infanzia 1.2 Gli studi 1.3 La collaborazione alle riviste 1.4 La partecipazione all'Academia dos Rebeldes 1.5 L'esordio letterario 1.6 I...

Göta älv

Questa voce sull'argomento fiumi della Svezia è solo un abbozzo. Contribuisci a migliorarla secondo le convenzioni di Wikipedia. Göta älvLe cascate di TrollhättanStato Svezia Lunghezza93 km Portata media575 m³/s Bacino idrografico50 180 km² Altitudine sorgente44 m s.l.m. Nascelago Vänern SfociaKattegat Mappa del fiume Modifica dati su Wikidata · Manuale Il Göta älv è un fiume della Svezia, emissario del lago Vänern a Vänersborg. Il fiume sfocia nel Kattegat a...

Numeri pari e dispari

Disambiguazione – Parità rimanda qui. Se stai cercando la proprietà fisica, vedi Parità (fisica). Disambiguazione – Parità rimanda qui. Se stai cercando l'operatore in meccanica quantistica, vedi Operatore parità. Questa voce o sezione sull'argomento matematica non cita le fonti necessarie o quelle presenti sono insufficienti. Puoi migliorare questa voce aggiungendo citazioni da fonti attendibili secondo le linee guida sull'uso delle fonti. Segui i suggerimenti ...

蒙特塞拉特

此條目可参照英語維基百科相應條目来扩充。 (2020年2月29日)若您熟悉来源语言和主题，请协助参考外语维基百科扩充条目。请勿直接提交机械翻译，也不要翻译不可靠、低品质内容。依版权协议，译文需在编辑摘要注明来源，或于讨论页顶部标记{{Translated page}}标签。蒙特塞拉特Montserrat 旗幟徽章格言：A people of excellence, moulded by nature, nurtured by God（英語） “優秀的民族，�...

France 2

«Франс 2»«France 2» Тип анонимное общество Основание 1975 Предшественник общественное учреждение «Управление французского радиовещания и телевидения» Упразднена 2010 Причина упразднения поглощение анонимным обществом «Франс Телевизьон» Преемник анонимное общество «Франс ...

Metro Detroit

Metro DetroitNom local (en) Metro DetroitGéographiePays États-UnisÉtat MichiganPartie de Detroit-Windsor (en), Sud-est du MichiganSubdivisions DétroitWarrenDearbornCoordonnées 42° 21′ 29″ N, 83° 12′ 54″ ODémographiePopulation 4,4 M hab. (2020)FonctionnementStatut Aire urbaine, région métropolitaine statistiqueÉconomie Economy of Metro Detroit (en)HistoireOrigine du nom Détroitmodifier - modifier le code - modifier WikidataMetro ...

كأس أيرلندا الشمالية 1987–88

كأس أيرلندا الشمالية 1987–88 تفاصيل الموسم كأس أيرلندا البلد أيرلندا الشمالية البطل غلينتوران عدد المشاركين 16 كأس أيرلندا الشمالية 1986–87 كأس أيرلندا الشمالية 1988–89 تعديل مصدري - تعديل كأس أيرلندا الشمالية 1987–88 (بالإنجليزية: 1987–88 Irish Cup)‏ هو موسم من ك�...

موسى كوناتي

موسى كوناتي معلومات شخصية الميلاد 3 أبريل 1993 (العمر 31 سنة)امبور [لغات أخرى]‏ الطول 1.80 م (5 قدم 11 بوصة)[1][1] مركز اللعب مهاجم الجنسية السنغال معلومات النادي النادي الحالي ديجون مسيرة الشباب سنوات فريق 2005–2010 ASC Toure Kunda de Mbour المسيرة الاحترافية1 س�...

/profillengkap.com/index.php/article/Fuzhou dialect

Cidadap, Curugbitung, Lebak

Chubu Yajin Stadium

Lud-in-the-Mist

Suku Mander

Grup B Kualifikasi Kejuaraan Eropa UEFA 2012

Mez (rapper)

Modèle:Palette Prix dit Nobel d'économie

Sini, Jharkhand

Cakung Barat, Cakung, Jakarta Timur

Template talk:Spike Lee

1997 NFL season