PROFILPELAJAR.COM

U-критерій Манна-Уітні (англ. Mann — Whitney U-test) — непараметричний статистичний критерій, що використовується для оцінки різниці між двома вибірками за рівнем будь-якої ознаки, виміряної якісно. Дозволяє виявити відмінності в значенні параметра між малими вибірками.

Інші назви: критерій Манна — Уітні — Уілкоксона (англ. Mann — Whitney — Wilcoxon, MWW), критерій суми рангів Уілкоксона (англ. Wilcoxon rank — sum test) або критерій Уілкоксона — Манна — Уітні (англ. Wilcoxon — Mann — Whitney test).

Історія

Цей метод виявлення відмінностей між вибірками був запропонований у 1945 році Френком Уілкоксоном (F. Wilcoxon). У 1947 році він був істотно перероблений і розширений Г. Б. Манном (H. B. Mann) і Д. Р. Уітні (D. R. Whitney), на честь яких сьогодні зазвичай і називається.

Опис критерію

Простий непараметричний критерій. Потужність критерію вища, ніж у Q -критерію Розенбаума.

Цей метод визначає, чи досить мала зона значень, що перехрещуються, між двома рядами (ранжованим рядом значень параметра в першій вибірці і таким же в другій вибірці). Чим менше значення критерію, тим імовірніше, що відмінності між значеннями параметра у вибірках достовірні.

Обмеження застосованості критерію

У кожній з вибірок повинно бути не менше 3 значень ознаки. Допускається, щоб в одній вибірці були два значення, але в другій тоді не менше п'ять.
У вибіркових даних не повинно бути збігів значень (усі числа — різні) або таких збігів повинно бути дуже мало.

Використання критерію

Для застосування U-критерію Манна — Уітні треба зробити такі операції:

Скласти єдиний ранжований ряд з обох вибірок, що зіставляються, розставивши їхні елементи за мірою наростання ознаки і приписавши меншому значенню менший ранг. Загальна кількість рангів вийде рівною:
$N=n_{1}+n_{2},$

де $n_{1}$ — кількість одиниць в першій вибірці, а $n_{2}$ — кількість одиниць в другій вибірці.
Розділити єдиний ранжований ряд на два, що складаються відповідно з одиниць першої і другої вибірок. Підрахувати окремо суму рангів, що припали на долю елементів першої вибірки, і окремо — на долю елементів другої вибірки. Визначити більшу з двох рангових сум ( $T_{x}$ ), таку, що відповідає вибірці з $n_{x}$ одиниць.
Визначити значення U -критерію Манна — Уітні за формулою:
$U=n_{1}\cdot n_{2}+{\frac {n_{x}\cdot (n_{x}+1)}{2}}-T_{x}.$
За таблицею для обраного рівня статистичної значущості визначити критичне значення критерію для даних $n_{1}$ і $n_{2}$ . Якщо набуте значення $U$ менше табличного або дорівнює йому, то визнається наявність істотної відмінності між рівнем ознаки в даних вибірках (приймається альтернативна гіпотеза). Якщо ж набуте значення $U$ більше за табличне, приймається нульова гіпотеза. Достовірність відмінностей тим вище, чим менше значення $U$ .
При справедливості нульової гіпотези критерій має математичне сподівання $M(U)={\frac {n_{1}\cdot n_{2}}{2}}$ і дисперсію $D(U)={\frac {n_{1}\cdot n_{2}\cdot (n_{1}+n_{2})}{12}}$ і при достатньо великому об'ємі вибіркових даних $(n_{1}>19,\;n_{2}>19)$ розподілений практично нормально.

Автоматичний розрахунок U-критерію Манна — Уітні

Автоматичний розрахунок U-критерію Манна — Уітні [Архівовано 6 листопада 2018 у Wayback Machine.] (англ.)

Таблиця критичних значень

Таблиця критичних значень U-критерію Манна — Уітні(рос.)
Critical Values for the Mann — Whitney U-Test. [Архівовано 16 лютого 2010 у Wayback Machine.](англ.)

Література

Mann H. B., Whitney D. R. On a test of whether one of two random variables is stochastically larger than the other. // Annals of Mathematical Statistics. — 1947. — № 18. — P. 50—60. (англ.)
Wilcoxon F. Individual Comparisons by Ranking Methods. // Biometrics Bulletin 1. — 1945. — P. 80-83. (англ.)
Гублер Е. В., Генкин А. А. Применение непараметрических критериев статистики в медико-биологических исследованиях. — Л., 1973. (рос.)
Турчин В. М. Математична статистика: Посіб.. — К. : Видавничий центр «Академія», 1999. — 240с.