Ця стаття містить перелік джерел, але походження окремих тверджень у ній залишається незрозумілим через практично повну відсутність виносок. Будь ласка, допоможіть поліпшити цю статтю, додайте виноски з посиланнями на відповідні джерела до тексту статті. (червень 2023)

Вейвлети — це родина математичних функцій, яка допомагає аналізувати частотні компоненти сигналів (функцій залежних від часу), методами схожими на перетворення Фур'є — Вейвлет-перетворення. Вейвлети надають ортогональний базис, який також має частотну характеристику, але на відміну від нескінчених коливань осциляторних функцій для перетворення Фур'є, коливання вейвлетів локалізовані в просторі. Це означає що амплітуда (енергія) сконцентрована на скінченому інтервалі, та швидко затухає за межами визначеної інтервалу, або області у випадку багатовимірних функції.

Слово вейвлет походить від французького ondelette — маленька хвиля, яке перекладено англійською як wavelet (англ. wave — хвиля, та зменшувального суфіксу -let). Термін впроваджений французьким геофізиком Жаном Морле (Jean Morlet) та разом з Алексом Гросманом (Alex Grossmann), та використовується з 50х років в геофізиці^[1].Таким чином можна перекласти як хвилька, тобто маленька хвиля. І хоча деякі мови перекладають це слово, як наприклад іспанське Ondícula або польське Falki, в інших мовах використовують транслітерацію слова вейвлет.

Частотна локалізація функції зводиться до понять гладкості та кількості зникаючих моментів. Вейвлет-перетворення звичайно поділяють на дискретне вейвлет-перетворення (DWT) та неперервне вейвлет-перетворення (CWT).

Дискретне вейвлет-перетворення (DWT) звичайно використовується для кодування сигналів, у той час як CWT для аналізу сигналів. Саме тому, DWT широко застосовується в інженерній справі і комп'ютерних науках, а CWT у наукових дослідженнях фізичних процесів. Вейвлет-перетворення в наш час^[коли?] взяті на озброєння для величезної кількості різнопланових застосувань, нерідко заміняючи звичайне перетворення Фур'є у багатьох прикладних задачах. Ця зміна парадигми спостерігається в багатьох галузях фізики, включаючи молекулярну динаміку, астрофізику, квантовій механіці, геофізиці, оптиці, механіці рідини та у багатьох інших областях, включаючи обробку зображень, аналізу кров'яного тиску, пульсу та ЕКГ, аналіз ДНК, дослідження білків, вивчення клімату, загальну обробку сигналів, розпізнавання мови, комп'ютерну графіку і мультифрактальний аналіз. Таке широке використання вейвлет-перетворень забезпечується можливістю побудувати на їх основі методи, що потребуватимуть O(N) операцій, на противагу методів Фур'є-перетворень, де кількість операцій не менша за O(NlogN).

До розроблення вейвлетів призвели декілька незалежних шляхів міркувань, що почалися з робіт Хаара, який на початку двадцятого століття поставив запитання:

«Чи існує інша ортонормальна система ${\displaystyle h_{0}(x),h_{1}(x),...,h_{n}(x),...}$ функцій, визначених на проміжку [0, 1], таких, що довільну функцію ${\displaystyle f(x)\in C[0,1]}$ можна розвинути у суму вигляду ${\displaystyle <f,h_{0}>h_{0}(x)+...+<f,h_{n}>h_{n}(x)+...}$, і що вона буде збіжною до ${\displaystyle f(x)}$ єдиним чином на [0, 1]?»

Як виявилося таких систем можна побудувати нескінченну кількість.

• У 1909 році Хаар запропонував найпростіший розв'язок і тим самим поклав початок до теорії вейвлетів.
• З 1955 Важливий внесок в теорію принесли такі вчені як Морле, Гроссман які сформулювали те що зараз відоме як неперервне вейвлет-перетворення (CWT).
• 1983 Жан Олаф-Штромберґ (Stromberg) та Мейєру (Yves Meyer) визначили та працювали над дискретними вейвлетами.
• 1988 Інгрід Добеші розробила родину функцій на компактному носії.
• 1985-89 Стефан Маллат (Stephane Georges Mallat), спеціаліст з обробки зображень, узагальнив вже існуючі теоретичні розробки: а) квадратурний дзеркальний фільтр (quadrature mirror filter) для цифрової телефонії; б) пірамідальний алгоритм Бурта-Аделсона (Burt Adelson), який використовувався для обробки зображень та в) ортонормальний вейвлет базис Штромберґа та Мейера. Маллат розробив багаторозкладний аналіз (multiresolution analysis).
• 1991 Наталі Делпрат (Nathalie Delprat) надала часово-частотну інтерпретацію CWT (1991)
• 1991 Девід Ньюланд розробив гармонійне вейвлет-перетворення та багато інших.

Найпростіша родина вейвлетів, що демонструє основні властивості, такі як ділляція (масштабування), трансляція(зсув), та затухання за межами інтервалу (взагалі компактність носія за визначенням) є система функцій Хаара.

Система будується починаючи з базисної функції ${\displaystyle h(x)=1}$ на [0,1/2) та −1 на [1/2,1), і 0 всюди крім [0, 1). Для ${\displaystyle n\geq 1}$ запишемо ${\displaystyle n=2^{j}+k,j\geq 0,0\leq k<2^{j}}$, і визначимо ${\displaystyle h_{n}(x)=2^{j/2}h(2^{j}-k)}$. Носієм ${\displaystyle h_{n}(x)}$ буде інтервал ${\displaystyle I_{n}=[k2^{-j},(k+1)2^{-j}]}$, що входить до [0, 1), коли ${\displaystyle 0\leq k\leq 2^{j}}$. Для завершення довизначимо ${\displaystyle h_{0}(x)=1}$ на [0, 1). Тепер побудований ряд ${\displaystyle h_{0}(x),h_{1}(x),...,h_{n}(x),...}$ це ортонормальний базис (іноді кажуть Гільбертів базис) в ${\displaystyle L_{2}[0,1]}$. Апроксимація функції ${\displaystyle f(x)}$ послідовністю ${\displaystyle S_{n}(f)(x)=<f,h_{0}>h_{0}(x)+...+<f,h_{n}>h_{n}(x)}$ — це класична апроксимація неперервної функції.

Можна виділити дві основні операції над вихідною функцією:

• трансляція (зсув) — ${\displaystyle W(2x)\rightarrow W(2x-1)}$
• диляція (стискання, масштабування) ${\displaystyle W(x)\rightarrow W(2x)}$.

На шляху до сучасних побудов теорії хвильок варто відзначити роботи радянського математика Лузіна (30-ті роки), які були продовжені Гвідо Вейссом (Guido Weiss) та Роналдом Куафманом (Ronald R. Coifman) у 60-ті — 80-ті. Їхній підхід використовувався для обробки сиґналів, і оснований на атомарних функціях. Сьогодні цей напрям розвивають учні В. Л. Рвачева (Харків).

Вчені визначили вейвлет як набір функцій, породжених однією «материнською» функцією ${\displaystyle \psi (x)}$. ${\displaystyle \psi _{(a,b)}(x)=a^{-{\frac {n}{2}}}\psi ({\frac {x-b}{a}}),a>0,b\in R^{n}}$. Для функції ${\displaystyle f(x)}$ ці хвилькі ${\displaystyle \psi _{(a,b)}}$ відіграють роль ортонормованого базису, хвилькові коефіцієнти визначаються як ${\displaystyle W(a,b)=<f,\psi _{(a,b))}>}$. Гроссманн та Морле дали наступне визначення: вейвлет це функція ${\displaystyle \psi \in L_{2}(R^{n})}$, претворення Фур'є якої ${\displaystyle {\bar {\psi }}(x)}$ задовольняє умові${\displaystyle \int _{0}^{\infty }|{\bar {\psi }}(t\rho )|^{2}{\frac {dt}{t}}=1,\rho \in R^{n}}$ майже всюди.

За ними вейвлет — це функція ${\displaystyle \psi \in L_{2}(R^{n})}$, така, що ${\displaystyle 2^{\frac {j}{2}}\psi (2^{j}x-k),j,k\in Z}$ утворює ортонормальний базис у ${\displaystyle L_{2}}$.

Найголовніший крок належить Інгрід Добеші (Ingrid Daubechies). У 1988 році вийшла її стаття, де вперше розглядається сімейство ортонормованих систем в ${\displaystyle L_{2}}$ з важливими особливостями:

1. кожна система породжується масштабною функцією ${\displaystyle \phi (x)}$ за допомогою трансляції та диляції;
2. кожен елемент даної системи має компактний носій і неперервний, або може бути вибраний досить гладкий (до певного порядку) шляхом зміни масштабу. Носії базисних функцій стають тим менші чим більший індекс j;
3. існують швидкі алгоритми для обчислень коефіцієнтів розкладу певної функції. Називається — дискретне вейвлет-перетворення від функції до вейвлет коефіцієнтів розкладу. Цей алгоритм має складність порядку O(N);
4. Класичне дискретне перетворення Фур'є та косинус перетворення з'являються як частинний випадок дискретного вейвлет-перетворення (DWT)
5. дискретне вейвлет-перетворення може бути розпаралелене.

Масштабна функція і відповідна хвилькова функція задовольняють

1. масштабному рівнянню (scaling equation) ${\displaystyle \phi (x):=\sum _{k=0}^{2g-1}a_{k}\phi (2x-k)}$;
2. відповідному хвильковому рівнянню (wavelet equation) ${\displaystyle \psi (x):=\sum _{k=0}^{2g-1}b_{k}\phi (2x-k)}$ ,

де коефіцієнти масштабного рівняння ${\displaystyle a_{k}}$ повинні задовольняти лінійній та квадратичній умовам ${\displaystyle \sum a_{k}=2,\sum a_{k}a_{k+2l}=2\delta (l,0)}$, і де ${\displaystyle b_{k}:=(-1)^{k+1}a_{2g-1-k}}$. Функції ${\displaystyle \phi }$ та ${\displaystyle \psi }$ задані на інтервалі [0, 2g-1] і утворюють трансляцією та диляцією вейвлет систему. Однією з властивостей технонології хвильок (вейвлет) є можливість вибрати систему коефіцієнтів, найбільш адаптовану до даної проблеми. Добеші у своїй роботі визначила сімейство хвилькових (вейвлет) систем, які мають максимальну кількість зникаючих моментів ${\displaystyle \int x^{l}\psi (x)dx=0,l=0,...,g-1}$. Так коли ${\displaystyle g=2}$ можна явно знайти коефіцієнти ${\displaystyle \{a_{n}\}_{n={\bar {o,3}}}}$: ${\displaystyle \{{\frac {1+{\sqrt {3}}}{4}},{\frac {3+{\sqrt {3}}}{4}},{\frac {3-{\sqrt {3}}}{4}},{\frac {1-{\sqrt {3}}}{4}}\}}$. Задавати вейвлет систему можна різним чином. Поширення набуло таке задання ${\displaystyle \phi _{k}(x):=\phi (x-k)}$, ${\displaystyle \psi _{jk}(x):=2^{\frac {j}{2}}\psi (2^{j}x-k),j\geq 0}$. (Зазвичай система об'єднана з масштабними коефіцієнтами.) Вейвлет розвинення: ${\displaystyle f(x)=\sum _{k}f_{k}\phi _{k}(x)+\sum _{j,k}f_{jk}\psi _{jk}(x)}$, де ${\displaystyle f_{k}=\int f(x)\phi _{k}(x)dx}$, ${\displaystyle f_{jk}=\int f(x)\psi _{jk}(x)dx}$.

• вейвлет Хаара
• вейвлет Добеши
• вейвлет Гаусса
• вейвлет Мейера (Meyer wavelet)
• вейвлет Морле (Morlet wavelet)
• вейвлет Матьє
• вейвлет Пауля
• вейвлет Ріклера (Ricker wavelet, MHat від англ. Мексиканський капелюх))
• вейвлет Койфмана (Ronald Coifman) — койфлет
• вейвлет Шеннона

Теорія вейвлетів зв'язана з декількома іншими напрямами. Усі вейвлет-перетворення можуть розглядатися як різновид часово-частотного представлення і, отже відноситься до предмета гармонійного аналізу. Дискретне вейвлет-перетворення може розглядатися як різновид фільтра скінченної імпульсної відповіді. Вейвлети, що утворюють CWT підкоряються принципу невизначеності Гейзенберга і відповідно базис дискретного вейвлета також може розглядатися в контексті інших форм принципу невизначеності.

скейлінг-функції ${\displaystyle \phi }$ і вейвлет ${\displaystyle \psi }$
амплітуда частотного спектру

• Простір масштабів

• Капшій О. В., Коваль О. І., Русин Б. П. Вейвлет-перетворення у компресії та попередній обробці зображень. — Львів : Сполом, 2008. — 206 с.
• Блаттер К. Вейвлет-анализ. Основы теории. — М. : Техносфера, 2006. — 280 с.
• Добеши И. Десять лекций по вейвлетам. — Ижевск : РХД, 2001. — 464 с.
• Малла С. Вэйвлеты в обработке сигналов. — М. : Мир, 2005. — 672 с.
• Смоленцев Н. К. Введение в теорию вейвлетов. — Ижевск : РХД, 2010. — 292 с.
• Чуи К. Введение в вэйвлеты. — М. : Мир, 2001. — 412 с.

• Wavelet Digest [Архівовано 29 вересня 2020 у Wayback Machine.]
• The Wavelet Tutorial by Polikar
• ^{[недоступне посилання з березня 2019} Роби Поликар Введение в Вейвлет-преообразование]^{[недоступне посилання з жовтня 2019]} — 59 с. — Для тих, хто добре зрозумів ДПФ
• J. Lewalle — Введение в анализ данных с применением непрерывного вейвлет-преобразования [Архівовано 22 жовтня 2014 у Wayback Machine.] — 29 с. — Для тих, хто добре зрозумів роботу Робі Поликара «Введение в Вейвлет-преообразование»

Ця стаття потребує додаткових посилань на джерела для поліпшення її перевірності. Будь ласка, допоможіть удосконалити цю статтю, додавши посилання на надійні (авторитетні) джерела. Зверніться на сторінку обговорення за поясненнями та допоможіть виправити недоліки. Матеріал без джерел може бути піддано сумніву та вилучено. (червень 2023)

1. ↑ Ricker, Norman (1953). Wavelet Contraction, Wavelet Expansion, and the Control of Seismic Resolution. Geophysics. 18 (4): 769—792. Bibcode:1953Geop...18..769R. doi:10.1190/1.1437927.