Wyróżnia się odmiany funkcji monotonicznych jak niemalejące[2], nierosnące[3], rosnące[4] i malejące[5]. W szczególności pojęcie stosuje się do niektórych ciągów[6], które są funkcjami na podzbiorach zbioru liczb naturalnych. Przez to wyróżnia się ciągi niemalejące[7], nierosnące[8], rosnące[9] i malejące[10].
Aby uczynić definicje przystępniejszymi wprowadza się dodatkowe relacje „większe” i „większe-równe” odwrotne względem powyższych, wówczas warunki po prawych stronach implikacji w drugiej i czwartej definicji mają postać kolejno: i
W szczególności symbole oraz mogą oznaczać odpowiednio relacje „mniejsze” oraz „mniejsze-równe” określone na zbiorach liczb całkowitych, wymiernych, czy rzeczywistych. Podobnie ma się rzecz z relacjami „większe” i „większe-równe”
Funkcją monotoniczną nazywa się każdą z powyższych czterech rodzajów funkcji, choć niekiedy czyni się to tylko w stosunku do dwóch pierwszych. Aby uniknąć nieporozumień pierwsze dwie nazywa się czasami silnie monotonicznymi, a dwie pozostałe – słabo monotonicznymi. Można powiedzieć, że funkcje rosnące „zachowują porządek”, zaś funkcje malejące „odwracają” go.
Funkcje silnie monotoniczne są różnowartościowe. Należy zaznaczyć, że dowolna funkcja rosnąca jest niemalejąca, a każda funkcja malejąca jest nierosnąca. Dodatkowo jeśli jest rosnąca, to maleje i odwrotnie; podobnie ma się rzecz z funkcjami nierosnącymi i niemalejącymi.
Jeżeli w zbiorze zdefiniowano relację równości (równoważności; relacja porządku nie jest wymagana), wówczas funkcję nazywa się
stałą, gdy
dla dowolnych
Jeżeli jest dodatkowo zbiorem uporządkowanym, to funkcje stałe są jedynymi funkcjami tak niemalejącymi, jak i nierosnącymi. W związku z tym funkcja stała także bywa zaliczana do klasy funkcji monotonicznych.
Przykłady
Funkcja liniowa jest malejąca, gdy rosnąca, gdy jest niemalejąca, gdy nierosnąca, gdy i stała, gdy
Funkcja monotoniczna przedziałami to funkcja, której dziedzinę można podzielić na przedziały tak, aby w każdym z nich osobno funkcja była monotoniczna (np. wartość bezwzględna, funkcje trygonometryczne, wielomiany; niektóre wielomiany są funkcjami monotonicznymi). Należy zaznaczyć, że większość funkcji rzeczywistych nie jest przedziałami monotoniczna (np. funkcja Dirichleta).
może mieć (co najwyżej) przeliczalnie wiele punktów nieciągłości w swojej dziedzinie.
Własności te są zasadniczym powodem, dla którego funkcje monotoniczne są użyteczne w analizie matematycznej. Ważnymi faktami dotyczącymi tych funkcji są:
jeżeli jest funkcją monotoniczną na przedziale otwartym to jest ona prawie wszędzie różniczkowalna na tzn. zbiór liczb takich, że nie jest różniczkowalna w jest miary zeroLebesgue’a; w szczególności funkcja różniczkowalna na jest monotoniczna w tym przedziale, gdy jej pochodna nie zmienia tam znaku;
Podzbiór zbioru nazywany jest zbiorem monotonicznym, jeżeli dla każdych dwóch par i z jest
Jeżeli jest maksymalnym w sensie inkluzji zbiorem monotonicznym, to mówi się, że jest on maksymalnie monotoniczny. Wykres operatora monotonicznego jest zbiorem monotonicznym. Operator monotoniczny nazywa się maksymalnie monotonicznym, jeżeli jego wykres jest zbiorem maksymalnie monotonicznym.
Teoria porządku
Definicja monotoniczności w teorii porządku ma nieco węższy zakres, niż podana wyżej. Jest to spowodowane faktem, iż rozpatrywane tam zbiory nie muszą być całkowicie (liniowo) uporządkowane: bada się częściowe porządki, a nawet praporządki. Z tego powodu unika się tam wyrażeń „rosnący (słabo/silnie)”, czy „malejący (słabo/silnie)”. O funkcji między zbiorami oraz mówi się, że jest monotoniczna, izotoniczna lub zachowuje porządek, jeżeli
Jeżeli
to funkcję nazywa się antymonotoniczną, antytoniczną lub odwracającą porządek.
Łatwo można się przekonać, że złożenie dwóch funkcji monotonicznych jest funkcją monotoniczną. Funkcja stała jest zarazem monotoniczna i antymonotoniczna; odwrotnie, jeżeli funkcja jest tak monotoniczna, jak i antymonotoniczna, a dziedzina jest kratą, to musi być stała.
Funkcje monotoniczne są morfizmami w kategorii zbiorów częściowo uporządkowanych.
Funkcje boole’owskie
W algebrze Boole’afunkcją monotoniczną nazywa się taką funkcję, że dla wszystkich takich, że dla spełniony jest warunek
Monotoniczne funkcje boole’owskie to dokładnie te funkcje, które mogą być zdefiniowane jako złożenia spójników i (koniunkcji), lub (alternatyw), ale bez nie (negacji).
Liczba takich funkcji zmiennych znana jest jako liczba Dedekinda dla