PROFILPELAJAR.COM

Boki zacieniowanych kwadratów tworzą ciąg geometryczny o ilorazie 1/2, a pola powierzchni tych kwadratów – ciąg geometryczny o ilorazie 1/4.

Ciąg geometryczny, postęp geometryczny – ciąg liczbowy – skończony bądź nie – w którym każdy wyraz oprócz początkowego jest iloczynem wyrazu poprzedniego i pewnej stałej nazywanej ilorazem ciągu^[1]. Czasem zakłada się dodatkowo, że liczba ta jest różna od zera^[1].

Formalnie: niech $I=\{1,2,3,\dots ,n\}$ lub $I=\mathbb {N} .$ Ciąg liczbowy $(a_{n})_{n\in I}$ nazywa się geometrycznym, jeśli^[2]:

\exists q\ \forall n\in I\setminus \{1\}:a_{n}=q\cdot a_{n-1}.

Ciąg geometryczny można traktować jako mnożeniowy (multyplikatywny) odpowiednik ciągu arytmetycznego.

Przykłady

Ciąg (1, 3, 9, 27, 81, ...) ma iloraz równy 3.
Ciąg $(-4,2,-1,{\tfrac {1}{2}},-{\tfrac {1}{4}},\dots )$ ma iloraz równy $-{\tfrac {1}{2}}.$
Ciąg (5, 0, 0, 0, 0, ...) ma iloraz równy 0.
Ciąg (0, 0, 0, 0, 0, ...) nie ma jednoznacznego ilorazu. Założenie, że iloraz jest niezerowy, nie wyklucza tego przykładu. Mimo to ciąg zerowy bywa wykluczany z grona geometrycznych przez pewne jeszcze węższe definicje, podane dalej.

Definicje

Z początkowej, rekurencyjnej definicji wynika wzór: $a_{n}=q^{n-1}a_{1}.$ Oznacza to, że przy dodatnich ilorazach ciąg geometryczny jest przykładem funkcji wykładniczej.

Ciąg geometryczny wyróżnia się stałym stosunkiem wyrazów, co tłumaczy nazwę liczby $q{:}$ jeśli $a_{n}\neq 0,$ to ${\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}=q.$ Ta definicja pociąga za sobą $q\neq 0,$ ponieważ zerowy iloraz oznaczałby zerowanie się licznika.

Jeśli $a_{i-1},a_{i},a_{i+1}$ są trzema kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego $(a_{n}),$ to prawdziwy jest wzór^[2]: $a_{i}^{2}=a_{i-1}a_{i+1}.$ Wynika stąd, że jeśli wszystkie wyrazy są nieujemne, to każdy niekrańcowy wyraz ciągu geometrycznego jest średnią geometryczną wyrazów sąsiednich.

Własności

Ciąg geometryczny może być:

ograniczony lub nie;
okresowy lub nie;
monotoniczny lub nie;
zbieżny, nawet jeśli nie jest monotoniczny;
rozbieżny do nieskończoności;
całkiem rozbieżny;
arytmetyczny lub nie.

Ciąg geometryczny o nieujemnym ilorazie (q⩾0) jest monotoniczny. W przypadku, gdy pierwszy wyraz jest nieujemny, a iloraz jest:

równy 0, to ciąg jest ostatecznie stały, najdalej od drugiego wyrazu;
większy od 0, ale mniejszy od 1, to wyrazy maleją wykładniczo – ciąg zbiega do zera;
równy 1, to ciąg jest stały;
większy od 1, to przy zerze na początku ciąg jest stały, ale przy dodatnim początku wyrazy rosną wykładniczo – ciąg jest rozbieżny do nieskończoności.

Za to gdy początek jest dodatni, a iloraz jest:

mniejszy od 0, a większy od −1, to wyrazy maleją wykładniczo (co do modułu) – ciąg zbiega do zera.
równy −1, to ciąg jest naprzemienny, a przez to rozbieżny (granicami górnymi i dolnymi są pierwsze dwa wyrazy).
mniejszy od −1, to moduły wyrazów ciągu geometrycznego rosną wykładniczo – ciąg jest rozbieżny (nie ma granicy).

Powyższą listę przypadków podsumowuje tabela. Zbieżność ciągu zaznaczono zielonym tłem.


a₁	q
a₁	< –1	–1	> –1, < 0	0	> 0, < 1	1	> 1
< 0	rozbieżność	rozbieżność przez okresową naprzemienność	zbieżność do zera	od drugiego wyrazu ciąg stały	wykładniczy wzrost do zera	ciąg stały	wykładniczy spadek do minus nieskończoności
0	ciąg stały
> 0	rozbieżność	rozbieżność przez okresową naprzemienność	zbieżność do zera	od drugiego wyrazu ciąg stały	wykładniczy spadek do zera	ciąg stały	wykładniczy wzrost do nieskończoności