Пряма

Червона та блакитна прямі мають однаковий кутовий коефіцієнт; червона та зелена прямі мають спільний перетин з віссю y.

Пряма́ або пряма́ лінія — одне з основних понять геометрії, введене античними математиками для позначення прямих об'єктів (тобто без кривини) з несуттєвою шириною та глибиною. Прямі є ідеалізаціями таких об'єктів.

Евклід описує пряму, як лінію нескінченної довжини, яка розташована однаково по відношенню до будь-якої своєї точки. Він визначив набір постулатів, як основних властивостей, що приймаються без доведень, а вже з них робляться логічні доведення, які і утворюють всю геометрію, яка зараз називається Евклідовою геометрією. Починаючи з кінці 19 сторіччя в активному вжитку знаходяться й інші геометрії, такі як неевклідові геометрії, проективна та афінна геометрії.

В сучасній математиці, в якій є багато геометричних концепцій, поняття лінії здебільшого залежить від способу, яким геометрія описується. Наприклад, в аналітичній геометрії, пряма визначається як множина точок, координати яких задовольняють лінійне рівняння. В більш абстрактних концепціях, таких, як геометрія інцидентності, пряма може бути незалежним об'єктом, відмінним від тих точок, з яких вона складається.

При аксіоматичному опису геометрії, поняття прямої лінії зазвичай залишається невизначеним, приймається за одне з вихідних понять (так зване неозначуване поняття), яке лише опосередковано визначається аксіомами геометрії. Перевагою такого підходу є гнучкість у використанні такої геометрії. Так у диференціальній геометрії, пряму можна розуміти як геодезичну лінію (найкоротший шлях між двома точками), а в проективній геометрії пряма є двовимірним векторним простором (всі лінійні комбінації двох незалежних векторів). Така гнучкість корисна не тільки математикам, а й іншим. Наприклад, фізики можуть мислити шлях проходження світла, як пряму лінію.

Означення та опис

Всі означення, зрештою, є циркулярними[en] за своєю природою, оскільки вони залежать від понять, які також повинні мати означення, і цей ланцюг залежностей не можна продовжувати нескінченності без повернення назад до початкової точки. Тому, аби уникнути такого зациклювання, певні поняття мають бути прийняті як такі, що не потребують означення.[1] В геометрії, таким поняттям часто є поняття прямої, що є одним із фундаментальних понять.[2] В тих випадках, коли пряма може бути визначеним поняттям, як у аналітичній геометрії, за фундаментальні поняття обираються якісь інші примітиви. Якщо поняття прямої є фундаментальним невизначеним поняттям, тоді поведінка і властивості прямої визначаються за допомогою аксіом, яким вона повинна задовольняти.

При спрощеному або неаксиоматичному трактуванні геометрії, поняття або фундаментальне означення може бути занадто абстрактним, для уявлення. В таких випадках наводять описання або ментальний образ цього первісного поняття, аби сформувати основу для вибудовування поняття, яке формально буде базуватися на (невизначених) аксіомах. Деякі автори можуть наводити таке описання замість означення, користуючись цим неформальним стилем представлення. Але ці визначення не є вірними, і не можуть використовуватися в формальних виведеннях тверджень. «Означення» прямої в в математичних трактатах Евкліда підпадає під цю категорію.[2] Навіть, при розгляді певної системи геометрії (наприклад, Евклідової геометрії), між авторами не існує загальноприйнятої згоди, щодо того яким повинно бути неформальне описання прямої, і те що воно не повинно розглядатися формально.

Властивості прямої в евклідовій геометрії

  • Через будь-яку точку можна провести нескінченно багато прямих.
  • Через будь-які дві незбіжні точки можна провести єдину пряму.
  • Дві незбіжні прямі на площині або перетинаються в єдиній точці, або є паралельними (випливає з попереднього). У тривимірному просторі існують три варіанти взаємного розташування двох прямих.
  • У тривимірному просторі існують три варіанти взаємного розташування двох прямих:

Алгебричне визначення

Три графіки ліній — червона та синя мають однаковий нахил k, а червона та зелена мають однаковий зсув b.

Пряма лінія — алгебрична лінія першого порядку: у декартовій системі координат пряма лінія задається на площині рівнянням першого степеня (лінійне рівняння):

де , ,  — деякі числа, при чому або повинне бути відмінне від нуля.[3] Це рівняння — загальне рівняння прямої. Його також називають «стандартним».

Натомість, рівняння прямої, що випливає з попереднього має вигляд лінійної функції в явному виді:

.

Це рівняння також називають рівнянням прямої з кутовим коефіцієнтом.

Пряма (а також пара пересічних прямих) є виродженим прикладом конічного перетину.

Загальне рівняння прямої

Загальне рівняння прямої лінії на площині в декартових координатах:

де та  — довільні сталі, причому числа та не дорівнюють нулю одночасно.

При пряма паралельна осі , при  — паралельна осі .

Вектор з координатами називається нормальним вектором і є перпендикулярним до даної прямої.

При пряма проходить через початок координат.

Також рівняння можна переписати у вигляді:

Рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом

Рівняння прямої лінії, що перетинає вісь у точці і утворює кут з додатним напрямком осі :

Коефіцієнт називається кутовим коефіцієнтом прямої.

У цьому вигляді неможливо представити пряму, паралельну координатній осі (іноді в цьому випадку формально кажуть, що кутовий коефіцієнт стає нескінченним).

Отримання рівняння прямої у відрізках

Рівняння прямої у відрізках

Рівняння прямої лінії, що перетинає вісь у точці та вісь у точці :

У цьому вигляді неможливо представити пряму, що проходить через початок координат.

Нормальне рівняння прямої

де  — довжина перпендикуляра, проведеного до прямої з початку координат, а  — кут між нормальним до прямої вектором та додатним напрямом осі . Якщо , то пряма проходить через початок координат, а кут задає кут нахилу прямої.

Якщо пряма задана загальним рівнянням то відрізки та що відсікаються нею на координатних осях, кутовий коефіцієнт відстань до прямої від початку координат та  виражаються через коефіцієнти , та наступним чином:

Щоб уникнути невизначеності, знак перед радикалом вибирається так, щоб дотримувалася умова У цьому випадку та є напрямними косинусами нормалі прямої — перпендикуляра, проведеного з початку координат до прямої.

Якщо то пряма проходить через початок координат і вибір позитивного напрямку довільний.

Рівняння прямої, що проходить через дві задані незбіжні точки

Якщо задано дві незбіжні точки з координатами та , то пряма, що проходить через них задається рівнянням:

або

або у загальному вигляді

Отримання векторного параметричного рівняння прямої

Векторне параметричне рівняння прямої

Векторне параметричне рівняння прямої задається вектором кінець якого лежить на прямій, і напрямним вектором прямої Параметр пробігає всі дійсні значення.

Параметричні рівняння прямої можуть бути записані у вигляді

де  — довільний параметр  — координати та напрямного вектора прямої. При цьому

Сенс параметра аналогічний параметру в векторно-параметричному рівнянні.

Канонічне рівняння прямої

Канонічне рівняння виходить з параметричних рівнянь діленням одного рівняння на інше:

де  — координати та напрямного вектора прямої, та координати точки, що належить прямій.

Рівняння прямої в полярних координатах та :

або

Рівняння прямої у просторі

Векторне параметричне рівняння прямої в просторі:

де  — радіус-вектор деякої фіксованої точки що лежить на прямій,  — ненульовий вектор, колінеарний цій прямій,  — радіус-вектор довільної точки прямої.

Параметричні рівняння прямої в просторі:

де  — координати фіксованої точки що лежить на прямій;  — координати вектора, колінеарного цій прямій.

Канонічне рівняння прямої в просторі:

де  — координати фіксованої точки що лежить на прямій;  — координати вектора, колінеарного цій прямій.

Оскільки пряма є перетином двох різних площин заданих відповідно загальними рівняннями:
і

то рівняння прямої можна задати системою цих рівнянь:

Векторне рівняння прямої в просторі :

Рівняння прямої в просторі можна записати у вигляді векторного добутку радіуса-вектора довільної точки цієї прямої на фіксований вектор прямої

де фіксований вектор , ортогональний до вектора , можна знайти, підставляючи в це рівняння радіус-вектор якої-небудь однієї відомої точки прямої.

В n-вимірному просторі

Нехай задано вектор в n-вимірному Евклідовому просторі , , та  — деякі фіксовані числа. Геометричне місце точок простору , координати яких представлено у вигляді:

,

називається прямою в просторі , що проходить через точку в «напрямі» .[4]

Частина прямої, що відповідає зміні параметру в деякому відрізку називається прямолінійним відрізком, а її частина, що відповідає зміні параметру в проміжку , — променем.

Якщо задано дві точки , то рівняння прямої, що проходить через ці точки матиме вигляд:

.

Узагальнене визначення

  • Прямою в афінному просторі що задається точкою та відмінним від нуля вектором називається множина точок , для яких вектор колінеарний вектору , тобто, виконується рівність:[5]

Таким чином, довільна пряма в просторі має властивості афінного простору розмірності 1.

Властивості

Пряма паралельна площині тоді та лише тоді, коли в цій площині існує деяка пряма паралельна прямій .[6]

Якщо пряма паралельна кожній з площин та що перетинаються, то вона паралельна лінії їхнього перетину.[6]

Якщо три площини попарно перетинаються та не мають спільної прямої, то лінії їхнього перетину або паралельні або мають спільну точку.[6]

В проективній геометрії

В багатьох моделях проективної геометрії, представлення прямої рідко відповідає поняттю «прямої лінії», як це є в Евклідовій геометрії. Типовий приклад цього, можна побачити в еліптичній геометрії.[7] У випадку сферичного представлення еліптичної геометрії, прямі представлені як великі кола на сфері із визначеними на них діаметрально протилежними точками. У іншій моделі еліптичної геометрії, прямі задаються Евклідовими площинами, які проходять через початок системи координат. Хоча ці представлення візуально є відмінними, вони задовольняють властивостям проективної геометрії (наприклад, що дві точки визначають лише одну пряму), що роблять їх зручною відповідністю поняття прямої в цій геометрії.

Примітки

  1. Coxeter, 1969, p. 4
  2. а б Faber, 1983, p. 95
  3. (Постніков, с. 176)
  4. Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2024. — 2403 с.(укр.)
  5. Постников М. М. (1979). Аналитическая геометрия. «Наука».
  6. а б в Я. П. Понарин (2006). Элементарная Геометрия. т.2. ISBN 5-94057-223-5.
  7. Faber, Part III, p. 108.

Див. також

Посилання

Read other articles:

Artikel ini membahas variasi makanan khas Tiongkok yang dinamakan Bakcang. Untuk bacang spesies tumbuhan, silakan lihat Bacang. BacangBeberapa bacang yang diikat dengan benangNama lainZongzi, bak-cang, bah-cang, nyukcung / ngiug-zung, cung-e / zung-eJenisKue beras, kue ketanTempat asalTiongkokDaerahberbagai daerah di Tiongkok, daerah beretnis TionghoaDibuat olehBangsa TionghoaBahan utamaBeras ketan diisi dengan isian berbeda dan dibungkus dengan daun bambu atau daun pandan.Hidangan serupaMont...

 

Bandar Udara DaruIATA: DAUICAO: AYDUInformasiJenisPublikPengelolaPemerintahMelayaniDaru, Provinsi Barat, Papua NuginiKetinggian dpl6 mdplKoordinat09°05′12″S 143°12′28″E / 9.08667°S 143.20778°E / -9.08667; 143.20778Koordinat: 09°05′12″S 143°12′28″E / 9.08667°S 143.20778°E / -9.08667; 143.20778PetaDAULokasi bandar udara di Papua NuginiLandasan pacu Arah Panjang Permukaan m kaki 14/32 1,400 5 Aspal Sumber: WAD,[...

 

Limbah minyak adalah buangan yang berasal dari hasil eksplorasi produksi minyak, pemeliharaan fasilitas produksi, fasilitas penyimpanan, pemrosesan, dan tangki penyimpanan minyak pada kapal laut.[1] Limbah minyak bersifat mudah meledak, mudah terbakar, bersifat reaktif, beracun, berasid menyebabkan infeksi, dan bersifat korosif.[1] Limbah minyak merupakan bahan berbahaya dan beracun (B3), karena sifatnya, konsentrasi maupun jumlahnya dapat mencemarkan dan membahayakan lingkung...

Halaman judul faksimili dari cetakan pertama Katekismus Singkat Westminster yang dimaksudkan untuk didistribusikan kepada Parlemen Katekismus Kecil Westminster (juga dikenal sebagai Katekismus Singkat Westminster atau Katekismus Kecil saja; di sini akan disingkat dengan KKW) ditulis pada 1640-an oleh para pemimpin gereja di Inggris dan Skotlandia. Mereka juga menghasilkan Pengakuan Iman Westminster dan Katekismus Besar Westminster. Ketiga dokumen ini dianggap oleh banyak orang sebagai pernyat...

 

Boeing P-12 atau F4B adalah pesawat mengejar (pursuit aircraft) Amerika yang dioperasikan oleh Army Air Corps Amerika Serikat dan Angkatan Laut Amerika Serikat. Boeing mengembangkan pesawat sebagai usaha swasta untuk menggantikan Boeing F3B dan Boeing F2B dengan Angkatan Laut Amerika Serikat, penerbangan pertama dari P-12 berlangsung pada tanggal 25 Juni 1928. Produksi semua varian mencapai 586. Referensi Angelucci, Enzo. The Rand McNally Encyclopedia of Military Aircraft, 1914–1980. San D...

 

Paroki Santa MariaLokasiFajar Mataram, Seputih Mataram Kabupaten Lampung TengahSejarahDedikasiSanta MariaAdministrasiKeuskupanKeuskupan TanjungkarangImam yang bertugasRD. Stefanus Widianto, Pr. (Pastor Paroki)[1] Diakon FX Hendri Firmanto Paroki Santa Maria, Pajar Mataram adalah salah satu paroki dalam Gereja Katolik Roma di bawah naungan Keuskupan Tanjungkarang. Gereja ini terletak di Fajar Mataram, Seputih Mataram, Lampung Tengah. Pelindung gereja dan paroki ini ialah Santa Maria. R...

Kantor Kabinet内閣府Naikaku-fuGedung Kantor KabinetInformasi lembagaWilayah hukum JepangKantor pusat1-6-1 Nagata-cho, Chiyoda-ku, Tokyo 100-8914, JepangPejabat eksekutifYoshihide Suga, Perdana MenteriKatsunobu Katō, Ketua Sekretariat KabinetSitus webwww.cao.go.jp Kantor Kabinet (内閣府code: ja is deprecated , Naikaku-fu) adalah sebuah badan Kabinet Jepang. Kantor ini bertanggungjawab menangani urusan sehari-hari Kabinet. Kantor Kabinet secara formal dipimpin oleh Perdana Menteri. ...

 

Ini adalah nama Korea; marganya adalah Jo. Jo Yoon-heeJo in 2011Lahir13 Oktober 1982 (umur 41)Korea SelatanKebangsaanKorea SelatanNama lainCho Yoon-heePendidikanUniversitas Wanita Dongduk - Broadcasting and EntertainmentPekerjaanAktrisTahun aktif1999–sekarangAgenKing Kong EntertainmentNama KoreaHangul조윤희 Alih AksaraJo Yun-huiMcCune–ReischauerCho Yunhŭi Jo Yoon-hee (lahir 13 Oktober 1982) adalah aktris asal Korea Selatan. Ia dikenal karena membintangi serial televisi ...

 

GbayaDistribusi suku Gbaya (dilingkari).[1][2]Jumlah populasi1.2 juta[3]BahasaGbayaAgamaKekristenan Gbaya, Gbeya, atau Baya, adalah sebuah suku etnik yang tersebar di wilayah barat Republik Afrika Tengah, timur-tengah Kamerun, utara Republik Kongo, dan barat laut Republik Demokratik Kongo.[4] Pada paruh pertama abad ke-20, Gbaya terlibat dalam beberapa upaya pemberontakan melawan pemerintahan kolonial Jerman dan kemudian Prancis. Di daerah pedesaan, Gbaya menan...

Not to be confused with Hamilton Tigers or Hamilton Tiger Cubs. Canadian Football League team Hamilton Tiger-Cats Established1950Based inHamilton, Ontario, CanadaHome stadiumTim Hortons Field (2014–present)Head coachScott MilanovichGeneral managerEd HerveyOwner(s)Hamilton Sports GroupBob YoungLeagueCanadian Football LeagueDivisionEast DivisionColoursBlack, gold, white[1][2]     Nickname(s)Ticats, Cats, TabbiesGrey Cups8 (1953, 1957, 1963, 1965, 1967, 1972, 198...

 

2005 historical crime novel by Ben Elton This article needs additional citations for verification. Please help improve this article by adding citations to reliable sources. Unsourced material may be challenged and removed.Find sources: The First Casualty – news · newspapers · books · scholar · JSTOR (December 2017) (Learn how and when to remove this message) The First Casualty First editionAuthorBen EltonCountryUnited KingdomLanguageEnglishGenrehistori...

 

Single by Blood, Sweat & Tears Spinning WheelSingle by Blood, Sweat & Tearsfrom the album Blood, Sweat & Tears B-sideMore and MoreReleasedMay 1969RecordedOctober 9, 1968GenreJazz fusionpop rockpsychedelic rockLength4:05 (Stereophonic album version)3:26 (Original Quadraphonic album version)2:39 (single edit)LabelColumbiaSongwriter(s)David Clayton-ThomasProducer(s)James William GuercioBlood, Sweat & Tears singles chronology You've Made Me So Very Happy (1969) Spinning Wheel (196...

此條目可参照英語維基百科相應條目来扩充。 (2021年5月6日)若您熟悉来源语言和主题,请协助参考外语维基百科扩充条目。请勿直接提交机械翻译,也不要翻译不可靠、低品质内容。依版权协议,译文需在编辑摘要注明来源,或于讨论页顶部标记{{Translated page}}标签。 约翰斯顿环礁Kalama Atoll 美國本土外小島嶼 Johnston Atoll 旗幟颂歌:《星條旗》The Star-Spangled Banner約翰斯頓環礁�...

 

Multi-use indoor arena in Brandon, Manitoba Keystone CentreKeystone CentreLocation within ManitobaShow map of ManitobaKeystone CentreLocation within CanadaShow map of CanadaLocation1175 18th StreetBrandon, Manitoba, R7A 7C5Coordinates49°49′51″N 99°57′36″W / 49.83083°N 99.96000°W / 49.83083; -99.96000OwnerKeystone Agricultural & Recreation Centre Inc.OperatorKeystone Agricultural & Recreation Centre Inc.Capacity5,102 (Hockey)5,000 (Royal Manitoba Win...

 

U.S. Wilderness Area in southwest Colorado managed by the Uncompahgre National Forest Mount Sneffels WildernessIUCN category Ib (wilderness area)Mount SneffelsLocationOuray / San Miguel counties, Colorado, USANearest cityOuray, COCoordinates38°0′35″N 107°51′41″W / 38.00972°N 107.86139°W / 38.00972; -107.86139[1]Area16,566 acres (67.04 km2)EstablishedJanuary 1, 1980Governing bodyU.S. Forest Service The Mount Sneffels Wilderness is a wi...

American Civil War historic site United States historic placeVicksburg National Military ParkU.S. National Register of Historic PlacesU.S. National Military Park The Illinois Memorial in Vicksburg National Military ParkShow map of MississippiShow map of the United StatesLocationVicksburg, Mississippi & Delta, Louisiana, United StatesCoordinates32°21′55″N 90°50′32″W / 32.36528°N 90.84222°W / 32.36528; -90.84222Area2,524 acres (10.2 km2; 3.9 sq&...

 

British pre-grouping railway company (1859–1899/1922) This article needs additional citations for verification. Please help improve this article by adding citations to reliable sources. Unsourced material may be challenged and removed.Find sources: London, Chatham and Dover Railway – news · newspapers · books · scholar · JSTOR (June 2013) (Learn how and when to remove this message) Badge of the LCDR from the first Blackfriars Railway Bridge The Londo...

 

Mercatique Si ce bandeau n'est plus pertinent, retirez-le. Cliquez ici pour en savoir plus. Le ton de cet article est trop promotionnel ou publicitaire (décembre 2022). Vous êtes invité à améliorer l'article de manière à adopter un ton neutre (aide quant au style) ou discutez-en. Vous pouvez également préciser les sections non neutres en utilisant {{section promotionnelle}} et de souligner les passages problématiques avec {{passage promotionnel}}. MarketingPartie de Sciences de gest...

阿纳斯塔西娅·布利兹纽克出生1994年6月28日  (30歲)扎波罗热 職業艺术体操运动员  阿纳斯塔西娅·伊利尼奇娜·布利兹纽克(俄語:Анастасия Ильинична Близнюк,1994年6月28日—),俄罗斯艺术体操运动员,2012年夏季奥运会集体全能金牌得主、2016年夏季奥运会集体全能金牌得主、2020年夏季奥运会集体全能银牌得主。[1] 参考资料 ^ BLIZNYUK Anastasia ...

 

بنحاس روتنبرغ روتنبرغ في 1940 معلومات شخصية الميلاد 5 فبراير 1879مرومني، بولتافا، أوكرانيا الوفاة 3 يناير 1942مالقدس، فلسطين المحتلة مكان الدفن مقبرة جبل الزيتون اليهودية  عضو في المجلس الوطني اليهودي  إخوة وأخوات Авраам Ротенберг  [لغات أخرى]‏  الحياة العملية ا...