Конхоїда Нікомеда — конхоїда прямої, щодо точки, яка не лежить на ній. Є прикладом плоскої алгебричної кривої 4-го порядку.

Конхоїда Нікомеда має дві гілки, для яких пряма конхоїди є асимптотою.

Крива названа на честь давньогрецького математика Нікомеда, який застосовував її для трисекції кута і подвоєння куба.

Нехай на площині вибрано пряму m і точку O, віддалену від прямої на відстань a. Проведемо через точку O промінь, що перетинає пряму m у певній точці N; точки M₁ і M₂, що лежать на промені ON і віддалені від точки N на заздалегідь обрану відстань l, будуть точками конхоїди. Змінюючи напрямок променя ON, можна побудувати всю конхоїду.

Нехай вибрано систему координат так щоб точка O була початком координат, а пряма m задана рівнянням ${\displaystyle x=a}$ в декартових прямокутних координатах, як на рисунку справа. Нехай, як і на рисунку ${\displaystyle l<a.}$ Якщо координати точки M₁ є рівними x₁ і y₁ , то ${\textstyle {\frac {x_{1}-a}{l}}={\frac {x_{1}}{\sqrt {x_{1}^{2}+y_{1}^{2}}}}=\cos \alpha }$, де ${\textstyle \alpha }$ є кутом між віссю абсцис і прямою OM₁ . Аналогічно, якщо координати точки M₂ є рівними x₂ і y_{2 ,} то ${\textstyle {\frac {a-x_{2}}{l}}={\frac {x_{2}}{\sqrt {x_{2}^{2}+y_{2}^{2}}}}=\cos \alpha .}$

Зважаючи на довільність вибору точок можна одержати рівняння першої гілки конхоїди ${\textstyle (x-a){\sqrt {x^{2}+y^{2}}}=lx}$ і для другої гілки ${\textstyle (a-x){\sqrt {x^{2}+y^{2}}}=lx}$. Разом обидві гілки можна описати рівнянням ${\textstyle \ell ^{2}x^{2}=(x^{2}+y^{2})(x-a)^{2}.}$

Окрім точок конхоїди цьому рівнянню задовольняє також точка O (початок координат). Іноді у цьому випадку її вважають ізольованою точкою на конхоїді Нікомеда.

Якщо ${\displaystyle l=a}$ то ситуація фактично не змінюється крім того, що точка O належить одній із гілок конхоїди. Теж саме рівняння описує конхоїду у цьому випадку і O задовольняє рівнянню, тож її не потрібно виключати чи вважати особливою ізольованою точкою.

Натомість, якщо ${\displaystyle l>a}$, то існують точки на одній із гілок для яких абсциси є від'ємними. Для таких точок ${\textstyle {\frac {a-x}{l}}={\frac {-x}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}},}$ тому вони теж задовольняють загальному рівнянню.

Отож загалом для точки O, яка є початком координат і прямої заданої рівнянням ${\displaystyle x=a}$ рівняння конхоїди є:

${\displaystyle \ell ^{2}x^{2}=(x^{2}+y^{2})(x-a)^{2}}$

Це рівняння можливе для всіх значень ${\displaystyle a.}$ Для ${\displaystyle a=0}$ одержується рівняння кола (яке часто вважається виродженим випадком конхоїди Нікомеда) і прямої ${\displaystyle x=0.}$

Якщо, знову ж, точку O вибрати, як початок координаті, то точки прямої ${\displaystyle x=a>0}$ можна задати рівнянням ${\textstyle r={a \over \cos \alpha }=a\sec \alpha ,}$ де ${\displaystyle -\pi /2<\alpha <\pi /2.}$ У цій формулі ${\textstyle \alpha }$ є кутом між віссю абсцис і прямою ON на рисунку. Звідси одержується рівняння у полярних координатах для однієї із гілок конхоїди: ${\textstyle r={a \over \cos \alpha }+l=a\sec \alpha +l,}$ де ${\displaystyle -\pi /2<\alpha <\pi /2.}$ У випадку ${\displaystyle l\leqslant a}$ для іншої гілки рівняння буде: ${\textstyle r={a \over \cos \alpha }-l=a\sec \alpha -l,}$ де ${\displaystyle -\pi /2<\alpha <\pi /2.}$

Проте, якщо ${\displaystyle l>a}$ це рівняння описує лише точки з невід'ємними абсцисами у прямокутній системі координат.

Загалом можна розглянути два кути між віссю абсцис і прямою ON, а саме кут ${\textstyle \alpha }$ для якого ${\displaystyle -\pi /2<\alpha <\pi /2}$ і кут ${\textstyle \beta =\alpha +\pi }$ для якого ${\displaystyle \pi /2<\beta <3\pi /2}$. Якщо для деякого кута ${\displaystyle -\pi /2<\alpha <\pi /2}$ виконується нерівність ${\textstyle a\sec \alpha -l\geqslant 0}$ то точка із координатами ${\textstyle r=a\sec \alpha -l,\ \varphi =\alpha }$ належить конхоїді. Якщо ж ${\textstyle a\sec \alpha -l<0}$ то конхоїді належить точка із полярними координатами ${\textstyle r=l-a\sec \alpha ,\ \varphi =\alpha +\pi }$ або по іншому ${\textstyle r=l+a\sec \beta ,\ \varphi =\beta .}$

При полярних координатах часто, якщо у рівнянні ${\textstyle r=r(\varphi )}$ виконується ${\textstyle r(\varphi _{1})<0}$ тоді дане рівняння задає точку ${\displaystyle r=-r(\varphi _{1}),\ \varphi =\varphi _{1}+\pi .}$ Тоді усю другу гілку конхоїди можна задати рівнянням ${\textstyle r=l+a\sec \beta ,}$ де ${\displaystyle \pi /2<\beta <3\pi /2}$. З урахуванням цього у полярних координатах усе рівняння можна задати як:

${\displaystyle r={a \over \cos \alpha }+l=a\sec \alpha +l,}$ де ${\displaystyle \alpha \neq \pi /2+n\pi .}$

Будь-яку точку на прямій ${\displaystyle x=a}$ можна задати координатами ${\displaystyle (a,t)}$, де ${\displaystyle -\infty <t<\infty .}$ Одиничний вектор ${\displaystyle {\vec {k}}}$ у напрямку прямої між точками O і N із координатами ${\displaystyle (a,t)}$ має координати ${\textstyle \left({\frac {a}{\sqrt {a^{2}+t^{2}}}},{\frac {t}{\sqrt {a^{2}+t^{2}}}}\right)}$ і відповідно точки на прямій на відстані l від точки N мають координати ${\displaystyle N\pm l{\vec {k}}}$.

Звідси одержується параметричне рівняння:

${\displaystyle x(t)=a\pm {\frac {la}{\sqrt {a^{2}+t^{2}}}},}$

${\displaystyle y(t)=t\pm {\frac {lt}{\sqrt {a^{2}+t^{2}}}}.}$

У цьому рівнянні ${\displaystyle -\infty <t<\infty }$ і вибір конкретного знаку дає вибір певної гілки конхоїди.

• Конхоїда Нікомеда є прикладом алгебричної кривої 4-го порядку. Її проективна версія (яка задається однорідним рівнянням ${\displaystyle \ell ^{2}x^{2}z^{2}=(x^{2}+y^{2})(x-az)^{2}}$) має також додаткову «точку в нескінченності» ${\displaystyle [0:1:0]}$.
• Конхоїда Нікомеда має дві гілки, для яких пряма конхоїди є асимптотою.
• Для ${\displaystyle l\geqslant a}$ точка O = (0, 0) на лежить одній гілок конхоїди. Для ${\displaystyle l<a}$ ця точка не належить конхоїді але задовольняє загальному рівнянню. Тому часто також її розглядають як особливу точку кривої. Тоді для конхоїди Нікомеда ця точка:
  • при ${\displaystyle \ell <a}$ ― ізольована точка
  • при ${\displaystyle \ell >a}$ ― вузлова точка
  • при ${\displaystyle \ell =a}$ ― точка повернення
• Одна із гілок конхоїди Нікомеда є завжди гладкою. Для ${\displaystyle l<a}$ друга гілка і відповідно вся крива є гладкою (якщо не розглядати початок координат як окрему точку). Для ${\displaystyle l\geqslant a}$ друга гілка є гладкою всюди крім початку координат.
• Для ${\displaystyle l>a}$ одна із гілок конхоїди має «петлю». У параметризації у полярних координатах ця петля задається як ${\textstyle r=a\sec \alpha -l,}$ де ${\displaystyle \sec ^{-1}(-l/a)<\alpha <2\pi -\sec ^{-1}(-l/a).}$
• Нехай ${\displaystyle 0\leqslant \alpha _{1}<\alpha _{2}<\pi /2}$ — кути, такі, що з двох точок перетину конхоїди із прямою визначеною кутом ${\displaystyle \alpha _{1}}$ (не враховуючи перетину на початку координат) жодна із точок не лежить на «петлі». Зокрема ${\displaystyle l\leqslant a}$ можна взяти будь-які кути, що задовольняють нерівності. Тоді площа фігури обмежена променями із кутами ${\displaystyle \alpha _{1},\alpha _{2}}$ і двома гілками конхоїди Нікомеда є рівна:

${\displaystyle S={\frac {1}{2}}\int \limits _{\alpha _{1}}^{\alpha _{2}}\left({\frac {a}{\cos \varphi }}+l\right)^{2}-\left({\frac {a}{\cos \varphi }}-l\right)^{2}d\varphi =2al\int \limits _{\alpha _{1}}^{\alpha _{2}}{\frac {d\varphi }{\cos \varphi }}=2al\int \limits _{\alpha _{1}+\pi /2}^{\alpha _{2}+\pi /2}{\frac {d\varphi }{\sin \varphi }}=2al\left[\ln \tan \left({\frac {\alpha _{2}+\pi /2}{2}}\right)-\ln \tan \left({\frac {\alpha _{1}+\pi /2}{2}}\right)\right]}$

Зокрема при прямуванні ${\displaystyle \alpha _{2}}$ до ${\displaystyle \pi /2}$ ця площа прямує до нескінченності. Відповідно площа фігури між двома гілками конхоїди є рівною нескінченності. Також нескінченності є рівною і площа між будь-якою гілкою і визначальною прямою ${\displaystyle x=a}$ оскільки для великих ${\displaystyle y}$ дві гілки є майже симетричними щодо цієї прямої.

• Для ${\displaystyle l>a}$ площа петлі є рівною:

${\displaystyle a{\sqrt {l^{2}-a^{2}}}-2al\ln \left({l+{\sqrt {l^{2}-a^{2}}} \over a}\right)+l^{2}\arccos(a/l)}$

Нормаль і дотична у заданій точці конхоїди можуть бути побудовані досить просто зважаючи на властивості полярних піднормалей кривої. Полярною піднормаллю у точці M називається відрізок, що одержується внаслідок перетину нормальної прямої до кривої у точці M і прямої, що проходить через початок координат O і є перпендикулярною до прямої OM. Якщо крива задана рівнянням ${\displaystyle r=r(\varphi )}$ у полярних координатах то довжина цього відрізку і його напрям визначається як ${\displaystyle r'(\varphi )}$. Оскільки у полярних координатах конхоїда описується як ${\displaystyle r=a\sec \varphi +l,}$ а асимптотична пряма для конхоїди: ${\displaystyle r=a\sec \varphi ,}$ то їх похідні ${\displaystyle r'(\varphi )}$ у точках на одному промені є рівними. Відповідно і полярні піднормалі є однаковими. Але полярні піднормалі для прямих побудувати просто.

Це дає покроковий алгоритм для побудови нормалі і дотичної до конхоїди у точці. Нехай дана конхоїда на рисунку вище і потрібно побудувати нормаль і дотичну у точці M_1. Тоді

1. Потрібно провести пряму OM₁ і визначити точку N на асимптотичній прямій, як точку перетину цієї прямої і пряму OM₁.
2. Побудувати пряму, що проходить через точку O і є перпендикулярною до прямої OM₁.
3. Побудувати пряму, що проходить через точку N і є перпендикулярною до асимптотичної прямої.
4. Визначити точку перетину P прямих із двох попередніх пунктів і провести пряму PM₁. Ця пряма буде нормальною до конхоїди у точці M₁.
5. Побудувати пряму перпендикулярну до прямої PM₁ у точці M₁. Ця пряма буде дотичною до конхоїди у точці M₁.

Інший спосіб побудови нормалі для однієї із гілок конхоїди використовував Декарт, як приклад свого більш загального способу побудови нормалей і дотичних до кривих.

Процес побудови показаний на рисунку справа. Тут пряма на основі якої будується конхоїда є горизонтальною, а полюсом є точка A. Тоді кроками побудови нормалі у деякій точці C є:

1. Побудова прямої AC і визначення точки перетину цієї прямої із асимптотичною прямою (точка E).
2. Побудова прямої, що проходить через точку C і є перпендикулярною до асимптотичної прямої (і перетинає її у точці H).
3. Відкладення відрізка CF довжина якого є рівною довжині відрізка CH.
4. Побудова прямої , що проходить через точку F і є перпендикулярною до асимптотичної прямої.
5. Відкладення на попередній прямій відрізка FG довжина якого є рівною довжині відрізка AE. Пряма CG тоді буде нормальною до конхоїди у точці C.

Доведення того, що точка G лежить на нормалі до конхоїди у точці C, згідно першого означення може буди вправою на застосування алгебричних методів у геометрії. Для цього можна використати, наприклад, параметричне рівняння конхоїди. Далі щоб викладення узгоджувалося з рисунком координати параметричного рівняння будуть поміняні місцями порівняно з попереднім.

Тоді точки на рисунку мають координати: ${\textstyle A=(0,0),\ E=(t,a),\ C=\left(t+{\frac {lt}{\sqrt {a^{2}+t^{2}}}},a+{\frac {la}{\sqrt {a^{2}+t^{2}}}}\right).}$ Окрім того нехай P позначає точку перетину прямої перпендикулярної асимптотичної прямої, що проходить через E і прямої перпендикулярної до AC, що проходить через A. Згідно першого означення пряма CP буде нормальною до конхоїди у точці C. Для того щоб точка G лежала на цій прямій і, відповідно, сама визначала нормаль необхідно і достатньо щоб вектори ${\displaystyle {\vec {CG}}}$ і ${\displaystyle {\vec {CP}}}$ були паралельними.

Для визначення координат цих векторів спершу треба визначити координати точки P. Вона є перетином прямої ${\displaystyle x=t}$ і прямої, що проходить через початок координат і є перпендикулярною до прямої AC. Оскільки вектор ${\displaystyle (t,a)}$ є напрямним для прямої AC, то вектор вектор ${\displaystyle (-a,t)}$ є напрямним до перпендикулярної і її можна записати параметрично: ${\displaystyle x=-as,\ y=ts.}$ Тому для точки P виконується рівність ${\displaystyle t=-as,}$ звідки ${\displaystyle s=-t/a}$ і тому ${\textstyle P=\left(t,-{\frac {-t^{2}}{a}}\right)}$. Звідси можна знайти координати одного із необхідних векторів:

${\displaystyle {\vec {CP}}=\left(t-t-{\frac {lt}{\sqrt {a^{2}+t^{2}}}},-{\frac {-t^{2}}{a}}-a-{\frac {la}{\sqrt {a^{2}+t^{2}}}}\right)=\left(-{\frac {lt}{\sqrt {a^{2}+t^{2}}}},-{\frac {a^{2}+t^{2}}{a}}-{\frac {la}{\sqrt {a^{2}+t^{2}}}}\right).}$

Вектор ${\displaystyle {\vec {CG}}}$ є сумою векторів ${\displaystyle {\vec {CF}}}$ і ${\displaystyle {\vec {FG}}.}$ Вектор ${\displaystyle {\vec {FG}}}$ є паралельним осі ординат, направлений у від'ємному напрямку і, за означенням його довжина є рівною довжині відрізка AE. Тому ${\displaystyle {\vec {FG}}=(0,-{\sqrt {a^{2}+t^{2}}}).}$ Вектор ${\displaystyle {\vec {CF}}}$ направлений паралельно прямої AC і протилежно до одиничного напрямного вектору ${\textstyle {\vec {a}}=\left({\frac {t}{\sqrt {a^{2}+t^{2}}}},{\frac {a}{\sqrt {a^{2}+t^{2}}}}\right).}$ Його довжина за означення є рівною довжині відрізка CH, тобто ${\textstyle {\frac {la}{\sqrt {a^{2}+t^{2}}}}.}$ Тому ${\textstyle {\vec {CF}}={\frac {-la}{\sqrt {a^{2}+t^{2}}}}\left({\frac {t}{\sqrt {a^{2}+t^{2}}}},{\frac {a}{\sqrt {a^{2}+t^{2}}}}\right)=\left({\frac {-lat}{a^{2}+t^{2}}},{\frac {-la^{2}}{a^{2}+t^{2}}}\right).}$ Остаточно:

${\displaystyle {\vec {CG}}={\vec {CF}}+{\vec {FG}}=\left({\frac {-lat}{a^{2}+t^{2}}},{\frac {-la^{2}}{a^{2}+t^{2}}}-{\sqrt {a^{2}+t^{2}}}\right).}$

Загалом ${\textstyle {\vec {CG}}={\frac {a}{\sqrt {a^{2}+t^{2}}}}{\vec {CP}}}$, тож два вектори дійсно є паралельними.

Конхоїду Нікомеда можна використати для розв’язання задачі трисекції кутів. Нехай AÔB — довільний кут. З будь-якої точки ${\displaystyle L}$ на стороні ${\displaystyle OB}$ проводиться перпендикуляр ${\displaystyle LD}$ до сторони ${\displaystyle OA}$, і для прямої ${\displaystyle LD}$ відносно полюса ${\displaystyle O}$ з константою ${\displaystyle k=2OL}$ будується конхоїда. Пряма, що є паралельною ${\displaystyle OA}$ і проходить через точку ${\displaystyle L}$, перетинає зовнішню гілку конхоїди у точці ${\displaystyle C}$. Якщо провести пряму через точки ${\displaystyle C}$ і ${\displaystyle O}$, то:

AÔC = ${\displaystyle {1 \over 3}}$ AÔB

Недоліком цієї процедури є те, що вона вимагає окремої конхоїди, спеціалізованої для кожного кута, який потрібно розділити на три частини Це не так для деяких інших трисектрис (як, наприклад, трисектор Маклорена), які дозволяють будь-який кут розділити на три тією самою кривою.

Нехай ${\displaystyle N}$ — точка перетину ${\displaystyle OC}$ з ${\displaystyle LD}$, а ${\displaystyle M}$ — середина ${\displaystyle CN}$. Згідно означення конхоїди:

${\displaystyle CN=k=2OL}$

і тому

${\displaystyle CM=MN=OL={k \over 2}.}$

З іншого боку, ${\displaystyle NLC}$ є прямим кутом, а ${\displaystyle LM}$ — медіаною прямокутного трикутника ${\displaystyle CLN}$ основою якої є гіпотенуза ${\displaystyle CN}$, Тому довжина ${\displaystyle LM}$ є рівною половині довжини гіпотенузи, тобто

LM = NM = OL.

З цього випливає, що трикутники ${\displaystyle LOM}$, ${\displaystyle LMC}$ і ${\displaystyle LMN}$ є рівнобедреними, а тому:

LÔM = NML = 2 LĈM

Але LCM = COA, оскільки прямі ${\displaystyle OA}$ і ${\displaystyle LC}$ є паралельними, тому LÔM = 2 CÔA або також

BÔA = LÔA = 3 CÔA

Задача подвоєння куба фактично полягає у побудові відрізка довжиною ${\displaystyle L{\sqrt[{3}]{2}}}$ для заданого відрізка довжиною ${\displaystyle L.}$

Позначивши ${\displaystyle 2a=L,}$ алгоритм подвоєння куба з використанням конхоїди Нікомеда можна описати за допомогою послідовних кроків, зображених на рисунку праворуч:

1. Побудова прямокутника ${\displaystyle ABCD}$ для заданого відрізка ${\displaystyle AB}$ довжиною ${\displaystyle 2a,}$ де довжина сторони ${\displaystyle AD}$ є рівною ${\displaystyle 2b}$ і ${\displaystyle b=2a}$; тобто інша сторона прямокутника є вдвічі довшою ніж початкова.
2. Побудова точки ${\displaystyle E,}$ що ділить сторону ${\displaystyle AD}$ навпіл.
3. Побудова прямої лінії через точки ${\displaystyle C;}$ і ${\displaystyle E,}$, визначення точки ${\displaystyle F}$ на перетині цієї прямої із прямою, що містить сторону ${\displaystyle AB.}$ Довжина відрізка ${\displaystyle FA}$ є рівною довжині відрізка ${\displaystyle AB.}$
4. Побудова точки ${\displaystyle G,}$ що ділить сторону ${\displaystyle AB}$ навпіл.
5. Побудова прямої перпендикулярної до ${\displaystyle AB,}$ що проходить через точку ${\displaystyle G.}$
6. Побудова кола, з центром у точці ${\displaystyle B,}$ що проходить через точку ${\displaystyle A}$ ( його радіус буде рівним ${\displaystyle b=2a}$. Нехай ${\displaystyle H,}$ є перетином цього кола із перпендикуляром із попереднього пункту.
7. Побудова прямої ${\displaystyle I}$, що проходить через ${\displaystyle B}$і є паралельною до прямої ${\displaystyle HF.}$
8. Побудова конхоїди Нікомеда із полюсом ${\displaystyle H}$, прямою ${\displaystyle I}$ і відстанню ${\displaystyle b}$. Нехай ${\displaystyle K}$ позначає перетих кривої із прямою ${\displaystyle AB.}$
9. Побудова точки ${\displaystyle L}$, як точки перетину прямих ${\displaystyle CK}$ і ${\displaystyle AD.}$ Довжина ${\displaystyle DL}$ тоді і буде рівною ${\displaystyle 2a{\sqrt[{3}]{2}}.}$

Позначимо ${\displaystyle BK=x}$ і ${\displaystyle DL=y}$. Тоді ${\textstyle HG={\sqrt {b^{2}-a^{2}}}}$ і ${\displaystyle GK=a+x}$ і, з теореми Піфагора:

${\displaystyle HK={\sqrt {HG^{2}+GK^{2}}}={\sqrt {b^{2}-a^{2}+\left(a+x\right)^{2}}}={\sqrt {b^{2}+2ax+x^{2}}}.}$

З подібності трикутників ${\displaystyle BMK,FHK}$ випливає, що ${\displaystyle FK:BK=HK:MK,}$ і оскільки ${\displaystyle MK=b}$ і ${\displaystyle FK=4a+x,}$ то з попередніх пропорцій випливає, що:

${\displaystyle {\frac {4a+x}{x}}={\frac {\sqrt {b^{2}+2ax+x^{2}}}{b}}.}$

Після піднесення до квадрату

${\displaystyle {\frac {16a^{2}+8ax+x^{2}}{x^{2}}}={\frac {b^{2}+2ax+x^{2}}{b^{2}}},}$

або ${\textstyle 16a^{2}b^{2}+8ab^{2}x+b^{2}x^{2}=b^{2}x^{2}+x^{4}+2ax^{3}.}$

Попередня рівність еквівалентна ${\displaystyle x^{4}+2ax^{3}-8ab^{2}x-16a^{2}b^{2}=0}$ або після спрощення ${\displaystyle \left(x^{3}-8ab^{2}\right)\left(x+2a\right)=0.}$

Оскільки ${\displaystyle \,x+2a}$ не є рівним нулю, то ${\displaystyle x^{3}-8ab^{2}=0}$ тобто ${\displaystyle x^{3}=2a\left(2b\right)^{2}.}$

З подібності трикутників ${\displaystyle LDC,CBK}$ ми маємо, що ${\displaystyle 2a:y=x:2b}$ і, отже, ${\displaystyle xy=4ab}$ або по іншому ${\textstyle y={\frac {4ab}{x}}.}$ Після піднесення до кубу ${\textstyle y^{3}={\frac {4^{3}a^{3}b^{3}}{x^{3}}}}$ і з використанням рівності ${\displaystyle x^{3}=2a\left(2b\right)^{2}}$ випливає що ${\textstyle y^{3}={\frac {4^{3}a^{3}b^{3}}{2^{3}ab^{2}}}}$ або спрощуючи ${\displaystyle y^{3}=2b\left(2a\right)^{2}.}$

Враховуючи, що ${\displaystyle b=2a}$ то також

${\displaystyle y^{3}=2b^{3}}$

Остаточно

${\displaystyle y=b{\sqrt[{3}]{2}}}$

тобто довжина ${\displaystyle DL}$ буде рівною ${\displaystyle b{\sqrt[{3}]{2}}=2a{\sqrt[{3}]{2}}.}$

• Конхоїда
• Подвоєння куба
• Трисекція кута

• Weisstein, Eric W. Конхоїда Нікомеда(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
• Conchoid of Nicomedes. Опис на проекті 3D-XploreMath

• J. Dennis Lawrence (1972). A catalog of special plane curves. Dover Publications. с. 135 - 139. ISBN 0-486-60288-5.