PROFILPELAJAR.COM

Подвоєння куба або Делійська задача — класична антична задача на побудову циркулем та лінійкою ребра куба, об'єм якого вдвічі більший за об'єм заданого куба.

Разом з трисекцією кута та квадратурою круга, є однією з найвідоміших нерозв'язних задач на побудову за допомогою циркуля та лінійки.

Легенда

Згідно з античною легендою, якось на острові Делос почалася епідемія чуми. Мешканці острова звернулись до дельфійського оракула, і той повідомив, що необхідно подвоїти жертовне святилище, яке мало форму куба. Мешканці Делоса спорудили ще один такий же куб і поставили його на перший, але епідемія не припинилася. Після повторного звернення оракул роз'яснив, що подвоєний жертовник також повинен мати форму куба.

З того часу дельфійською задачею займались найкращі математики античного світу, було запропоновано декілька розв'язків, але ніхто не зміг виконати таку побудову, використовуючи тільки циркуль і лінійку.

Спроби розв'язку

Гіппократ Хіоський (кінець V ст. до н. е.) показав, що задача зводиться до знаходження двох середніх пропорційних між одним відрізком та другим, вдвічі більшим за нього. У сучасних позначеннях — до знаходження $x$ та $y$ таких, що
${\frac {a}{x}}={\frac {x}{y}}={\frac {y}{2a}}$ . Звідси $x^{3}=2a^{3}$ .

Архіт Тарентський (початок IV ст. до н. е.) запропонував розв'язок, заснований на перетині тора, конуса та кругового циліндра.

Платон (перша половина IV ст. до н. е.) запропонував механічний розв'язок, заснований на побудові трьох прямокутних трикутників з потрібним співвідношенням сторін.

Менехм (середина IV ст. до н. е.) знайшов два розв'язки цієї задачі, засновані на використанні конічних перетинів. У першому розв'язку відшукується точка перетину двох парабол, а у другому — параболи та гіперболи.

Ератосфен (III ст. до н. е.) запропонував ще один розв'язок, в якому використовується спеціальний механічний інструмент — мезолябія, а також описав розв'язок своїх попередників.

Нікомед (II ст. до н. е.) використовував для розв'язку цієї задачі метод вставки, яка виконується за допомогою спеціальної кривої — конхоїди.

Група схожих між собою розв'язків, які належать Аполлонію, Філону Візантійському та Герону, також використовує метод вставки.

У ще одній групі схожих між собою розв'язків, які належать Діоклу, Паппу та Спору, використовується та ж ідея, що й у розв'язку Платона, при цьому Діокл застосовує для побудови спеціальну криву — цисоїду.

Свої розв'язки також запропонували Вієт, Декарт, Грегуар де Сен-Венсан, Гюйгенс, Ньютон.

Нерозв'язність

У сучасних позначеннях, задача зводиться до розв'язку рівняння $x^{3}=2a^{3}$ . Розв'язок має вигляд $x=a{\sqrt[{3}]{2}}$ . Все зводиться до проблеми побудови відрізка довжиною ${\sqrt[{3}]{2}}$ .

Ванцель довів у 1837 році, що ця задача не може бути розв'язана за допомогою циркуля та лінійки.

Див. також

Невсіс

Література

Прасолов В. В.. Три класичні задачі на побудову. Подвоєння куба, трисекція кута, квадратура кола. М.: Наука, 1992. 80 с. Серія <Популярні лекції з математики>, випуск 62.
Глейзер Г. І. Історія математики у школі. — М. : Просвіта, 1964.
Щетников А. І. Як було знайдено деякі розв'язки трьох класичних задач древності? Математична освіта, № 4 (48), 2008, с. 3—15.