PROFILPELAJAR.COM

Параметричні рівняння — метод представлення математичних функцій через параметри. Простий кінематичний приклад, коли час використовується як параметр для задання позиції, швидкості та іншої інформації про тіло в русі.

Параметричне представлення функції

Припустимо, що функціональна залежність y від x не задана прямо y = f(x), а через проміжну величину — t. Тоді формули

x=\varphi (t)~;~

~y=\psi (t)

задають параметричні рівняння для функції однієї змінної.

Якщо припустити, що обидві ці функції $\varphi$ і $\psi$ мають похідні і для $\varphi$ існує обернена функція θ, явне представлення функції має вигляд^[1]:

~y=\psi (\theta (x))=f(x)

і похідна функції може бути обрахована як

y'(x)={\frac {dy}{dx}}={\frac {y'_{t}}{x'_{t}}}={\frac {\psi '(t)}{\phi '(t)}}

2D-приклади

Парабола

Тривіальний приклад, рівняння параболи:

y=x^{2}\,

може бути параметризоване із використанням параметра t таким чином

x=t\,

y=t^{2}.\,

Коло

Для кола радіуса a:

x=a\cos(t)\,

y=a\sin(t).\,

3D-приклади

Гвинтова лінія

Параметричні рівняння зручні для опису кривих і в багатовимірних просторах. Наприклад:

x=a\cos(t)\,

y=a\sin(t)\,

z=bt\,

описує тривимірну криву, гвинтова лінія, яка має радіус a і підіймається на 2πb за оберт.

Подібні вирази також записуються як

r(t)=(x(t),y(t),z(t))=(a\cos(t),a\sin(t),bt).\,

Корисність

Такий спосіб представлення є практичним і ефективним; наприклад, можна інтегрувати і брати похідну почленно. Таким чином, швидкість точки, що рухається згідно з цими рівняннями може бути представлена як:

v(t)=r'(t)=(x'(t),y'(t),z'(t))=(-a\sin(t),a\cos(t),b)\,

і прискорення:

a(t)=r''(t)=(x''(t),y''(t),z''(t))=(-a\cos(t),-a\sin(t),0)\,

Загалом, параметризована крива є функцією від одного параметра (зазвичай t). Для відповідного випадку із двома і більше параметрами, дивись параметрична поверхня.